在數學學習過程中學會思考

賁友林

“找規律”教學，既要重視找規律的結果，也要重視找規律的過程。找規律，經歷思考、交流、探索的過程，體驗發現規律的方法，積累在解決問題的過程中發現規律的經驗，發展歸納與概括的能力。

一、交流：我是怎樣想的

師：（屏幕上出示空白的“研究學習”材料）課前，大家做過這份材料（如圖1），請同桌之間先交流一下自己的想法。

師：張睿嘉，能講嗎？好像不太自信，大家掌聲鼓勵一下！（全班鼓掌）我想給張睿嘉一個挑戰—請到黑板這邊來講，這樣大家看得見。題目中是擺小棒，我們可以畫圖（如圖2）。

師：接著畫下去，有規律，第10個三角形是向上還是向下？（教師讓張睿嘉請班上同學回答）

閻馨寧：向上的。

花飛燕：我覺得是向下的。

畢明遠：我也覺得是向下的。因為向上的都是奇數，而10是偶數，所以是向下的。

師：我特別欣賞剛才第3位同學的發言，在前兩個同學發言之后，他表達了自己的想法，更關鍵的是，他解釋了為什么向下。這樣的發言要不要有掌聲？（全班鼓掌）第10個三角形，究竟是向上還是向下？

生：我覺得應該向下。因為我發現，1、3、5這些三角形都是朝上的，2、4、6都是朝下的，所以我覺得10是偶數，是朝下的。

師：思路很清晰，把剛剛同學的想法說得更清楚了。來，我們一起看1、3、5這些奇數的三角形都是怎樣的。

生：向上。

生：2、4、6都是向下。

師：第10個，也就是最后一個呢？

生：向下。（教師畫第10個三角形）

師：那第9個呢？

生：向上。（教師畫第9個三角形，如圖3）

師：畫好了以后，張睿嘉要來講講他是怎么想的。我給個建議，最好先圈圈畫畫，然后再講。

張睿嘉：我覺得10-1=9（個），9×2=18（根）。

（教師打斷張睿嘉講解，提醒：稍等，哪兒是10，指著圖說）10-1=9（個），9×2=18（根），18+3=21（根）。大家有疑問或補充嗎？

師：比剛才更快了。慢慢來，哪兒是10？

張睿嘉：我覺得先用10-1=9，（教師再次打斷，再次提醒：一步一步來，先講講10表示什么）10表示—（停頓了約有10秒時間）10表示10個三角形。

師：（示意張睿嘉暫停，轉而問全班）慢一點。剛剛他說10表示什么？

生：（齊）10個三角形。

師：說得怎么樣？（全班鼓掌。教師指著圖）10表示這里有10個三角形，那減1呢？

張睿嘉：10-1=9……（教師打斷，提醒：慢一點，1表示什么）1是1個三角形。

師：1是哪一個三角形？你把這個三角形圈起來。

（張睿嘉把圖中的第9個三角形圈起來）

張睿嘉：10-1=9（個），9×2=18（根）。

師：繼續，9×2。9是9個三角形，2呢？

張睿嘉：2是這兩個三角形。

師：2表示這兩個三角形，那9×2呢？（張睿嘉沉默）

師：（提示）你可以繼續思考，也可以選擇舉手的同學回答問題。

（張睿嘉點名江詠岳回答問題）

江詠岳：10個三角形，先把最邊上的那一個圈出來，就是把最左邊的三角形圈起來。可以看出這個三角形是用3根小棒拼出來的，后面的三角形只用了2根小棒就拼出了。

師：（對著張睿嘉）現在你重新來圈，一邊圈一邊講。第1個三角形怎么樣？

張睿嘉：（圈起左邊第1個三角形）第1個是3根小棒。（指著左邊第1個三角形的3根小棒）21減去這3根小棒等于18根。

師：看來剛剛同學講的，你還沒有完全聽懂。沒關系，繼續聽同學講解。

（張睿嘉點名邀請肖翊講解）

肖翊：我覺得最后一個三角形，不能圈3根，只能圈2根，不然倒數第2個三角形，就只有1根了，因為倒數第2個三角形靠左的那條邊被前一個三角形占用了，所以最后一個三角形只能畫兩條邊，不能畫3條邊。

師：好了，我們一起來解釋算式，第1個算式10-1=9表示什么？

張睿嘉：10表示10個三角形，減掉1個三角形，等于9個三角形。

師：減去哪個三角形？

（張睿嘉指左邊第1個三角形）

師：為什么要把這個三角形減掉？

張睿嘉：因為它有3根小棒。

師：后面的三角形，我們也圈一下。換一種顏色的粉筆，第1個三角形已經圈了，把后面的三角形圈起來。

師：畫完以后，我們再看一下，一共是幾個三角形？

生：10個。

師：第1個三角形呢？

生：3根小棒。

師：后面還有幾個三角形？

張睿嘉：9個。

師：這些三角形怎么樣？

張睿嘉：都是兩根小棒。

師：（指著后面的三角形）那這一共有多少個2呢？

張睿嘉：9個2。

師：馬上想到一個乘法算式。

張睿嘉：2×9=18。（板書：2×9）

師：我們列綜合算式。

張睿嘉：加上3。（板書：+3。如圖4）

【分析】教師先通過聽課教師抽報學號的方式邀請一位學生與全班交流。抽簽，是讓每位學生意識到他們每個人都有想法，都可以也應該與全班交流。

張睿嘉和全班同學的解釋與交流，用了一節課的近一半時間。教師對一位學生，為何如此？第一，學習思考，“一個都不能少”。第二，語言是思維的外殼。教師要讓學生不僅做出來，而且還能說出來。因為只有想明白了，才能說清楚。第三，如果后續學習過程中學生會圈圈畫畫講解，這段教學就是有價值的。由此看來，這不是面對一個人的教學，而是全班在一起思考，共同學習。

師：這是張睿嘉的想法，再看看你做的和他一樣嗎？一樣的，不說了;不一樣的，趕緊舉手。

（張睿嘉邀請羅皓仁和全班交流）

羅皓仁：我的想法是這樣的，這邊有10個三角形，第1個三角形由3根小棒組成，其他9個都是由2根小棒組成，我現在把第1個三角形也看成由2根小棒組成的，就是2×10=20。20再加上剛才去掉的1根小棒，20+1=21。（全班鼓掌）

師：剛剛他說的算式，聽到了嗎？是什么？

生：2×10+1=21。

師：如果看這個算式，在圖上圈，怎樣圈呢？

羅皓仁：第1根小棒不算，把第1個三角形看作由兩根小棒組成的，其他三角形都是由兩根小棒組成的，就是10×2。再加第1根（如圖5）。

慶雨宸：我的這種方法，可能不太好解釋。但是可以這樣看，（教師在黑板上畫好小棒擺成的三角形圖，讓慶雨宸在黑板上圈畫講解）剛才羅皓仁用的方法，相當于不看第1根小棒，我還有一種方法，是補充1根小棒。（慶雨宸在左邊第1個三角形左邊畫了1根小棒）這里的1根小棒可以和原來左邊1根小根拼成兩根，一共相當于有11個兩根小棒，（板書：11×2）一開始這1根小棒不是真實存在的，所以要減去。（板書：-1。如圖6）

師：這個方法和前面的一樣，還是不一樣？

生：不一樣。（全班鼓掌）

師：假設有這根小棒，那就有多少呢？

生：（齊）11個2。

慶雨宸：我認為羅皓仁這里也應用了假設法。（指著羅皓仁所圈畫的最左邊的1根小棒）假設這根小棒不存在。大家還有什么疑問嗎？

師：太厲害了！慶雨宸不僅講清楚了自己的想法，可以假設這里增加1根，他還想到，既然可以增加1根，也可以怎么樣？

生：假設減少1根。

師：（指著羅皓仁圈畫的圖5）這不就是假設減少1根嗎？掌聲再次送給慶雨宸。聽這樣的發言，太享受了。現在發現這個問題，我們有多少種方法？

生：3種。

師：（在之前圈畫的圖前面標注序號①②③）尤其表揚慶雨宸，他發現第2種想法跟第3種想法有聯系。有什么樣的聯系？

生：都用了假設。

師：假設多1根，或者少1根。你們想到了3種方法，還有沒有第4種方法？（部分學生舉手，慶雨宸邀請喻高進和大家交流）

喻高進：剛才慶雨宸、羅皓仁想的都是兩根小棒為一組，我也可以假設3根小棒為一組。把后面9個三角形都補畫1根小棒，然后把每3根小棒組成的三角形圈畫出來。這時，10個三角形都是獨立的三角形，獨立的三角形是3根小棒（如圖7）。

生：我覺得現在的圖和以前的圖比，除了第1個三角形是由3根小棒組成的，后面2根小棒組成的三角形都加了1根小棒，變成了獨立的三角形。

師：就是說，第1個三角形是3根小棒，后面的三角形都要怎么樣？

生：都加1根小棒。

師：每個三角形再加1根小棒，這樣一共加了幾根小棒？

生：后面9個三角形，要加9根小棒。

教：那個9，要怎樣？

生：減掉。

師：（對著喻高進）這種想法，你之前是沒想到，對嗎？

喻高進：我之前沒想到。后來看了羅皓仁、慶雨宸的想法后我想到的。

師：學習就是這樣，別人的想法會讓我有新的思考、新的想法。

【分析】課堂是一群人在一起學習，是發生在群體中“他人在場”的學習。當一個班級的學生在一起的時候，每位學生都帶來了各自的想法，教師要做的是，組織學生展示、交流各自的想法。

課堂中的學習與思考，不僅僅“向外”，與同學、教師分享自己的想法;還要“向內”，在“說”與“聽”的過程中，促使自己生成新的想法，促使自己對學習內容的認識經歷“原來我是怎樣想、怎樣做”“還可以這樣想、這樣做”“現在我是這樣想、這樣做”的過程。這樣，思維從平衡到失衡，再形成新的平衡，從而深度構建對學習內容的理解。

二、探討：讓他也能做出來

師：這道題目，你可能有想法1、想法2、想法3，甚至想法4，可是有同學卻沒有做出來。我們要想一個辦法，讓他也能做出來，做正確。

生：我覺得可以發明一個公式，我就寫了一個。幾個三角形，把它設為n，（n-1）×2+3，這是我的想法。

師：有公式就簡單了。可是，誰發明公式呢？有的同學發明不了啊。

生：我們還可以列表格、找規律，這樣慢慢地就做出來了。例如，第1個三角形3根小棒，第2個三角形2根小棒……

師：剛才她講的方法是什么？

生：列表格。

師：如果就這樣畫下去，畫了10個三角形，能不能數出小棒的根數？

生：（齊）能。

師：畫、數，是不是一種方法？

生：（齊）是。

師：只不過這種方法怎么樣？

生：太麻煩了。

生：太慢了。

師：不過，答案是能找到的。剛才有同學說，列表，畫著畫著，表格出來了。

生：答案就出來了。

生：規律也出來了。

師：有發現嗎？

王宇睿：第1個三角形的小棒根數是3，然后越來越多，小棒的根數每次都是往上漲2根的。

王思捷：我還發現，小棒的根數總是等于三角形的個數乘2加1。

生：我覺得剛才王宇睿的發現和王思捷的想法有聯系。（學生跑到視頻展臺前，用紅筆指著比畫，并標注“+1”“+2”，如圖8）三角形個數每次增加1，三角形個數和小棒根數之間的關系是乘2加1，三角形是加1的關系，1乘2等于2，小棒這兒就是加2的關系，所以“小棒根數依次加2”的規律是成立的。

注：圖中的箭頭與算式等，是教學中陸續添畫的。

師：從上往下看，三角形的個數依次加1，小棒的根數依次加2。他解釋了為什么三角形個數依次加1，小棒的根數依次加2。他發現三角形個數乘2加1，得到小棒根數。學習數學就要這樣，剛才，聯系起來思考;現在，深入思考為什么，想一想道理。回頭想想，剛才男生（指王宇睿）說，小棒的根數依次加2，他是怎樣看的？

生：豎著看。

師：豎著看，有規律。后面的女孩（指王思捷）是怎樣看的？

生：橫著看的。

師：第3位同學把豎著看、橫著看聯系起來思考，又有新的發現。為什么他們有發現？他們的觀察是，可以豎著看，可以橫著看，還要學會聯系起來看。這樣接著想，5個三角形，多少根小棒？

生：5×2+1=11（根）。

生：或者直接9加2就行。

師：接著想，10個三角形呢？

生：乘2加1。

師：100個三角形呢？

生：乘2加1。

師：當你發現這里的規律之后，這些問題就都很簡單。

【分析】教師列表格的過程中，畫畫數數，貼近學生，又引領學生，藏巧于拙，化繁為簡，以屈為伸。學生經歷觀察、思考、歸納、概括的過程，感受從簡單情況想起的思維方法。

學生比較、尋找不同解法之間的聯系。一是列表發現的規律與黑板上呈現的解法之間的聯系，二是王宇睿與王思捷想法之間的聯系，解釋了“三角形個數增加1，小棒根數增加2”這一規律背后的道理。既有橫向的聯系，又有縱向的深入。學生將不同的想法關聯起來，才可能走出狹隘與偏見，讓自己的思維變得開闊。

三、拓展：我們看他問了什么問題

師：今天有兩位同學沒有來上課，我還是要展示一下他們的材料。（展臺呈現27號周映宇的“研究學習”材料）我們看他問了什么問題？

生：（齊）像這樣擺100個三角形需要幾根小棒？

（展臺呈現31號劉文林的“研究學習”材料）

生：（齊）用41根小棒可以擺幾個這樣的三角形？

生：前面的問題，是“乘2加1”;后面的問題，是倒著來的。

生：第1個問題，是告訴我們三角形個數，求小棒根數;第2個問題，是告訴我們小棒根數，求三角形個數。

師：問問題的角度不一樣。倒過來怎樣算，大家可以再思考。大家的想法很多。材料后面要求編題目，同學們編的問題都是擺什么圖形？

生：正方形。

師：是的，很多同學都是編的正方形的題目。一定是正方形嗎？

生：（七嘴八舌）五邊形、六邊形、長方形、平行四邊形……

師：雖然要下課了，我還是展示一下我們班一位同學特別好玩的想法。有請9號孫鶴允。

孫鶴允：（跑到黑板上畫圖，如圖9）我想這樣擺小棒。

師：你能看出來不一樣在哪兒嗎？

生：她擺的是一個大三角形。

師：你們都是從左往右擺正方形、長方形，她把三角形怎么樣？

生：摞起來了。

師：這里有沒有規律呢？下課后可以繼續探討。

【分析】在數學學習過程中，學生想法比較單一時，教師要引導學生發散思維。不過，當學生的想法從“一”走向“多”之后，教師又要進一步引導學生集中思考，讓想法從“多”走向“一”，促使學生的想法在廣度、深度兩方面和諧共進。

“找規律”這節課，教師在學生獨立思考的基礎上，先讓學生把各自的想法呈現出來，借助學生不同的想法啟發更多的學生打開思維。在交流過程中，讓學生實時明曉他人的想法，知曉自己的想法，監控自己的認識：我是這樣想的，別人是怎樣想的？我的想法發生了怎樣的變化？我是否有新的想法？學生理解他人的思考方式，反思自己的思考過程，認識并體驗數學思考的基本方法。

（作者單位：南京師范大學附屬小學）

責任編輯：趙繼瑩

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