新定義試題求解障礙及其對策

2021-06-15 02:08:18李秀元饒火云

黃岡師范學院學報 2021年3期

李秀元，饒火云

(1.武穴市實驗高級中學，湖北武穴 435400；2.武穴中學，湖北武穴 435400)

普通高等學校招生全國統一考試理科數學考試大綱(以下簡稱考試大綱)指出：“對數學能力的考查，強調‘以能力立意’，即以數學知識為載體，從問題入手，把握學科的整體意義，用統一的數學觀點組織材料，側重體現對知識的理解和應用，尤其是綜合和靈活的應用，以此檢測考生知識的遷移能力，從而檢測出考生個體理性思維的廣度和深度以及進一步學習的潛能?！盵1]以能力立意的試題表現方式之一，就是每年高考不斷出新的新定義試題。基于新定義而命制的試題為新定義試題。羅增儒教授將這類試題定義為“信息遷移題”，它主要包括兩部分，一是給出新信息，創設新情境；二是圍繞信息進行某項設問。一般地，試題往往依托教材的某個定義，定義一個新概念，或直接在高等數學與初等數學的結合部給出新定義、約定一種運算，或給出一個性質、模型，要求答題者認真閱讀材料，按照新定義或新規則的指令進行判斷、解題。

由于新定義試題的背景材料是全新的，考查的不僅僅是高中數學知識點，更重要的是考查學生數學思想方法的運用和知識遷移能力，有利于激發學生繼續學習的潛能，培養學生創新意識和分析解決問題的綜合能力。

本文將對新定義試題求解現狀予以簡要疏理，分析其中原因，并結合案例提出相應的對策。

1 新定義試題求解現狀

調研發現，對于新定義試題，學生的反應不一，效果也不是很理想。劉慧敏等人分別作了調查分析，他們認為，學生做新定義試題是有差異的，這種差異表現在校際之間、男女之間、年級之間及學生層次之間[2]。新定義試題命題角度不同，學生求解的難度系數也就不同。一般地，基于教材某種運算而命制的新定義試題，如基于集合運算而定義的差集、商集，難度比較小，絕大部分學生的得分情況比較理想；基于某種條件判斷的新定義試題，如凹函數、凸函數、正對數等，由于條件解讀需要較強的數學運算能力和邏輯判斷能力，難度略大，學生得分情況差異較大，基礎好能力強的學生明顯高于一般學生；至于圍繞新的問題情境或某些思想方法而命制的新定義試題，大部分學生就顯得有些力不從心?？傮w來說，新定義試題中，運算型比判斷型得分高，簡單運算型比復雜運算型得分高，數學情境型比生活情境型得分高，情境簡單型比情境復雜型得分高，直接型比轉化型得分高。

2 新定義試題求解障礙分析

新定義試題求解障礙，既有來自學生層面，也有來自教師教學方式層面。學生并不是對所有的新定義試題感到恐懼，無所適從，只是對那些新情境下較復雜問題感到恐慌，由于做題時間有限，需要閱讀、理解、提取信息和轉化，這才是他們不愿意面對的問題。教師層面則與教師對數學概念的教學方式有關。

2.1 新定義試題求解障礙學生層面原因分析

就學生個體來說，新定義試題的求解障礙往往是多方面的，主要表現在以下幾個方面。

2.1.1學生閱讀能力不足

“閱讀是一種多維思考方式”[3]。新定義試題畢竟不同于課本概念，需要提供一些全新的背景材料(往往是少量的，簡明的和直接的)，通過閱讀，學生從中提取有用的直接信息，這個過程即為數學抽象?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準(2017年版)》(以下簡稱《新課標》)在數學學科核心素養的水平劃分中，對數學抽象的水平二界定為：能夠在關聯的情境中抽象出一般的數學概念和規則，能夠將已知數學命題推廣到更一般的情形，能夠在新的情境中選擇和運用數學方法解決問題[4]。數學考試大綱也提到，“抽象概括能力是對具體、生動的實例，經過分析提煉，發現研究對象的本質；從給定的大量信息材料中概括出一些結論，并能將其應用于解決問題或做出新的判斷”[1]。如何抽象？首先是建立在閱讀的基礎之上，明白試題的主要意思，然后進行綜合提煉和數學理解。現實情況如何，調研發現，學生不愿意讀題，讀不懂題意，無法從一堆材料(信息)中提出數學問題。造成這種局面的原因《普通高中數學課程標準(實驗)解讀》(以下簡稱《課標解讀》)作出了解釋：“在中學數學教學中，教師為學生想得非常仔細，學生就養成了過于依賴教師的習慣，無論是整個知識結構，還是要注意的一些問題，都等著教師來講、來安排，他自己不知道怎樣去安排自己的學習，更不會反思自己的學習，也就更難說對數學本質的認識和理解了?！币虼耍鞍l展獨立獲取數學知識的能力比數學能力本身更為重要”[5]?？梢哉f，現在的學生數學閱讀能力是相當弱的，往往只是停留在認字的階段，缺乏好奇感和深入解讀的意愿。閱讀能力弱，直接導致理解能力不足。這與教師平時的教學方式密不可分，章建躍博士說：“數學根本上是教概念的，數學教師是玩概念的?！钡珒H僅停留在教師自己“玩”概念是遠遠不夠的，如果教師能把自己玩概念的方式方法教給學生(光靠感受是遠遠不夠的，需要體驗與嘗試)，學生通過閱讀，能自己獨立玩概念，那么面對新定義問題就不至于有多大的障礙了。

2.1.2學生轉化能力缺陷

數學問題一般分為數學知識直接應用和數學能力考查兩大類，后者需要轉化。在中學數學解題過程中,對同一問題的不同數學解釋,就是轉化。轉化的實質就是調動數學語言的各分支系統，解釋(理解)數學問題，并把其納入相應的分支系統中。數學轉化包括語言轉化(如將一般文字語言轉化為數學語言，將數學語言轉化為自己的語言，圖形語言與數學符號語言相互轉化等等)和方法轉化(等價轉化，化歸，一般與特殊，高維與低維，數與形等)。

轉化作為解題手段，是數學解題的一個重要環節，它是培養學生思維靈活性和辯證思維的有效手段。所謂“多題一解”“一題多解”“舉一反三”等能得以實現，靠的是挖掘數學問題的本質聯系和解決數學問題的基本方法。同時，也有利于培養學生的同構思想，便于學生對所學知識系統化，形成有個性的優化數學解題模式，使之成為學生繼續學習的有力工具。轉化的本質就是化繁為簡、化生為熟，即將陌生的復雜情境轉化為熟悉的簡單模型或應用，把不熟悉的背景轉化為熟悉的方法和題型。中學生數學解題現狀不容樂觀，學生比較善于處理多次訓練后的試題(題海戰帶來的模型識別起到關鍵作用)，對于不太熟悉或者陌生的試題，分析解決問題的能力就非常欠缺，要么理解不了題意(閱讀和理解能力)，要么不知如何轉化題意，好不容易轉化出基本題型，找到了處理問題的基本方法，結果又困死在解題的路上。

2.1.3計算能力不過關

《新課標》對計算能力表述為：數學運算是解決數學問題的基本手段，主要包括理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等。數學運算版塊教育的目標是“通過數學課程的學習，進一步發展數學運算能力；有效借助運算方法解決實際問題；通過運算促進數學思維發展，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神”[4]。數學學習離不開計算，但受教學內容和課時的影響，現實中很難去專門訓練學生的計算能力，基本上都是在解決問題的過程中體現思路探究和程序設計，計算過程往往一筆帶過，久而久之，學生也變懶了。學生獨立解決計算問題時，受書寫習慣、動手速度、思維嚴謹性等的影響，往往錯誤百出，如運算法則使用不當(屬于識記內容)、運算程序出錯(明明是除法硬是算成了乘法，造成詭異的結果)、運算過程中的遺漏與看錯等等，使得計算結果很不理想。

2.1.4學生意志品質較差

很多學生愿意或善于處理基于過去解題經驗的數學試題，進行直接運算或判斷。由于新定義試題往往依賴一定的陌生新穎問題情境，涉及較多文字和新的符號，甚至出現一些生僻字(如2015年湖北卷中的 “鱉臑”)，會轉移學生的注意力，淡化對問題本質的理解。如果試題稍偏難，所述關系再復雜一些，對意志力不強、缺乏探究精神的學生而言，幾乎就是災難，導致他們采用主動放棄或者隨便選擇的處理方式。

2.2 新定義試題求解障礙教師層面原因分析

對教師而言，學生求解新定義試題的障礙，主要來自于教師的教學模式。“數學教學模式”是指在某種教學思想與教學原理的指導下，圍繞一個特定的數學教學目標形成的相對穩定的規范化教學程序與操作體系?！盵6]劉秋香等人認為，理論演繹法與總結歸納法是構建數學教學模式的常用方法[7]。布魯斯·喬伊斯等認為“教學模式就是學習模式”。當我們在幫助學生獲取信息、形成思想、掌握技能、明確價值觀、把握思維方式和表達方式時，也在教他們如何學習。事實上，教學的終極目標就是提高學生的學習能力，使他們將來能夠更加便捷有效地進行學習，使他們一方面獲得知識技能，另一方面掌握學習的過程。 “教學模式發揮效用的關鍵是使學生成為更強的學習者?！盵3]這與新課程改革的要求是一致的?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準(2017年版)解讀》(以下簡稱《新課標解讀》)認為：“豐富學生的學習方式、改進學生的學習方法是課程標準的基本價值取向，數學課程結構與內容的調整和變化，旨在促進學生學習方式的變化”“學生的數學學習活動不應只限于對概念、結論和技能的記憶、模仿與接受，獨立思考、自主探索、動手實踐、合作交流、預閱讀自學等都是學習數學的重要方式。教學應根據不同內容，采用不同的教學和學習方式。”[8]

《新課標解讀》在對“教師經常采用的課堂教學方式”的調查顯示：67.9%的教師選擇以教師講授為主，74.2%的教師選擇師生共同探究，48.9%的教師選擇教師指導下的小組合作學習，31.2%的教師選擇學生自學[8]。相對于2001年的調查結論“基本以講授為主”，這個比例雖然有些變化，但“講在數學的學習中依然占據絕對地位”[9]。一般地，數學概念的教學，基本以老師講解為主，從概念的引入、生成，到理解概念、辨析概念，最后進行概念應用、鞏固與升華，很少有依據提綱的閱讀自學方式，甚至是完全的自學探討方式。教師對概念的講解，一方面能促進學生對概念的快速理解，另一方面可培養學生逐步形成研究新事物的范式。但持續的強化，容易形成學生學習的惰性。由于是包辦，學生很難從接觸新事物的過程提出自己的認識和想法，無法抓住重點和核心。一旦面對新的概念，缺乏引導就會一籌莫展，這也是導致新定義試題得分偏低的原因之一。

3 新定義試題求解障礙突破

要突破新定義試題求解障礙，必須從高中數學的概念教學改革著手。高中數學概念頗多，邵光華、章建躍博士等從來源上將概念分為兩類，一類是對現實對象或關系直接抽象而成的概念，另一類是純數學抽象物，概念具有判定特征、性質特征、過程性特征、對象特征、關系特征和形態特征等六大特征[10]。因此，概念的教學應結合概念的特點進行，不應該是一致的、統一的。羅增儒教授認為，概念教學應從概念的名稱、定義、屬性、示例等四個方面展開研究與學習。弗賴登塔爾則認為，數學概念的學習，實質就是學習“數學化”。邵光華、章建躍博士認為，應從直觀化、正反例對比、同類概念對比、變式、概念精致與多元表征等角度進行概念教學。而核心數學概念的教學，必須實現從工具性理解到關系性理解的過渡。重點考慮概念的來源、概念的作用(新知識的詮釋、舊知識的翻新)、與相關概念間的關系等，并更要突出概念形成的過程性。

《課標解讀》指出：“數學教學中應強調對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心的概念和基本思想要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步理解。由于數學高度抽象的特點，注意體現基本概念的來龍去脈。在教學中要引導學生經歷具體實例抽象數學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質?！盵5]因此，開展核心數學概念教學要注重知識發展過程，抓住問題本質，突出核心內容，以問題引導教學，實現知識的學術形態向教育形態的轉變。

縱觀近幾年的高考試題，我們發現，部分省市(如江蘇、上海、北京等)在命題時，喜歡以新定義試題的方式，考查數學基本思想方法的運用，全國卷偶爾也會涉及到一些新定義試題。在新定義試題的突破上，一般采取下面的流程：

3.1 完成整體閱讀，剔除背景資料，提煉核心要素

作為切入點，新定義試題往往以實際問題為背景，既增加了文字閱讀(新課改高考命題要求)，又加強了數學與生活的聯系，讓學生體會到學習數學的作用和數學知識的用途。解答新定義試題，首先通過整體閱讀，初步明確材料的主要內容，然后進行材料內容的刪減，剔除背景資料，提煉出主要的有用信息。

案例1用a代表紅球，b代表藍球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來，如：“1”表示一個球都不取，“a”表示取出一個紅球，而“ab”表示把紅球和藍球都取出來。依此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區別的紅球、5個無區別的藍球、5個有區別的黑球中取出若干個球，且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是( )

A. (1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5

B. (1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

C. (1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

D. (1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)

材料將取球方式與多項展開式的項對應起來，形式新穎，形象直觀。讀懂展開式各項的含義成為解決問題的關鍵，這個材料就是問題核心，需要重點閱讀，深入理解，對號入座。忽視材料閱讀，缺乏理解，就意味著無法解題。

案例2“和諧”是近年來網絡上比較流行的名詞之一，社會上的很多現象都被冠以“和諧”之名。在數學中也同樣存在著關于“和諧”的概念，例如：對于定義域為D的函數f(x)，若存在閉區間[a,b]?D，使得函數f(x)滿足：①f(x)在區間[a,b]內是單調的；②f(x)在[a,b]上的值域為[3a,3b]，則稱區間[a,b]為f(x)的“和諧區間”。由上面的描述，判斷下列函數中存在“和諧區間”的是__________。(填所有滿足條件的函數序號)

關于“和諧”的一段文字對本題的求解沒有任何意義，因此閱讀后需要剔除，以排除干擾(如2015年高考湖北卷以《九章算術》中的鱉臑和陽馬為載體，用生僻字成功將學生的注意力吸引住了)。類似的試題一般直接定義，如:

A.(0,1) B.(0,1]

3.2 轉化問題的表征形式

所謂表征，《現代漢語詞典》解釋說：“顯示出來的現象，表現出來的特征”[11]。表征是認知心理學的術語，是指信息記載或表達方式，能把某些實體或某類信息表達清楚的形式化系統，以及說明該系統如何行使其職能的若干規則。轉化問題的表征形式，就是先用自己的語言表達題意，然后借助常用的數學知識、數學概念等，去重新認識、翻譯新定義。