空間機器人的可變增益滑模控制方法

史玲玲， 姚 鶴，金 鑫，李朝將

(北京理工大學 機械與車輛學院，北京 100081)

隨著空間技術和機器人技術的發展，空間機器人成為實現在軌服務的關鍵技術途徑。空間機器人在軌捕獲目標是實現在軌服務的基本環節，例如利用空間機器人捕獲空間碎片、待維修航天器、待裝配零部件等。其主要涉及4個基本階段，即觀測、接近、抓捕和抓捕后系統的自穩定。在接近目標的過程中，空間機器人的運動控制精度決定了其能否成功捕獲目標。由于微重力環境下空間機器人基座和機械臂之間存在著動力學耦合，且太空中存在各種干擾力/力矩的作用，使得空間機器人系統的控制問題變得十分復雜。

針對空間機器人系統的運動控制問題，國內外學者進行了廣泛的研究。控制策略可分為兩種方式，即基座最小干擾控制和主動控制。第一種方式主要是通過使空間機器人的機械臂按特定的軌跡進行運動，從而減小對基座姿態的干擾，如文獻[1-3]。然而，要實現空間機器人按期望的運動軌跡運動，同時對基座無干擾，往往以機械臂的冗余自由度為前提，從而造成了機械臂結構的復雜性和高成本。因此，在空間機器人機械臂運動的同時，通過推進器或飛輪對基座實施姿態的主動控制十分必要。

基于準確的空間機器人動力學模型，PID控制和非線性控制方法被應用于空間機器人的主動運動控制[4-8]，然而，實際空間機器人的動力學參數很難準確給出，且必須考慮太空環境的干擾。針對系統的不確定性問題，自適應控制方法通過實時更新控制參數來保證系統的穩定性，被廣泛應用于空間機器人的運動控制[9-15]。此外，滑模控制可根據系統的動態特性設計滑模面，從而約束運動誤差至滑模面并沿其收斂到原點，被應用于系統參數不確定情況下的控制問題。但由于控制輸入的不連續性，傳統的滑模控制會使系統產生抖振，該現象可能會造成系統共振甚至結構性破壞。為了解決該問題，二階滑模控制器被應用于空間機器人的運動控制[16-18]。文獻[19]將一種基于滑模控制思想的魯棒控制器用于非合作目標的抓捕過程。文獻[20-22]通過滑模控制實現了繩系空間機器人對空間碎片的抓捕。針對控制力矩陀螺驅動的空間機器人的軌跡追蹤問題，文獻[23]提出了一種自適應滑模控制方法，但該控制器不能應用于控制參數閾值不確定的情形。陳力等[24]針對漂浮基空間機器人雙臂捕獲航天器后系統鎮定力和運動控制問題，設計了閉鏈混合體系統夾持操作的鎮定運動力/位置模糊滑模控制方案。然而，滑模控制算法在維持良好魯棒性的同時，往往需要較大的非確定控制力矩，且很難確保很高的控制精度。

本文針對系統不確定性和干擾存在的背景，基于滑模控制和自適應控制思想，為了克服傳統滑模控制存在抖振現象和精度較低的特點，引入可變增益，根據空間機器人的不確定度和運動狀態對其進行實時調整，提高了控制精度，實現了對空間機器人基座姿態和機械臂運動的協同控制。此外，應用Simscape Multibody軟件模塊，通過與空間機器人三維模型運動輸出進行對比，完成了理論動力學模型準確性的驗證，并實現了空間機器人運動的可視化。在此基礎上，將提出的控制算法作用于空間機器人三維模型，通過與傳統計算力矩法進行對比，證明了該算法具有很好的魯棒性和更高的控制精度。

1 空間機器人系統模型

1.1 場景描述

本文主要研究空間機器人接近待捕獲目標的運動過程中，其基座姿態和機械臂運動的協同控制算法。如圖1所示，空間機器人主要由可移動基座和多自由度機械臂組成。場景的具體描述如下：

圖1 空間機器人模型

1)機械臂由旋轉關節連接的n個剛性連桿組成，則空間機器人可看作由n+1個單體串聯而成的剛體，i=0表示空間機器人的基座，i=1至n代表連桿。因此，空間機器人有n+6個自由度，其中n個自由度表示機械臂的運動，其余6個自由度表示基座的位姿。圖中空間機器人的各參數定義如表1所示。

表1 空間機器人參數及其含義

2)在接近目標的過程中，空間機器人基座的位置不受控制，且目標始終保持在空間機器人的工作空間內。

3)推進器在接近目標的過程中不點火，基座的姿態由飛輪進行調整，作用于系統的外部力/力矩可忽略不計，線動量和角動量守恒定律均成立。

1.2 空間機器人的動力學模型

令ΦS=[α,β,γ]T代表基座的姿態，ΦM=[Φ1,Φ2…Φn]T代表機械臂關節的角度，Φ=[ΦST,ΦMT]T代表廣義坐標，τ=[τx,τy,τz,τ1,τ2,…,τn]T代表基座姿態調整力矩和關節輸入力矩，根據拉格朗日法，得到空間機器人的動力學方程如下:

(1)

(2)

將狀態方程(2)寫成如下形式:

f′(e,t)+g(e)τ

(3)

(4)

(5)

2 控制器設計

此部分內容旨在開發相應的控制算法以控制空間機器人以期望的軌跡運動。考慮到控制力矩法是經典的實用的控制方法，通過調節控制參數可達到較好的控制精度和誤差收斂速度，目前仍被廣泛應用。因此，為了給本文提出的可變增益滑模控制器提供參照，基于計算力矩法設計的控制器在下文中也進行了簡要的介紹。

2.1 計算力矩法

由于傳統的PID算法難以直接應用于空間機器人這種強非線性系統，可采用計算力矩法來設計控制方案。其基本思路是：首先在控制回路中引入一非線性控制，使空間機器人系統模型轉變為更易于控制的線性定常系統，在此基礎上設計PID控制器，實現對空間機器人的運動控制。具體步驟如下：

首先引入控制律

(6)

式中u為引入的中間變量，將上式代入到空間機器人的動力學方程(1)中，有

(7)

由于H可逆，故上式等價于一個解耦的線性定常系統

(8)

當期望軌跡Φd給定時，引入如下的PID控制律：

(9)

式中：Kd、Kp均為具有正實數元素的對角陣。結合式(9)和式(10)，可得

(10)

綜上，根據計算力矩法，得到的控制律的完整表達式為

(11)

2.2 帶有可變增益的滑模控制器

2.2.1 滑模面的設計

一個合適的滑模面應當確保系統方程一旦到達滑模面，誤差向量就能收斂到0。定義滑模面的方程為

(12)

式中：p=2，S∈R(n+3)×2(n+3)定義為

式中：Λ∈R(n+3)×(n+3)是對角線元素為λi的對角陣，I∈R(n+3)×(n+3)是單位陣。

2.2.2 控制律的推導

i=1,2,…,n+3

(13)

定理1在式(13)所示控制律的作用下，系統能夠到達并且保持在滑模面σ(e)=0上。

證 明令李雅普諾夫方程為

(14)

則當σ≠0時滿足V>0。求滑模面函數(12)相對于時間的導數，可得

(15)

則李雅普諾夫方程的微分形式為

(16)

(17)

(18)

ki=Δfi+Δhi+αri>0

(19)

式中：αri>0為一值很小的正實數。

綜上，考慮系統不確定性的控制力矩可以表示為

(20)

定理2在考慮系統不確定性的條件下，式(20)所示的控制律能夠保證系統到達且保持在滑模面σ(e)=0上。

證 明將式(20)代入到李雅普諾夫函數的微分表達式(16)，則

(21)

實際上，為了節省發射時的燃料消耗，空間機器人應優先設計為輕量級結構，從而其結構會呈現一定的柔性。由于控制力矩中函數sgn(x)的引入，會使得驅動力矩呈現正負值的頻繁轉換從而引起電機的振動，進而可能導致系統部件之間的共振，甚至破壞系統結構。為了消除此種現象，將sgn(x)函數替換成sat(x)函數，其表達式為

(22)

式中：ε為一個很小的正值。則控制律的最終表達式為

(23)

3 仿真校驗

本節主要基于Simulink中的物理仿真工具Simscape Multibody，其支持由CAD軟件構建的三維模型的導入，并能輸入特定的控制信號，從而進行對空間機器人的理論動力學模型和控制算法的驗證。

3.1 空間機器人理論動力學模型的驗證

圖2 理論動力學模型驗證示意圖

空間機器人由基座、連桿、關節電機、減速器、聯軸器等組成，其三維模型和參數分別如圖3和表2所示。空間機器人的理論動力學模型中的慣量矩陣和非線性項通過MATLAB進行推導獲得。Simscape 自身具有三維建模功能，但是一般適用于建立較為簡單的模型。本文所涉及的空間機器人結構較復雜，在Simscape建模相對繁瑣且效率低下。因此，選擇在專業的三維建模軟件SolidWorks中建立模型，通過Simscape Multibody與SolidWorks的接口模塊，將裝配體格式的空間機器人三維模型轉換為xml格式，再導入到Simscape Multibody建立的模型中。

圖3 空間機器人的三維模型及坐標系定義

表2 空間機器人的參數

仿真環境配置的主要步驟如下：

1)設置環境參數，如重力、基礎坐標系、傳感器測量坐標系等。

2)定義關節。在將機器人從 SolidWorks中導入Simscape后，機器人各部件之間的連接方式為固定連接。因此需要根據機器人的構型添加相應的轉動關節。另外，在添加相應關節時，需要明確機器人各關節間的坐標變換關系，設置合適的變換參數。

3)對空間機器人的關節施加相應的驅動，主要包括位置驅動和力矩驅動，由于本文中的控制輸入信號為力矩，所以此處只涉及力矩驅動。

4)設置空間機器人的傳感器，主要包括關節位置、角速度、角加速度的測量。

空間機器人的期望軌跡通過五次多項式進行規劃，其表達式為

(24)

其中初始角度為Φ(0)=[0,0,0,0,0,0]T，終止角度為Φ(tf)=[0,0,0,-10°,20°,30°]T，tf=15 s為從初始角度運動到終止角度的所需時間，tn=t/tf。

基于上述條件，進行理論動力學模型的仿真驗證實驗，觀察空間機器人理論模型和三維模型的運動輸出。如圖4所示，理論模型能夠按照預期的關節軌跡值運動，三維模型的角度輸出和預期軌跡的最大誤差出現在基座俯仰姿態的跟蹤上，誤差值約為0.3°，誤差較小，在可接受的范圍內。誤差的產生主要是由于在推導理論模型的過程中對極小項的忽略。綜上，仿真結果表明了空間機器人的理論動力學模型的準確性，為接下來的控制律驗證部分奠定了基礎。

圖4 理論動力學模型驗證

3.2 控制算法的驗證

控制算法的驗證思路如圖5所示：規劃期望運動軌跡，根據空間機器人的理論模型和控制算法計算所需力矩，將其輸入到三維模型中，測量空間機器人的運動輸出，并將其反饋到控制器中，最后計算實際運動軌跡和期望軌跡的誤差。

圖5 控制算法驗證示意圖

本節主要對以下兩種運動場景進行仿真：

1)多關節運動；

2)系統參數不確定條件下控制算法的魯棒性驗證。相關控制參數如表3所示。

表3 控制參數

3.2.1 多關節運動

空間機器人的初始角度為Φ(0)=[0,0,0,0,0,0]T，令終止角度Φ(tf)=[0,0,0,30°,45°,60°]T，tf=15 s，期望軌跡表達式同式(24)。圖6和圖7分別表示在給定期望運動軌跡時，空間機器人的軌跡跟蹤效果和軌跡跟蹤誤差。

由圖6和圖7可以看出，在計算力矩法(Computed Torque Control, CTC)和可變增益滑模控制器(Adaptive Sliding Mode Control, ASMC)的作用下，空間機器人都能夠實現對期望軌跡的跟蹤，跟蹤誤差分別控制在10-3deg和10-5deg以內，計算力矩法的收斂時間約為18 s，而ASMC算法的收斂時間約為15 s。因此，本文提出的控制算法控制精度較高，且收斂速度較快。

圖6 多關節運動時CTC和ASMC的軌跡跟蹤效果

3.2.2 魯棒性驗證

為了驗證算法的魯棒性，本文利用加入高斯噪聲作為干擾的方法來模擬系統參數不確定時系統的狀態。令d=N(0,0.000 12)Nm，高斯噪聲D=[d,d,d,d,d,d]T，作用時間為20 s，其余相關設定同3.2.1。

圖8和圖9分別表示基于上述條件，兩種控制器作用下空間機器人的驅動力矩和軌跡跟蹤誤差。結果表明，無論是計算力矩法還是帶有可變增益的滑模控制算法都能夠使空間機器人的關節角收斂到期望值，并保持基座的三個姿態角基本不變，說明兩種控制器均具有很好的魯棒性。但相比之下，帶有可變增益的滑模控制器的軌跡跟蹤誤差比計算力矩法的軌跡跟蹤誤差小，且收斂速度快。

圖9 高斯噪聲作用下的軌跡跟蹤誤差

圖8 高斯噪聲作用下的控制力矩

4 結 論

本文針對空間機器人捕獲目標過程中的魯棒運動控制算法進行了研究。文中推導了空間機器人系統參數不確定時的動力學方程，基于該動力學模型提出了具有可變增益的滑模控制算法，并通過Simscape Multibody軟件模塊對空間機器人的理論模型和控制算法進行了驗證。

仿真結果表明，基于經典的計算力矩法控制器和本文提出的帶有可變增益的滑模控制器，均可以實現對空間機器人關節空間的軌跡跟蹤，跟蹤誤差分別控制在10-3deg和10-5deg以內，誤差收斂時間分別約為18 s和15 s，證明了帶有可變增益的滑模控制器的控制精度比傳統的計算力矩法精度高，且誤差收斂速度快。在系統參數不確定且存在外部干擾力矩的情況下，帶有可變增益的滑模控制器呈現出很好的魯棒性，并在運動控制精度和誤差收斂速度方面依舊優于經典的計算力矩控制器。

本文提出的控制器適用于對運動控制精度和速度要求較高、系統具有不確定性的場合。但需說明的是，本文的運動控制局限于關節空間，后續應拓展到任務空間。此外，本文的繼承性工作還包括以近年來空間機器人的自適應滑模控制方法為參照，用以評價本文提出的控制器性能的優劣。