數形結合在高中數學教學中的運用分析

班彩歡

【摘 要】數形結合是一種重要的數學解題方法，用于高中數學學習，能很好地提高解題效率。高中數學教學中，教師應圍繞學生所學，優選精講相關的例題，展示數形結合在解題中的具體應用，更好地拓展學生的解題視野，為其解題能力的提升奠定基礎。

【關鍵詞】數形結合;高中數學;運用;分析

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2021）10-0064-02

高中數學教學不僅要重視數學基礎知識的講解，還要做好解題方法的傳授。數形結合在高中數學習題解答中有著廣泛的應用，可獲得事半功倍的良好效果，因此教學中應注重數形結合運用的滲透，使學生將之更好地用于解題。

1 ? 用于求解方程根的問題

例1：若方程x2-1=存在3個實數根，則實數a的取值范圍為（ ?）。

A.[?2，0）∪（0，] ? ? ?B.[?2，0）∪（0，）

C.（?2，0）∪（0，] ? ? ?D.（?2，0）∪（0，）

原方程帶有絕對值，為去掉絕對值需要進行分類

討論：

（1）當x=1時，方程顯然成立，則x=1為方程的一個實根;

（2）當x>1時，整理原方程可得到a=x（x+1）;

（3）當x<1且x≠0時，原方程可被整理為a=

?x（x+1），x≠0。

令f（x）=，

要想滿足題意，只需 y=f（x）和 y=a的圖象有兩個交點。在直角坐標系中畫出函數f（x）的圖象，如圖1所示。

由圖1可知，x∈（?∞，0）∪（0，1）時， f（x）max=

f（?）=。因此，要想滿足 y= f（x） 和 y=a 的圖象有兩個交點，則 a 的取值范圍為（?2，0）∪（0，），選擇D項。

解題點評：運用數形結合解答方程類的問題應具體問題具體分析，在參數不確定的情況下注重分類討論，同時根據所學準確地畫出對應函數的圖象，結合圖象認真分析[1]。

2 ? 用于求解立體幾何問題

例2：如圖2所示，四邊形ADFE、CDFG均為矩形，ABCD為正方形，三個四邊形相互垂直。其中AB的長為2，若線段DE上存在一動點P，滿足GP和BP垂直，則CG的最小長度為（ ?）。

A.4 ? ? ?B.4 ? ? ?C.2 ? ? ?D.2

根據題意，以D為坐標原點，DA、DC、DF為坐標軸建立空間直角坐標系。設CG的長度為a，P（x，0，z），由比例關系可得=，則z=。B、G兩點坐標分別為（2，2，0）、（0，2，a），則=（x?2，?2，），=（x，?2，?a）。

∵ GP和BP垂直，則·=0，顯然 x≠0且x≠2，∴ a2=?4;

又∵ x∈（0，2），則根據函數知識可得a2的最小值為12，即a的最小值為2，選擇D項。

解題點評：運用數形結合解答立體幾何習題，為提高解題效率，應結合已知條件，構建合理的空間直角坐標系，準確地確定各點坐標，將幾何問題轉化為代數問題進行計算[2]。

3 ? 用于求解函數零點問題

例3：已知函數f（x）是定義在R上，周期為2π的偶函數，f'（x）為f（x）的導函數。當x∈[0，π]時，0≤f（x）≤1;當x∈[0，π]且x≠時，（x?） f'（x）>0，則函數y=f（x）?sinx在[?3π，3π]上的零點個數為（ ?）。

A.4 ? ? ? ? B.5 ? ? ? ? C.6 ? ? ? ? D.8

∵ f（x）是定義在R上，周期為2π的偶函數，且當x∈[0，π]時，0≤f（x）≤1，

∴ 當x∈[?3π，3π]時，0≤f（x） ≤1。

∵ 當x∈[0，π]且x≠時，（x-） f'（x）>0，

∴ 當x∈[0，]時， f'（x）<0，函數f（x）單調遞減;當x∈[，π]時， f'（x）>0，函數f（x）單調遞增。

在同一平面直角坐標系中分別畫出y=sinx和y=f（x）的圖象，如圖3，兩個函數的圖象的交點個數即為函數y=f（x）?sinx 的零點個數。

在[-3π，3π]上兩個函數的圖象有6個交點，因此存在6個零點，選C項。

解題點評：解答函數零點個數問題，應靈活運用函數性質對函數進行巧妙轉化，為畫出其圖象做好鋪墊。同時在同一平面直角坐標系中畫出對應函數的圖象，確定在給定的區間中圖象的交點個數即可[3]。

4 ? 用于求解圓錐曲線問題

例4：已知拋物線C的方程為y2=4x，F為其焦點。準線l和x軸的交點為K，P為拋物線C上一動點，且處在第一象限。則當的值最小時，點P的坐標為（ ?）。

A.（，） ? ? ? ? B.（1，2）

C.（2，2） ? ? ? ??D.（4，4）

解答該題需通過數形結合進行轉化。根據已知條件畫出如圖4所示的圖形。

過點P作PE和拋物線C的準線垂直于點E。

又∵ 拋物線C的準線l為x=?1，則容易求出K（?1，0）。由橢拋物線的定義可知，|PF|=|PE|。

由圖4易得=cos∠EPK，而PE∥x軸，則∠EPK

=∠PKF，即=cos∠PKF。當∠PKF最大時，

取得最小值。由圖4可知，只有當直線PK和拋物線相切時，∠PKF最大。設直線PK的方程為x=my?1（m>0），將其和拋物線方程聯立，整理得到y2?4my+4=0，則Δ=16m2?16=0，m=1，代入求得y=2，此時x=1，即P點坐標為（1，2），選擇B項。

解題點評：解答圓錐曲線問題，畫出相關的圖形，可更好地挖掘隱含條件，借助幾何知識對要求解的問題進行轉化，把陌生轉化為熟悉，順利地求解出結果[4]。

為提高學生運用數形結合解答數學習題的意識與能力，教學中既要注重數形結合知識的講解，又要結合具體例題為學生展示數形結合在解題中的應用。同時，組織學生開展針對性的訓練活動，使學生在訓練中逐漸積累數形結合應用的經驗與技巧，靈活將數形結合用于解題[5]。

【參考文獻】

[1]鄒德貴.數形結合思想方法在高中數學教學與解題中的應用[J].試題與研究，2020（36）.

[2]葉明理.淺談數形結合思想在高中數學解題中的應用策略[J].考試周刊，2020（A1）.

[3]張慧萍.數形結合思想在高中數學教學與解題中的有效運用[J].新課程，2020（42）.

[4]陳娟.利用數形結合，培養高中數學解題能力[J].數學大世界（中旬），2020（9）.

[5]董乃勇.靈活運用數形結合思想，巧妙解答高中數學問題[J].語數外學習（高中版下旬），2020（7）.