基于素質和能力培養為目標的定積分概念教學設計
——以石油工程專業為例

鄭慧軍 宋國亮 郭立豐 馮鳳萍

（東北石油大學數學與統計學院 黑龍江·大慶 163318）

定積分是微積分教學中的一個重點，同時也是一個難點，如何讓本節內容受學生歡迎呢？如何讓學生理解定積分的本質，培養學生數學思想，提高解決實際問題的能力呢？

（1）課堂教學設計要有針對性，想學生之所想。

（2）要與學生互動。數學學習的過程是一個不斷提出問題和解決問題的過程，有了問題學生學習才會有動力，才能調動學生的積極性。

（3）知識能力和素質有機融合，培養學生解決復雜問題的綜合能力和高級思維。教學形式要體現先進性和互動性，學習結果要具有探究性和個性化。

（4）以能力培養為核心，挖掘學生潛力，激發學生想象力和創造力，勇于進取。培養學生“用數學”的意識，感知生活，感悟數學！

（5）讓知識可視化、形象化、趣味化的同時，傳播正能量，堅持立德樹人，落實課程思政。

1 教學目的

（1）知識目標：理解定積分的概念，掌握利用定積分的思想解決實際問題的步驟。

（2）能力目標：①熟練利用定積分的概念，解決非均勻分布的量的求和問題。②培養學生觀察、比較、分析、總結和抽象概括的能力。

（3）情感目標：培養學生用數學的思維方式觀察和分析實際生活中的問題，滲透化整為零和積零為整的辯證唯物觀。

2 重點、難點

教學重點：定積分的概念、定積分的幾何意義。

教學難點：定積分定義中無限細分和無窮累積的思維方法。

3 教學方法和教學手段

教學方法：講授法、問題驅動法、啟發式教學法和案例式教學法。

教學手段：（1）多媒體課件與板書相結合；

（2）利用“超星學習通”在線測試，分享學習資料并布置課后作業題與思考題。

4 教學內容

引課內容：多媒體展示幾組圖片，拋出問題如何求這些不規則圖形的面積呢？引導學生進入課堂狀態，讓學生帶著問題進入學習狀態。

4.1 問題引入

通過實際問題引入，充分調動學生的學習積極性和興趣。

引例1曲邊梯形的面積。

提出問題：（1）什么是曲邊梯形？能否直接求出面積的精確值？（2）可否用矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積？如果能，如何解決誤差問題？

多媒體動畫演示，帶領學生慢慢地建立起“分割、近似、求和、取極限”的思想。然后引導學生總結為求出該曲邊梯形的面積可以利用分割的思想進行以下步驟：

（1）“大化小”：將區間[a,b]任意劃分成n個小區間，a=x0＜x1＜ x2＜…＜ xn-1＜ xn=b；

（2）“以常代變”：以小矩形的面積近似代替小曲邊梯形面積得

（3）“近似和”：利用所有小矩形面積的和近似代替所求曲邊梯形的面積得

引例2變速直線運動的路程。

設物體作直線運動 已知速度v=v(t)是時間間隔[T1，T2]上t的連續函數且v(t)≥0，計算在這段時間內物體所經過的路程S。

提出問題：“以常代變”的“常”應該如何選??？引導學生自主思考，抓“共性”和“個性”，要求學生自己寫出求解該問題的具體方法和詳細步驟。通過學生自主思考讓學生進一步建立“分割、近似、求和、取極限”的思想，讓學生充分理解“化整為零”和“積零為整”的思想，并進一步強調其思想在后續學習中的重要性。

4.2 探究分析

（1）給出定積分的定義。

引導學生類比、抽象、歸納上述兩個問題的共性：解決問題的方法步驟相同、所求量極限結構方式相同，由此抽象得到定積分的概念，培養學生掌握從具體到抽象，從特殊到一般的思維方法。多媒體展示定積分的定義，教師講解定義中各個符號的讀法并強調在定義應注意：兩個“任意性”和一個“確定性”。

（2）給出定積分可積的條件。

①函數f(x)在區間[a,b]上連續；

②函數f(x)在區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點。

（3）引入課程思政內容讓學生從定積分的思想中感悟人生哲理，樹立正確的價值觀，積極向上的人生態度。

①求曲邊梯形的面積時，“化整為零”的思想是將復雜的問題一點點轉化為自己熟悉的簡單問題，體現著人生中變通的思想。比如和人交流的時候，學會用簡潔的語言表達復雜的事，可以大大提高效率和避免誤會。

②求曲邊梯形的面積“積零為整”的思想體現了“不積跬步，無以至千里，不積小流，無以成江?！钡牡览怼Ｃ恳环輬猿侄际浅晒Φ睦鄯e，不管做什么事情，只要你堅持，腳踏實地，一步一個腳印就一定會取得成功。

③幸福是可積的，有限的間斷點并不影響它的積累。所以我們要忘卻點點不快，不要被生活中的一些小挫折所嚇倒要樂觀地面對人生!

（4）針對定積分的定義和定積分可積的條件在試題庫中抽出兩個簡單的測試題，利用超星學習通隨堂練習功能進行測試互動，通過學生的測試成績檢測學生對定積分定義和可積條件的理解情況。

4.3 學以致用

通過例題的講解，讓學生掌握利用定積分定義計算定積分和求極限的方法，讓學生進一步鞏固對定積分概念及思想的理解。

讓學生自主練習做題，通過練習可以檢測學生對知識的掌握情況，找到差距，有利于學生養成良好的思考習慣。

4.4 引申拓展

讓學生從幾何的角度來看定積分的定義，給出定積分的幾何意義。

（1）f(x)≥0時，表示曲邊梯形的面積（見圖1）。

圖1

（2）f(x)≤0時，表示曲邊梯形的面積的負值（見圖 2）。

圖2

（3）提出問題：若f(x)在積分區間上既有正又有負，其面積該如何表達呢？多媒體演示圖3，引導學生觀察思考：圖中陰影部分面積如何用定積分表達？

圖3

4.5 鞏固與提升

（1）給出典型例題進行講解和練習，通過例題可以加深學生對幾何意義的理解。提高學生的積極性和獨立思考能力。教師一邊引導分析，一邊講解。

例3：用定積分幾何意義計算。

（2）為滿足學生的心理需求，感受數學的實用價值，給出與專業相關的實踐問題，作為本節掌握定積分思想及應用的一個能力檢測。培養學生的數學素養和應用數學思想解決實際問題的能力。

例4：用定積分表示下述所求問題。

①石油總產量問題。經濟學家研究一口新井的原油生產速度R(t（)t的單位：年）為R(t)=10.02tsin(2t)，求開始3年內生產的石油總量。

②石油化工廠污染問題。某石油化工廠排放大量廢氣體，造成了嚴重空氣污染，于是工廠通過減產來控制廢氣的排放量，若第t年廢氣的排放量為，求該工廠在t=0到t=5年間排出的廢氣總量。

引導學生思路，教師講解如何利用定積分思想表示石油總產量問題。引導學生類比上述分析方法自己建立石油化工廠污染問題的積分表達式。啟發學生思考定積分的思想還可以應用于哪些實際問題并給予提示。

4.6 內容小結

提出問題：通過本節課的學習，你們學習到了哪些知識？掌握了哪些思想方法？讓學生先對本節內容做出總結，然后多媒體演示歸納本節重點，便于學生明確學習重點，提高認識。

4.7 布置作業題和思考題，為后續學習進行引導

布置作業題和思考題讓學生鞏固所學知識，養成認真思考和預習的好習慣。要求學生以學習小組為單位搜集專業中或生活中包含定積分思想的例子并整理出解決問題的思想和方法，從而提高學生學習數學的積極性和創新意識，鍛煉學生的邏輯思維能力和創新思維能力。

以石油工程專業為例的定積分概念的課堂教學設計使學生達到理解概念、掌握方法、培養能力的目的，真正提高學生數學思維能力和解決實際問題的能力。落實課程思政，將思政育人元素融合到課堂教學，鼓勵學生做一個厚德載物之人，成為社會主義合格建設者和可靠接班人。以素質和專業能力培養為導向的教學設計適應時代要求，充分發揮了課堂教學在教育中的重要作用，使學生真正體會數學之美，實現了培養學生綜合素質的目標，真正達到應用型本科院校人才培養的要求。