基于NSGA-Ⅱ算法的低通濾波器優化

袁 愛 霞，房 少 軍，劉 浩 然，段 云 夢

(1.大連海事大學 信息科學技術學院，遼寧 大連 116026；2.大連工業大學 信息科學與工程學院，遼寧 大連 116034)

0 引 言

無線通信系統中，濾波器性能的優劣影響到一個通信設備的整體質量，因此，對濾波器性能的優化提出了更高的標準[1]。LC濾波器的優化是一個多約束、非線性的規劃問題[2]。該問題具有目標相互耦合，互相制約的特點。如需得到最優解，運算量大，傳統的運算已經無法滿足濾波器優化的要求。國內外學者采用不同的算法對各類型濾波器進行了優化，如基于混沌遺傳算法、量子遺傳算法、自適應遺傳算法的濾波器優化[3-5]。

NSGA-Ⅱ算法是在第一代非支配排序遺傳算法改進的多目標優化算法，提出了精英保留的策略，擴大了種群迭代的選擇范圍，避免了最優個體的缺失，提高了算法的運行速度，很大程度地降低該算法計算過程的復雜度，改進了傳統算法的性能[6]。目前對NSGA-Ⅱ算法進行了較多的研究[7-14]。Zhang等[8]利用改進的NSGA-II完成了對陷波器的多目標優化設計，引入了不同目標重要性向量；肖懷碩等[10]基于改進的NSGA-Ⅱ對故障限流器進行了配置優化，提出了局部微分法提高搜索能力。但沒有關于如何選取最優解的論述。因此，提出了一種采用NSGA-Ⅱ算法，對濾波器的多個目標進行優化設計的方案。

本研究針對一個截止頻率為50 MHz，特征阻抗為的50 Ω的5階π形定K型低通濾波器，用NSGA-Ⅱ算法進行了優化。算法首先設定初始化種群，對算法中群體的多樣性和全局搜索能力進行改進，確定適應度函數和目標函數，建立約束條件，對濾波器的插入損耗、反射損耗、群時延進行優化；并完成優化結果的仿真與性能分析，優化后的濾波器性能較初始設計有了明顯的改善。

1 優化前濾波器性能分析

截止頻率50 MHz，特征阻抗50 Ω的5階π形定K型低通濾波器[15]，如圖1所示，這種濾波器存在著截止頻率不準確、性能較差等問題。但是這種濾波器元件種類少，級數易于增加，制作簡單。如圖1所示低通濾波器的仿真結果為插入損耗3 dB，截止頻率為45.6 MHz，不是初始計算時規定的50 MHz截止頻率，如圖2所示。因此針對這個濾波器的截止頻率不準確等性能指標進行優化，使濾波器更加符合需求。

圖1 5階π形定K型低通濾波器Fig.1 Fifth order π-shaped fixed K-type low pass filter

圖2 5階低通濾波器截止特性和反射損耗Fig.2 Cut-off characteristics and reflection loss of 5th order low pass filter

2 基于NSGA-Ⅱ的濾波器優化

2.1 初始種群的產生

隨機產生N個個體，作為開始進行迭代運算的初始種群。初始種群數量的規模大小，會影響算法優化后產生結果和運行效率[16]。

在初始種群產生時，初始個體的決策變量通過min(i)+(max(i)-min(i))×rand(1)產生，其中max(i)為個體中決策變量的最大值，min(i)為個體中決策變量的最小值，由于rand(1)為隨機值，這就有可能造成初始值相差很小或相等，改進的算法對每個產生的值和其他已產生的值進行相減并取絕對值，如果該絕對值小于(max(i)-min(i))/N，該值就會舍棄，這樣就會保證個體密度值的均勻，確保了種群個體的多樣性，提高了算法的全局搜索能力。

2.2 適應度函數的確定

采用非負函數的變換，把最小值通過取反加上最大值，變為函數的最大值的形式求取。

(1)

式中：Cmax為f(x)中取值的最大值。

2.3 確定目標函數

將濾波器的插入損耗S21、反射損耗S11和群時延作為優化的目標函數。S21和S11用[ABCD]矩陣表示，可根據式(2)～(4)寫出5階低通濾波器電路的目標函數。

(2)

(3)

(4)

式中：Z0表示濾波器的特征阻抗，H(jω)表示濾波器的傳輸函數。

2.4 建立約束條件

在NSGA-Ⅱ算法優化過程中對電感、電容的取值約束可以保證優化效率，同時得到最優結果。電感和電容的約束條件如式(5)、式(6)所示。

Cimin≤Ci≤Cimax

(5)

Limin≤Li≤Limax

(6)

式中：i=1，2，…，n，表示不同的元件；Cimin為電容容量的下限；Cimax為電容容量的上限；Limin為電感容量的下限；Limax為電感容量的上限。

2.5 NSGA-Ⅱ算法實現步驟

用NSGA-Ⅱ算法對低通濾波器進行優化，首先設定變量，種群總數為200，優化代數為400，競爭個體數為2，交叉算子為20，變異算子為20。根據約束條件產生初始種群，針對優化目標，通過優化算法從中獲得一組最優解，基于最優解x=[C1，L2，C3，L4，C5]，實現該濾波器的優化。NSGA-Ι算法的優化流程如圖3所示。

圖3 基于NSGA-Ⅱ算法優化流程圖Fig.3 Flow diagram of algorithm optimization based on NSGA-Ⅱ

2.6 基于距離值的最優解分析

為了在Pareto解集中找到滿足要求的最優解，對解集中的每個解增加了基于距離值分析的功能。距離值是指一個目標函數的任意一個解和設定的優化目標值間的差距。

首先通過式(7)算出解集中插入損耗每個解的距離值D1(N)(N=1，2，…，200)，同理計算出反射損耗、群時延的距離值D2(N)和D3(N)，然后將距離值增加在解集矩陣中。距離值越接近0，該目標解越優。

(7)

式中：T(obji)為目標函數i設定的優化目標值，obji(N)為目標函數i的任意一個解，max(obji)為目標函數i解中的最大值，min(obji)為目標函數i解中的最小值，i=1，2，3。

按照式(8)算出任意一組解中插入損耗、反射損耗、群時延的距離值和，距離值和最小的解為最優解。

(8)

式中：d(N)表示距離值和，Pi為目標函數i的權重，考慮該目標函數，其權重為1，不考慮為0。

3 優化仿真與性能分析

將插入損耗作為優化目標，其他兩個目標不做考慮時，此時優先保證插入損耗在50 MHz時是3 dB。用NSGA-Ⅱ算法運算出Pareto解，通過式(7)和(8)找出插入損耗在截止頻率50 MHz處插入損耗為3 dB時元器件的值，如表1所示。

表1 截止頻率優化的最優解Tab.1 Optimal solution of cut-off frequency optimization

優化后仿真結果如圖4所示，截止頻率已經優化至50 MHz，改善了原來低通濾波器截止頻率不準確的問題。

圖4 優化截止頻率仿真圖Fig.4 Simulation of optimized cut-off frequency

將插入損耗、反射損耗和群時延同時作為優化目標。要求在25 MHz時S11≤-15 dB，群時延delay≤1.3 ns，插入損耗盡量靠近50 MHz時3 dB帶寬。通過遺傳算法運算出該條件下插入損耗、反射損耗和群時延的Pareto解。通過式(7)、(8)在這個解集中運算出最優解，這個解對應的元器件值如表2所示。仿真結果如圖5和圖6中的S21(opt)、S11(opt)和delay(opt)。插入損耗-3 dB時的截止頻率優化到了48.5 MHz，如圖7所示。在圖7中，考慮插入損耗、反射損耗和群時延，m1所指示的曲線綜合指標特性較好，插入損耗特性較為平坦，并且截止頻率靠近50 MHz。如果不考慮反射損耗和群時延，截止頻率可以優化至規定值。

表2 多目標優化的最優解Tab.2 Optimal solution of multi objective optimization

圖5 優化反射損耗仿真圖Fig.5 Simulation diagram of optimized reflection loss

圖6 群時延仿真圖Fig.6 Simulation of group delay

圖7 截止頻率附近的衰減特性仿真圖Fig.7 Simulation of attenuation characteristics near cut-off frequency

4 實際模型仿真與性能分析

在制作濾波器時，需要購置實際器件。電感和電容的理論設計值在實際中并不都存在，需要經過電容和電感的并聯和串聯實現和理論值大致相等的實際值。優化之前濾波器的理論設計電感值需要3個不同數值的電感串聯實現，理論設計電容值需要2個不同的電容并聯實現。需要的電感和電容實際值和型號見表3。

表3 優化前實際電感和電容值Tab.3 Practical inductor and capacitor before optimization

按照表2中優化后的濾波器元器件值制作出實際濾波器模型電路，如圖8所示。需要的電感和電容實際值和型號如表4所示。

表4 優化后實際電感和電容值Tab.4 Practical inductor and capacitor after optimization

圖8 優化后低通濾波器實際電路圖Fig.8 Practical circuit of optimized low pass filter

兩個實際模型電路的仿真結果如圖9所示，由于實際電容和電感存在誤差和損耗電阻，所以實際制作出的濾波器插入損耗比理論仿真值增大。但是經過優化后的低通濾波器在50 MHz的插入損耗比優化前的濾波器改善了約2.5 dB。

圖9 插入損耗比較圖Fig.9 Comparison of insertion loss

5 結 論

針對濾波器的插入損耗、反射損耗及群時延等參數相互制約并且運算量大的問題，利用NSGA-Ⅱ優化算法處理多目標問題的優勢，將該算法用于低通濾波器性能優化。研究結果表明利用該算法可以將截止頻率優化至設計目標，優化后的濾波器實際模型電路比優化前的插入損耗改善了約2.5 dB。研究結果為濾波器實際應用中的性能優化，提供了方法和應用基礎。