高中物理“等時圓”模型及應用

蔣鑫

[摘?? 要]“等時圓”是高中物理的經典模型，在各類測試中出現頻率較高，為使學生牢固掌握該模型，并能靈活應用，教師在教學中應做好對等時圓模型的推導、分析，使學生掌握結論，更理解結論的本質，從而提高學生的應用能力。

[關鍵詞]高中物理;等時圓模型;應用

[中圖分類號]??? G633.7??????? [文獻標識碼]??? A??????? [文章編號]??? 1674-6058（2021）02-0055-02

“等時圓”模型是高中力學中的重要模型之一，相關問題情境復雜多變，很多學生由于不知道該模型，因而在解答相關問題時浪費了大量的時間，甚至出錯。教學中，教師有必要對該模型進行深入探討，幫助學生理解該模式并能應用該模型解決問題。

一、“等時圓”模型的引入

如圖1所示，在豎直圓環上的最高點A處放置一物體，使其分別沿著光滑軌道AB、AC、AD下滑，其中AB為圓環的豎直直徑，物體沿AB、AC、AD軌道下滑的時間分別為t1、t2、t3，試分析下滑時間t1、t2、t3的大小關系。

設圓環的直徑[AB=d]，軌道AD與AB的夾角為[θ]，由幾何知識可知軌道AD的長[l=dcosθ]。物體沿著軌道AD下滑時，加速度[a=gcos θ]。由[l=12at2]，可得t=[2la]=[2dg]。可知物體下滑所用的時間與軌道的長短、與豎直方向的夾角無關，即t1=t2=t3，該模型即為“等時圓”模型。

二、“等時圓”模型的分析

“等時圓”模型推導的難度并不大。該模型還包括另外兩種情境。情境一：物體在豎直圓環上的最高點沿著不同的光滑軌道運動至圓環的低點，所用的時間相等;情境二：物體沿不同光滑弦上端，由靜止下滑到最低點所用的時間相等。

為保證學生在解題過程中能夠靈活應用該模型，教學中應設計相關問題，鼓勵學生思考、解答，引導學生深入認識該模型，明確模型結論成立的條件。

問題1.一定是最高點和最低點嗎？

“等時圓”模型中最高點和最低點至少需滿足其中一個，教師可引導學生尋找圓的一條直徑進行分析。

問題2.一定是光滑軌道嗎？

推導“等時圓”模型時桿是光滑的。如果物體運動過程中所受的摩擦力不能忽略，不難推導出物體運動的時間t與軌道及豎直方向的夾角相關，且夾角越大，所用的時間越小。具體表達式可由學生自己推導。

問題3.物體的初速度一定為零嗎？

假設物體從最高點運動時的初速度不為零。設初速度為v0，圓環的半徑為R，物體沿圓環直徑運動的時間為t1，沿著軌道AC運動的時間為t2，則由運動學知識可知[2R=v0t1+12gt21]，[2Rcosθ=v0t2+12gcosθt22]顯然其運動的時間并不相同。

問題4.不滿足“等時圓”模型能應用其結論嗎？

高中物理習題靈活多變，解題思路也多種多樣，解題時應具體問題具體分析，部分習題雖然不滿足“等時圓”模型成立的條件，但可通過添加輔助線間接應用。

教學中通過設置上述問題，要求學生思考，使學生對“等時圓”模型的認識更為深刻，并得出以下結論：其一，模型中的圓環可以是真實的事物，也可以是不存在的，相關點只要與模型中的情形一致，即在相關的圓上即可。其二，物體由靜止開始運動，且運動軌道是光滑的。

三、“等時圓”模型的具體應用

1.等時圓模型的基礎應用

講解“等時圓”模型知識后，為使學生感受該模型在解題中的具體應用，提高學生應用該模型的能力，教學中應注意設計相關的問題情境，并給學生預留一定的時間，讓學生從“等時圓”模型獲得啟發，嘗試尋找解題思路。

[例1]如圖2所示，一長坡與水平面的夾角為30°，其上有C、O、B三點，且滿足CO=OB=10 m，在O點豎直固定一長10 m的直桿AO，A端與C點間和坡底B點間各有一光滑的鋼繩，且均穿有可視為質點的鋼球，將兩球從A點由靜止開始運動至各繩的末端，則小球在鋼繩上運動的時間tAC、tAB分別為（g取10 m/s2）（）。

A.2 s和2 s ??? B.[2 ]s和2 s

C.[2] s和4 s D.4 s和[2 ]s

分析：該題如采用常規做法，需要找到角度之間的關系，較為復雜。事實上，通過認真審題可知A、B、C三點共圓，且A點為圓的最高點，因此可采用“等時圓”模型解答。解題中繪制過點A、B、C的圓，直接運用“等時圓”模型解答。由“等時圓”模型可知，兩個小球達到各自繩末端的時間相等，均為t =[2dg]，根據題給數據可知圓的直徑d=20 m，則t=2 s，正確答案為A。

2.等時圓模型的延伸應用

部分習題看似與“等時圓”模型沒有關系。但可根據“等時圓”模型中的相關結論進行輔助分析。教學中為使學生能夠活學活用，可設計與“等時圓”模型較為接近的習題，要求學生根據自己的理解作答，檢驗學生對“等時圓”模型的理解程度及應用能力。

[例2]如圖3所示，一豎直放置的光滑圓環軌道與水平面切于點M，與豎直墻切于點A。豎直墻上的B點與M點的連線和水平面成60°，C為圓環的圓心。某一時刻從A、B兩點由靜止釋放a、b兩個小球，使其分別沿著軌道AM、BM運動至M點，c球從C點自由下落至M點，則（）。

A.三個球同時達到M點B. a球最先到達M點

C. b球最先到達M點? D. c球最先到達M點

分析：題目中給出的A、B、C三點并不共圓，因此不能直接用“等時圓”模型解題。但解題時可在該模型的基礎上進行分析，以提高解題效率。因B點并不在圓環上，其長度大于其所在的弦，由“等時圓”模型知a小球比小球b先達到M點，a小球到達M點所用的時間ta=[2dg]。小球c做自由落體運動所用的時間tc=[dg]，顯然c球先于a球到達M點，三個小球到達M點所用的時間大小關系為[tb>ta>tc]，正確選項為D。

3.等時圓模型的強化應用

為打破學生對“等時圓”模型的思維定式，可設計一些較為新穎的習題，要求學生巧妙應用“等時圓”模型分析解答，即將物體在圓環弦上的運動轉化為自由落體運動，從而判斷其運動時間的長短。

[例3]如圖4所示，在豎直面內有一圓環，OD為水平線。圓周上有三根互成30°的光滑桿OA、OB、OC，每根桿上各套著一個小球，將這些小球從三根桿的頂端分別下滑至O點，所用的時間分別為tA、tB、tC，則其關系為（）。

A. [tA=tB=tC] ? B. [tA

C. [tA>tB>tC] ????D.無法確定

分析：認真審題可知O點并不是圓的最低點，無法直接使用“等時圓”模型，但可間接使用，即作出如圖5所示的輔助線。其中[BB']、[CC']和圓分別切于點B和點C，將其轉化到同一直線上，則由“等時圓”模型可知，小球從OB、OC下滑時所用的時間滿足tOB = [tOB']，tOC = [tOC']，又因為小球做自由落體運動時[tOC'>tOB'>tOA]，因此，tA、tB、tC之間的關系為[tA

4.等時圓模型的拓展應用

高中物理教學中，為了提高學生運用“等時圓”模型，靈活解答物理問題的能力，應注重創設難度稍大的問題，對學生進行拓展訓練，使學生能夠把握“等時圓”的本質，并能融會貫通。

[例4]如圖6所示，在同一豎直平面內離地面高H的定點P到半徑為R的定圓的水平距離為L，從P搭建一條光滑軌道到定圓的圓周上，現使物體從P點釋放后沿軌道下滑到定圓的時間最短，求該軌道與豎直方向的夾角（H與L滿足題設要求）。

分析：該題是“等時圓”模型的拓展應用，難度較大。解題時根據“等時圓”模型，以P為“等時圓”的最高點作出一系列半徑不同的“等時圓”，使得軌道末端均落在對應等時圓的圓周上。如圖7所示，物體沿著軌道PM下滑所用的時間最短，設PM與豎直方向的夾角為α，由幾何知識不難得出：[tanα=QD/DP=L/H]，則[α=arc tan（L/H）]。

“等時圓”模型是高中物理的重要模型之一，將其結論應用于解題，能很好地提高解題效率，因此教學中教師應與學生一起分析、推導該模型的結論，尤其通過設計相關的問題，進一步加深學生對該模型的認識，提升應用能力。

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（責任編輯 易志毅）