借力數學實驗 培育幾何素養

陳銀 姚俊俊

【摘 要】作為數學教學中的重要內容，幾何課程越來越受到大家的關注，學生的幾何素養也逐漸進入公眾視野。本文從借力數學實驗入手，在單一結構中豐富幾何概念，在關聯結構中理清幾何關系，在拓展結構中應用幾何模型，切實培育學生的幾何素養。

【關鍵詞】數學實驗 幾何素養

“圖形與幾何”作為數學課程四大領域之一，占比僅次于“數與代數”。由于幾何內容的高度抽象性，以及幾何學習缺少幾何實驗、想象、推理與建模等諸多原因，使得幾何內容成為數學教學的難點之一，學生幾何素養的培養堪憂。這里所說的幾何素養是指面對不同形式的幾何對象，嘗試選擇合適的幾何知識來解決實際問題中所表現出的一種幾何綜合性的能力。如何讓學生的幾何素養豐厚起來？我們倡導的數學實驗課能較好地促進學生幾何素養的提升嗎？由于數學實驗注重幾何操作、想象、實踐等直觀動態活動，能有效促進學生對幾何概念、幾何關系、幾何模型等豐富表象的動態認知，獲得空間觀念，進而讓學生的幾何素養豐厚起來。

一、借力數學實驗，豐富幾何概念

小學是幾何學習的起步階段，由于幾何的概念比較抽象，因此，小學階段教師應盡量幫助學生理解每一個幾何概念的內涵，學生有了正確的概念才會有正確的數學思維。教師可以用多樣化的方法解釋原理，幫助學生理解、鞏固幾何概念，充分明白每個實驗的目的。

例如，在教學“認識四連方”時，學生除了要掌握5種基本形式，在數學實驗課中，教師還要關注學生靈活進行拼組，體驗圖形的運動變換，進一步發展有序思考的能力。將“L”型放進九宮格中，共有多少種不同的擺放方法？將所有的擺放方法羅列出來需要學生觀察五連方“L”型的幾何特征，有一個小正方形比較突出，將“L”型拆分成3+1的圖形。多次實驗后，學生發現可以采用拆分—定位—組合的方式，先確定突出的1個正方形的位置，再把3個正方形進行組合。其中，在確定突出的1個正方形的位置時，方法也是多樣的，可以直接進行翻轉、旋轉、平移，也可以跟九宮格中的數字進行結合，突出的1個正方形放在九宮格中數字1的位置有2種方法，數字2兩種方法，以此類推，發現每個數字都有兩種放法，但是數字5無法擺放，因此也可以用算式2×9-2=16（種）來解決（見圖1）。

四連方的實驗原理就是找準四連方的幾何概念，通過開展系列活動，進行分類整理，學生有了初步感知，了解每個實驗背后的深層原理，掌握幾何特征，從而學會辨析問題的實質原因。蔡金法教授發現學生的操作性實踐經驗要比數學語言、數學符號等抽象思維經驗更直觀，而數學實驗鼓勵學生大膽提出猜想與實踐，有利于將抽象的幾何知識具體化。教師可以利用數學實驗的特點，引導學生透過現象看到問題的本質，知道幾何概念產生和發展的來龍去脈，從而真正起到培育學生幾何素養的效果。

二、借力數學實驗，理清幾何關系

小學數學的知識結構是相關聯的，因此在數學實驗課中對幾何概念進行深刻理解以及加強概念之間的聯系，通過將單一結構中零散的幾何概念進行關聯分析，使幾何的內涵和外延不斷豐盈，從學習開始時由外而內的結構理解，到由內而外的關聯生長。傳統的數學課遵循階段目標，每個階段的知識點是固定的，而數學實驗課打破了常規的知識結構，依據學生的學習需求，在設計教學目標時并不僅僅局限于在某年級的重點知識點上，而且關注發展目標，從學生的主體出發，將知識點形成點狀網，從整體上建構幾何知識。

推理能力的發展對于理清幾何關系起著非常重要的作用，無論是數學，還是學習、生活中經常使用的思維方式都是推理。幾何關系推理的過程是揭示幾何內在多種關聯關系，發現幾何對象之間本質關系的過程。推理能力的發展貫穿于整個幾何學習過程中，包括合情推理和演繹推理，合情推理用于探索思路，發現結論;演繹推理用于證明結論，這兩種推理相輔相成。

例如，在學習《觀察物體》一課后，學生已經會從不同角度觀察物體，教師要進一步培養學生的推理能力可以這么做：從正面和右面這兩個角度觀察同一個物體看到的形狀，你能想象出這是一個什么樣的立體圖形嗎？最少用幾個小正方體？

學生經過一步一步推理，發現3行3列中，只要每一行和每一列都只有1 個小正方體，就能保證不管是從正面看還是從右面看，看起來都有3個小正方形。

實驗過程中通過觀察發現正面、右面觀察都是3個正方形，進行比較分析共同的特點，抽取其本質幾何屬性，嘗試推理出不同的擺放方法（見圖2），實驗驗證推理是否成立。推理能力的培養需要學生在實驗中不斷積累成功或失敗的經驗，這些經驗在之后的數學實驗探索中會逐步形成能力，促進學生的發展。在厘清幾何關系中需要綜合各種數學信息，建立起多維度的幾何網絡，探尋幾何對象間的關聯，發展學生對幾何關系的推理能力。

三、借力數學實驗，建立幾何模型

數學教育家波利亞曾經說過：“數學就是教會學生如何去思考。”學生在合作交流中，分享了學習經驗;在質疑批判中，建構了模型;在補充理解中，幾何素養進一步提升。模型思想的滲透應該貫穿整個幾何教學的始終，數學建模的過程充滿挑戰，引導學生從實際情境中進一步抽象出數學問題，構建基本幾何模型，在尋求結果、解決問題的過程中不斷拓展模型應用。

1.幾何建模——在問題情境中建立基本模型

建模是一個綜合性的過程，教師引導學生對現實情境進行抽象并概括，在整個建模過程中培養學生多方面的能力，不僅僅是知識與技能，更多的是讓學生掌握數學思想方法，積累活動經驗，情感態度等方面也得到了培養。

例如，研究“長方形周長的變化”時，實驗要求是長方形邊上剪掉若干塊長方形后，周長發生改變了嗎？學生首先要了解長方形周長的概念，剪掉若干塊后，變成不規則圖形，求不規則圖形周長的過程中發現與原有長方形周長之間的聯系，通過平移發現周長的變化，學生需要了解實驗問題，明確初始條件和最終目標，從而建立基本模型（見圖3）。

2.模型應用——在解決問題中加深模型理解

建模之后，學生需要在實際生活中體會模型的作用，靈活選擇模型，而不是簡單地重復或者生硬地套用，突出解決實際問題的思維過程，并進行大膽的猜想，進一步分析思維過程，加深學生對數學模型的理解，從而促進數學模型的內化。

例如，利用一張白紙通過不同的方式轉變成不同的立體圖形，并比較體積的大小。已知長方形長是18.84cm，寬是12.56cm，你能想辦法圍成一個圓柱體嗎？體積是多少呢？不同層次的推理能力展示的結果也是不一樣的。

實驗結果1，不剪開，直接圍。通過沿著長方形的長或寬卷一卷得到圓柱體（見圖4）。

實驗結果2，剪一次圍成圓柱體。豎著剪平均分成兩份圍成圓柱體，橫著剪平均分成兩份圍成圓柱體。

實驗結果3，按照豎剪、橫剪的分類有序思考，圍成的圓柱體的體積也有規律可循。豎切后再進行拼接，豎切等分的份數越多，如果“左右”圍成，則圓柱的底面半徑越來越短，高越來越長，體積越來越小;如果“上下”圍成，則圓柱的底面半徑越來越長，高越來越短，體積越來越大。橫切后再進行拼接，如果“左右”圍成，則圓柱的底面半徑越來越長，高越來越短，體積越來越大;如果“上下”圍成，則圓柱的底面半徑越來越短，高越來越長，體積越來越小（見圖7、圖8）。

學生經歷平面圖形到幾何立體圖形的形成過程，通過問題解決、模型建構，發現不同的方式可以得到不同的立體圖形。學生對幾何模型構建的過程體驗是深刻的，探究學習更加真實，探究的結果也更加科學，記憶也就更深刻。在嘗試中積累經驗，從而真正理解幾何知識。從最貼近學生生活的素材選取數學模型，能充分提升學生的學習興趣，生活中的原型作為學習素材，會讓學生感到很熟悉，也很新奇，以解決自己的問題作為新知探索的動力。在嘗試中學會幾何知識，從不同角度進行分析，靈活運用所學知識解決問題，在這個過程中，學生能更清楚地認識到生活中的幾何圖形，感受到數學與生活是密不可分的。

小學生的幾何素養發展十分重要，它影響著幾何學習乃至其他任何學科的學習，數學實驗課促使學生有機會親身體驗知識的建構過程。教師要搭建數學實驗與幾何學習之間的橋梁，在具體情境中學會合理提取適當的概念，進行深層次思維的數學猜想和驗證，引導學生溝通操作與思維之間的聯系，從而學會思考，切實提高幾何素養。