數學實驗：跨界聯結視域下的創新力培養

吳恢鑾 呂瓊華

【摘 要】“如何估測樹葉的面積”是在人教版數學五年級上冊“估測不規則圖形面積”基礎上設計的統計概率類數學實驗內容，旨在讓學生經歷“提出問題—實驗猜想—實驗驗證—實驗反思”跨領域解決問題的過程中，探索隨機數據和面積的聯系，體驗轉化、隨機等數學思想，培養學生“跨界研究”問題的創新意識和實驗能力。

【關鍵詞】跨界聯結 真實性問題 創新力

一.課前慎思

喬布斯曾經說過，創新就是把不同的事物聯系起來。

數學家皮埃爾·德利涅曾說過：“在數學中，當你發現兩個看似沒有共同之處的東西事實上相互關聯是一種樂趣，而在兩個問題之間建立一個支點則是一個強大的工具。”

可見，數學學習中能把不同領域的知識、方法和思想關聯融合，讓學生探索跨領域、跨學科知識間的內在聯系，不僅可以提升學生解決真實問題的能力，更是在培養學生的創新力。

解決非常規性數學問題作為一種高級的智力活動，從問題的產生到解決，牽涉到許多更高層次的心理活動過程，其中不同知識領域與不同思維方式的“跨界聯結”，是學生實踐能力與創新思維的有力體現。我們如何借助數學實驗這種學習方式，通過非常規性數學問題的解決，來引領學生實現不同知識領域的“跨界聯結”呢？

“如何估測樹葉的面積”是筆者在人教版數學五年級上冊“估測不規則圖形面積”的基礎上設計的拓展類數學實驗內容，旨在讓學生在經歷“提出問題—實驗猜想—實驗驗證—實驗反思”跨領域解決問題的過程中，探索隨機數據和面積的關聯，體驗轉化、隨機等數學思想，進而培養學生“跨界研究”問題的思想意識和創新力。

二、課堂再現

（一）任務驅動，提出問題

1.提出問題

師：根據課件（見圖1），你能提出什么數學問題？

學生提出的問題有：

（1）長方形面積是多少？

（2）樹葉的面積是多少？

（3）樹葉的周長是多少？

（4）長方形面積是樹葉面積的幾倍？

（5）樹葉面積是長方形面積的幾分之幾？

（6）空白部分的面積是多少？

師：請同學們把這些問題分一分類？

（學生把問題分成兩類：一類求面積，一類求周長）

2.篩選問題

師：今天這節課我們先來研究樹葉的面積。有哪些方法可以估計樹葉的面積呢？

生：我將長方形分割成單位面積的小正方形（見圖2），通過數小正方形的方法估測面積。這里可以把小方格分為兩類：一類是整格的，另一類是不滿一格的。不滿一格的都按半格計算。

師：用數格子的方法，而且能把格子分成整格和不是整格兩類，再進行統計計算，想法很好。

生：我是把樹葉轉化成我們已經學過的正方形來估計面積的。

師：你用轉化算，用到轉化思想，真不錯。

3.任務驅動

師：同學們想到了分類數和轉化算這兩種方法估測樹葉的面積，很不錯。不過，如果沒有格子圖，只是給你們每個小組提供了一盒綠豆（見圖4），你能想出新的方法來估測樹葉的面積嗎？

（二）探索嘗試，設計實驗

1.探尋方法

（1）你能利用這些材料創設出新的方法來求樹葉的面積嗎？

（2）小組交流：玩一玩，議一議。

2.方法交流

方法1：直接鋪設法。

生：我們小組想先用綠豆填滿樹葉（見圖5），然后數出綠豆的數量，估計出一顆綠豆底部的大小，再用一顆綠豆的底面積乘綠豆的數量來推測樹葉的面積。

師：想一想，用這種方法估測樹葉可能會碰到什么困難？

生：綠豆很難數，綠豆并不是一個規則的立體，底面面積很難計算。

方法2：鋪滿轉化法。

師：我們小組先將綠豆鋪滿整張樹葉（見圖6），然后把這些綠豆擺成一個長方形，現在只要量出這個長方形的長和寬，就能計算出長方形的面積，也就推測出了樹葉的面積。

師：你們覺得這個辦法怎么樣？

生：我覺得這個方法將不規則的樹葉轉化為規則的長方形圖形，這樣就解決了估測一粒綠豆底面積不準的問題，可以更加精確、更加方便地計算出樹葉的面積。

方法3.撒綠豆實驗法。

生：我們組的方法與大家很不同，我們想到在樹葉上空撒下一把綠豆，綠豆就會散布在長方形里，然后我們再數出長方形里面和樹葉上的綠豆的數量，看看兩部分數量有怎樣的倍數關系，它們的面積也應該具有這樣的倍數關系。因為長方形的長和寬可以測量，可以計算出長方形的面積，然后就可以根據倍數關系計算出樹葉的面積了。

師：這種方法很特別，大家聽能明白嗎？他們這一組采用的是什么方法？

生：他們想用圖形中綠豆分布的數量關系來推測樹葉面積與整個長方形之間的關系。

師：你們是怎么想到用撒綠豆這種方法的？

生：老師，我們盒子里的綠豆很少，不夠鋪滿整片樹葉，我們只好想到用撒綠豆的方法來粗略地估測樹葉的面積。

師：大家評價一下這種方法到底能不能估測出樹葉的面積呢？

生1：如果只撒一次，撒不均勻，怎么辦？

生2：撒一次可能不夠，可以多撒幾次，每次盡量撒得均勻，我覺得這樣的話，可以試一試。

生3：這種方法我們以前從來沒有遇到過，可以先試一試，做一做實驗，然后再下結論行還是不行。

師：大家的思考和評估非常理性，不輕易相信一種方法，也不輕易否定一種方法，而是通過嘗試后，用事實說話，很好。我們可以試一試做實驗。想一想，我們在做撒綠豆實驗時可能會遇到什么問題？你們試一試后再來交流。

3.規范實驗

生1：為了解決撒得不太均衡的問題，我們小組通過實驗后總結出了一些經驗。首先，撒綠豆的高度在10厘米最好，其次，要居中撒下來，力度不能太重，也不能太輕，自然撒落最好。

生2：我還有補充，筐要放平，不能搖動。綠豆要抓一小把，一次性自由撒落。

生3：為了避免出現偶然性，我們組認為要多做幾次實驗。

生4：用大數據來推測會比較準確。

師：通過嘗試和實驗，大家從撒綠豆的高度、位置、力度等方面總結出了怎么撒比較均衡，還領悟到了一個重要思想方法，就是要多撒幾次，把偶然性降低。

（三）實驗實施，檢驗方法

1.實驗要求

師：怎么隨機撒綠豆，怎么統計綠豆，也就是說怎么做一個比較規范的實驗，大家已經清楚了，現在請大家小組合作做實驗。做實驗時，要注意以下幾個問題。

（1）撒豆：四人小組，大家輪流撒綠豆。

（2）記錄：每撒一次，統計員就要記錄數據。

（3）計算：最后算出幾次實驗的總數據。

2.實驗實施

全班分為10個小組，每人參與實驗過程。

3.實驗數據

收集全班數據，并利用Excel表格（見表1）把數據轉化為條形統計圖（見圖7）。

4.分析數據

師：你有什么發現？又有什么猜想？

生：長方形內綠豆數量是樹葉圖形內綠豆數量的2倍左右。我猜想，長方形的面積是樹葉面積的2倍左右。

師：我們來測量一下長方形的長和寬，長是15厘米，寬是12厘米，根據這個猜想，請你推測出樹葉的面積。

生：15×12÷2≈90（平方厘米）。

5.實驗驗證

師：到底猜想是否正確呢？我們還需要去驗證。你打算怎樣驗證？

生：我們可以用以前學過的分類數和轉化算的方法來驗證。

師生活動后，組織反饋。

生1：我用分類數的方法得到的面積大約是89平方厘米。

生2：我用轉化算的方法，得到面積大約是90平方厘米。

6.實驗結論

用撒綠豆的實驗方法，獲得實驗數據后，計算出長方形和樹葉上綠豆數量的倍數關系，根據它們數量的倍數關系可以推測出這兩種圖形的面積關系，從而推算出樹葉的面積。

（四）實驗反思，揭示原理

1.實驗反思

師：為了區別于分類數、轉化算，今天這個方法可以取什么名稱？

生：可以取名“實驗估”。

師：比較這三種估測樹葉面積的方法，你有什么想說的？

出示圖8。

生1：如果有格子圖的話，轉化算比較簡單，但是結果不一定準確;分類數比較準確，但是數比較麻煩。

生2：如果沒有格子圖，我們可以用綠豆或者大米、黃豆這些東西，通過做實驗來推測不規則圖形的面積。但做實驗要注意撒得均勻，做的次數要多一些。

師：我們已經會用分類數、轉化算來估計不規則圖形的面積了，為什么這節課還要去發明“實驗估”這種方法呢？

生1：可能性和幾何圖形的面積聯系起來，我們以前沒有做過。原來用隨機實驗可以推測出樹葉面積，很神奇。

生2：這節課我們學會了解決問題的一種新方法：發現問題，提出問題，然后做實驗又發現問題，形成猜想，最后驗證猜想是否正確。

師：蘋果手機的創始人喬布斯曾經說過一句話，創新就是把不同的事物聯系起來。這節課我們用統計概率的思想去解決面積問題，就是把不同領域的知識與思想方法聯系起來，這是一種創新，我們在做一件跨界思考的事。

2.揭示原理

師：其實早在幾百年前，就有了這樣的方法。我們來了解一下實驗原理。

閱讀材料：蒙特卡洛法。

考慮平面上一個邊長為1的正方形及其內部一個形狀不規則的“圖形”，如何求出這個“圖形”的面積呢？蒙特卡洛法是這樣一種“隨機化”的方法：向該正方形“隨機地”投擲a個點落于“圖形”內，有b個點落入這個不規則圖形中，則該“圖形”的面積近似為b/a。

師：如果你對這個蒙特卡洛實驗法感興趣，課后可以上網進一步去了解和學習，還可以進一步思考，這個實驗法還可以幫助我們解決哪些實際問題？

三、課后再思

如何測量樹葉的面積，學生在經歷了第一段借助方格圖估算樹葉的面積外，面對沒有方格圖，僅借助綠豆，能否想到新的方法去解決。“實驗估”把“統計概率”與“幾何面積”聯系了起來，實現了思維的跨界，這種方法的價值不在于是否“實用”，而在于思維方式的創新，像這樣具有探究性、拓展性的實驗內容，學生不僅學會了問題解決的策略與方法，更是豐富了數學經驗，發展了數學能力，拓寬了數學思想。由此可見，“跨學科課程”要讓學生真實地融入問題情境之中，在高認知水平的數學任務驅動下，激發學生學習的主動性和持久性，使數學實驗更多指向創造性和批判性思維。

“跨界聯結”視角下的數學實驗學習要擺脫“一題、一例、一解”的處方化模式，要開放問題的探索空間，讓學生可以從多角度提出問題，進而讓學生篩選出有價值的問題。如利用綠豆，有辦法估測出樹葉的面積嗎？這個問題探索空間就非常大，使得學生有機會經歷“直接鋪設法—密鋪轉化法—撒綠豆實驗法”思維不斷創新的過程，知識聯結不斷跨界的過程，從定向測量到轉化度量，最終想到用統計概率的思想研究面積，使“面積”與“概率”兩個不同領域的內容在思考與實踐中實現了完美“跨界聯結”，這一“跨界聯結”不僅打通了學生的隨機思想和定量思想的“任脈”，而且實現了思維方式的創新。

教師也不能簡單地將學生封閉在“知”與“不知”的動態平衡上，而要延伸到整個實驗活動的“問題”和“解決”空間上，使他們在實驗探索中獲得一次次良好的深度情感體驗。如深度評估與反思“直接鋪設法”“間接轉化法”和“撒綠豆實驗法”三種測量方法，完成實驗探索后再對“分類數”“轉化算”和“實驗估”三種方法的比較體驗，特別是對“實驗估”的看法，有學生提出：“可能性和幾何圖形的面積聯系起來，我們以前沒有做過這樣的思考。”這是學生深度參與學習后獲得的深度反思。

總之，“跨界聯結”視域下數學實驗課要讓學生的高階認知與元認知協同發展，唯有這樣，學生的創新力才能不斷迸發。

【參考文獻】

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[4]吳恢鑾，張天孝.數學實驗：讓數學課好玩起來[J].小學數學教師，2017.