2.5D有限元建模關鍵問題

王瑞　胡志平　任翔　李芳濤　溫馨

摘要： 為了提高2.5D有限元數值計算的求解精度及建模效率，分析了移動荷載作用下地基系統的動力響應特點，確定了計算域選取及網格劃分的基本規則，評價了地基分層對波場的影響及邊界的波動吸收效果，提出了可以規避邊界影響的建模思路。分析結果表明：當計算域尺寸滿足低頻振動要求（約60 m）時，反射波對計算結果的影響可以忽略;建模時可以采用輻射狀網格劃分，最小網格尺寸需滿足高頻振動要求（約0.5?1.0 m）。荷載運行速度小于地基瑞利波速時沒有波動傳播現象，建議直接采用固定邊界;荷載運行速度大于地基瑞利波速時可以通過切取局部計算域的方式規避反射波的影響，此時計算域半寬和縱向空間范圍的選取需要遵循與馬赫錐錐角和列車全長相關的幾何關系。荷載影響深度內的地基分層會擾亂地基波場，當地基上覆軟弱土層或軟弱夾層時，波動會在軟土層聚集并在加載點后形成多個馬赫錐。

關鍵詞： 分層地基; 建模; 2.5D有限元; 網格劃分; 吸收邊界

中圖分類號： TU472; TU311.3??? 文獻標志碼： A??? 文章編號： 1004-4523（2021）01-0080-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.01.009

引 言

隨著鐵路交通運量及速度的不斷提高，列車運行引發的環境振動問題逐步凸顯。針對列車荷載作用下路基內部動應力的分布規律對路基長期沉降及穩定性影響規律的研究也日益增多。現有研究方法主要有現場實測、室內模型試驗及數值模擬三種，其中數值模擬方法被廣泛采用，計算結果的精度及可靠性也在逐步提高^[1?7]。為了兼顧計算效率，以往常采用二維平面問題研究列車荷載作用下地基系統的動力響應規律^[8]。在地震工程領域，研究P波和SV波入射引發的場地動力響應規律時可以基于場地特點將三維問題簡化為平面應變問題^[9]。研究列車荷載引發的地基動力響應時，雖然地基斷面大多沿荷載移動方向保持不變，但在移動荷載作用下地基系統的響應特點并不符合二維平面問題的相關假定。Yang等^[10]分析了移動荷載作用下二維和三維地基的動力響應規律，指出當三維問題中荷載移動速度無限大時地基的動力響應規律與二維問題一致。也就是說，簡化的二維平面模型不足以揭示列車移動荷載下地基系統的動力響應規律。

2.5D有限元方法是計算移動荷載作用下地基系統三維動力響應規律的高效方法之一，其基本原理是假設路基斷面沿列車運行方向保持不變，通過在列車運行方向上的波數變換避免了該方向上的有限元離散，大大縮減了模型的自由度^[7]。影響有限元計算精度的因素主要體現在網格劃分、邊界條件選取、地基材料參數及收斂判據等方面。由于地表作用移動荷載情況下地基的響應問題屬于典型的內源問題（即波源在計算域里面），其波動激發特點及傳播規律具有很強的特異性^[5?7]。地震工程問題數值建模過程中采用的網格劃分、計算域選取及吸收邊界條件設置等規則無法直接引入。

關于2.5D有限元建模過程中的邊界處理及網格劃分問題，周彪等^[11]以瑞利波速為基準探討了不同邊界條件下的計算域選取和網格尺寸對計算結果的影響，指出計算域半寬以大于1.5倍瑞利波速為宜。然而，筆者分析路基系統動力響應問題時發現上述規律尚不足以揭示2.5D數值模型特點和網格尺寸確定、計算域選取及吸收邊界設置時的基本規則。采用有限元方法研究交通荷載作用下地基動力響應問題時大多學者并未對網格劃分、計算域選取及人工邊界的設置情況進行深入探討。有鑒于此，本文從內源移動荷載作用下地基系統的動力響應特點及相關科學問題入手，論述了網格及計算域尺寸選取基本原則，評價了地基分層對波場的影響及人工邊界的波動吸收效果，給出了可以規避邊界影響的建模建議。

1 算法驗證

本文以MATLAB軟件平臺編制2.5D有限元程序，有限元的網格劃分和單元、節點位置等信息通過ANSYS有限元軟件實現并導出，理論基礎及建模過程詳見文獻[7，10?11]。

為了驗證計算程序的可靠性，計算了均勻半空間表面作用移動點荷載時的地基動力響應規律，采用Eason經典解為對照組。計算域深度及底部邊界情況按要求設置，模型半寬統一設置為30 m，網格采用四節點等參單元劃分，尺寸介于0.4?1.0 m之間。側邊界暫統一設置為固定邊界。移動點荷載采用狄拉克函數模擬，移動速度70 m/s，地基參數參照文獻[7]。選擇加載點下深度1 m處觀察點的位移響應進行驗證，將響應數值乘以2πρc_s²/P進行歸一化，其中P為荷載大小，c_s為剪切波波速，ρ為介質密度。觀察點豎向及沿荷載運行方向的歸一化位移響應如圖1所示。對比可以看出本文提出的2.5D有限元程序可以用來計算移動荷載作用下的地基響應問題。

2 內源移動荷載下地基響應的特點

2.1 運行速度的影響

以半無限地基表面作用一點荷載為例，當荷載移動速度為0時為靜力問題，地基變形可以通過彈性力學計算得到;當荷載移動速度無限大時，三維地基響應符合平面問題基本規律，即此時可以等效為沿運動方向的線荷載^[10]。當荷載移動速度介于兩者之間時，地基響應隨荷載移動速度的提高呈現兩種不同的特點。當運行速度低于地基瑞利波速時（v<c_R），荷載的移動會引發土體主應力軸的旋轉，但無波動傳播現象，如圖2（a）所示;當運行速度不低于地基瑞利波速時（v≥c_R），馬赫效應出現，土體主應力軸旋轉的同時有波動向外傳播，此時環境振動的影響范圍顯著增大，如圖2（b）所示（圖2由本文2.5D有限元程序計算得到）。上述移動荷載引發地基響應的特點是決定數值建模過程中網格劃分、計算域確定及邊界條件選取的重要依據。

2.2 邊界條件

為了模擬無限域對外行波的吸收效果，研究人員基于工程波動及有限元相關理論提出了多種行之有效的人工邊界條件。由于研究內源移動荷載問題時無需像地震工程問題一樣在滿足波動吸收效果的同時實現邊界處的荷載施加^[12]，吸收邊界的選擇較為自由。研究人員往往根據自身研究背景選取不同的人工邊界條件，目前常見的有黏彈性邊界、無限元邊界、多層黏性邊界、薄層單元及固定邊界等^{[5，10，13?15]}。

2.3 研究范圍選取

移動荷載作用于地基時，無論研究地基內部的動應力分布規律還是地基表面的環境振動規律，其影響范圍都是重要指標之一。已有研究表明，地基內部動應力的衰減深度一般不超過20 m，地基表面環境振動的衰減距離一般不超過40 m。研究環境振動時，地表振動強度衰減規律十分重要，一味選擇較小的計算域（以至于地表波動在域內無法充分衰減）在一定程度上與研究目標相悖。在慎重選擇人工邊界條件的情況下，適當擴大研究區范圍很有必要，分析時切取的有限域應該適當包絡移動荷載的影響范圍。此外，由于邊界上的動應力較小而不致產生明顯的波動反射，部分研究者建議直接采用固定邊界研究列車荷載在地基內部的傳播規律^[5]。

3 計算域選取及網格劃分原則

為滿足波動數值模擬的精度要求，在有意義的最短波長內需要包含足夠數目的空間步距才能避免由于對連續介質的有限元離散引起的“低通效應”對結果的影響^[15]。Yang等根據2.5D頻域計算方法特點系統地總結了計算頻率對網格劃分和計算域尺寸的要求，指出不考慮荷載自振時特定計算頻率ω時，對網格尺寸r及計算域半寬R的要求如下式所示^[16]

式中λ_s和k_s分別表示考慮荷載移動速度時S波在計算頻率ω情況下的波長和波數。對于P波和表面R波（瑞利波），只需將其中剪切波波速c_s改為相應波速即可。網格尺寸和計算域半寬為地基材料參數、車速和計算頻率的函數，高頻分量限制網格尺寸，低頻分量則決定了計算域范圍。為了兼顧軟、硬兩種地基材料，本文分別在c_s為50和100 m/s情況下繪制了網格尺寸隨車速及計算頻率的變化規律（如圖3所示），可以看出最大網格尺寸并非隨加載頻率和列車速度單調變化。考慮到有限元網格劃分及計算域的選取需要同時兼顧計算效率及精度要求，結合實際列車荷載作用下地基響應的頻譜特征^[7]，建議考慮高頻分量時（15?30 Hz）最大網格尺寸在0.5?1.0 m，模型半寬大于1.5?3.0 m即可滿足要求;低頻時（0.5 Hz）最大網格尺寸要求可以適當放寬至約20 m，半寬大于60 m即滿足要求。為了兼顧高低頻分量，目前常用的方法是在建模時采用輻射狀網格劃分，以加載點為基準網格尺寸逐漸增大，最小網格尺寸滿足高頻要求，計算域尺寸滿足低頻要求。需要注意的是每次向外擴展網格時滿足“當前計算域尺寸>3倍當前網格尺寸”即可。

4 移動點荷載下的地基波場及邊界吸收效果

4.1 模型情況

4.1.1 網格劃分及基本計算參數

切取計算域的半寬為75 m、深度為36 m，網格尺寸按0.5，1.0，2.0 m三級輻射劃分，如圖4所示。地基土體為單一土層，參數取密度ρ=1600 kg/m³，剪切波速c_s=90 m/s，泊松比υ=0.3，阻尼系數β=0.04。荷載移動速度v=100 m/s，荷載大小為100 kN。

4.1.2 積分變換參數

由于2.5D有限元是在頻率?波數域內完成系統動力方程的求解，之后通過傅里葉反變換獲取時間?空間域的動力響應，時程響應滿足Z=vt的變換規律。本文坐標軸方向如圖2（a）所示。由于列車長度是恒定的，一般在特定的縱向（Z向）空間范圍L內展開計算。根據采樣定律，當車速為v、采樣點為N時，計算時長T為

由于并未在Z向進行網格劃分，時程曲線精度取決于積分變換的精度，當采用的頻率分辨率包含較為全面的頻譜信息時即可獲得準確結果。積分變換的關鍵參數由L，N和v共同確定，需根據具體工況謹慎選取。建議可以通過空間步長?L來界定上述參數，其數值不宜超過0.5 m，否則可能會遺漏時程響應的關鍵信息。本文取L=150 m，N=600。

4.2 邊界條件的影響

4.2.1 黏彈性人工邊界

考慮到以往黏彈性邊界參數推導過程中忽略了介質阻尼對波動傳播的影響，理論上不甚完備。本文首先基于三維黏彈性本構參數下的波動傳播理論推導柱面波傳播時的黏彈性邊界參數取值。關于2.5D數值分析中的復阻尼及波動在黏彈性介質中的傳播情況介紹詳見文獻[7，17]。

關于2.5D有限元人工邊界的波動吸收效果，以往多用觀察點的時程曲線進行考量，鮮少通過波場直接觀察列車荷載激發的應力波在邊界處的反射情況。與時程曲線對比，波場快照可以更加直觀且全面地展現波動在邊界處的傳播細節。黏彈性邊界情況下地表面位移場如圖5所示。從三維云圖和波場快照可以看出，在采用黏彈性邊界時邊界依然有輕微波動反射出現，根本原因是其在理論上不能完全滿足嚴格的波動吸收條件。

4.2.2 無限元邊界

為了驗證上述論述，結合本文等參數四節點單元構造如圖6所示的四節點無限元單元^[19?20]。

采用無限元邊界時地表面豎向位移的波場快照如圖7所示?？梢钥闯龃藭r邊界處有輕微波動反射現象，其原因依然是衰減函數的形式及衰減因子等的取值只滿足近似意義上的波動傳播條件，并不完全嚴謹。因此在采用人工邊界時追求完全意義上的波動吸收效果還不夠現實。

4.3 地基分層對波場的影響

實際工程中上述單一地層情況較為少見，更多時候地基呈現明顯分層特征，波動在地層分界面上的透反射會導致波場變得較為復雜。因此有必要揭示分層地基情況下地表移動荷載激發的波動傳播規律。在圖4所示網格劃分基礎上，分別設置上硬下軟、上軟下硬和軟弱夾層三種分層地基討論波動傳播規律，地基分層及土層參數如圖8所示。設荷載移動速度為100 m/s，采用黏彈性人工邊界，其余加載參數與上文一致。

三種典型分層地基情況下場地豎向位移波場如圖9所示。與圖5對比可以看出，地基分層對場地波場影響顯著，地表出現多個馬赫錐，且馬赫錐的位置與中斷面上波場分布有明顯的對應關系。在軟、硬土層分界面上可以看到波動反射現象。對比圖9（a）與（b），（c）可以看出，當地基上覆軟弱土層或者軟弱夾層時，波動會在軟土層聚集并且在加載點后形成多個馬赫錐，拉長波場范圍。

另外，在圖9（c）中馬赫錐前方的三角區域可以觀察到輕微的波場擾動。通過圖10中并列的兩張波場圖片可以看出，經傅里葉反變換得到的場地響應表現出明顯的周期性，該擾動是由傅里葉變換的周期延拓性質帶來的虛假反射。

為了避免虛假反射的影響，在計算時需要保證縱向影響區域被全部包括在計算范圍L內?；谏鲜稣J知，在擴大L至300 m情況下（N=1200），分別獲取上覆軟土層厚度分別為4.5，10.5和36 m情況下地基波場如圖11所示。

此時由于選取的空間范圍較大，虛假反射消失。另外，隨著上覆軟土層厚度的增加，分界面上波動的透反射對底邊波場的影響逐漸減小，加載點后部的馬赫錐漸趨于消失，馬赫錐錐角也漸趨一致。當地層分界面在列車荷載影響深度以下時可以忽略地基分層對波場的擾動。由于實際工程地質條件各不相同，本文僅針對三種典型地基做了趨勢性分析，以期為后續針對具體工程的定量研究提供參考。

4.4 吸收效果評價

以圖5，9及11所示工況為例獲取不同地基情況下波動幅值在橫向（X向）上的衰減規律如圖12所示。雖然從波場快照上可以看到波動反射現象且反射情況隨著地層條件變化各不相同，但在模型邊界處幅值衰減率均不超過2%。因此從工程角度分析場地動力響應規律時可以忽略反射波的影響。上述認識是在計算域半寬為75 m情況下獲得的，模型半寬不同時波動的反射情況會有所變化。

5 建 議

研究移動列車荷載作用下地基響應規律時，雖然常用的人工邊界不能滿足嚴格的波動吸收條件，但是可以通過計算域的合理選取獲得良好的計算效果。本節在上文分析基礎上，結合荷載速度變化時地基響應的基本特點和網格尺寸及計算域選取的基本規則，探討可以獲取無反射波擾動波場響應的建模思路。

5.1 工況一，v<c_R

當荷載移動速度小于地基材料瑞利波速時沒有波動現象產生，且荷載影響范圍有限，如圖2（a）所示。此時吸收邊界條件對結果沒有影響，設置邊界條件時需要注意的是不要選擇不具備彈性恢復能力的人工邊界（如黏性邊界），建議可直接采用固定邊界。

5.2 工況二，v≥c_R

5.2.1 模型半寬

當荷載移動速度不小于地基材料瑞利波速時需要按照動力問題處理。若需要獲得完美的計算效果，可以通過切取局部場地實現。圖13為切取圖5中局部場地響應得到的地表豎向位移場。波場較為完美的原因是移動點荷載激發的地表波動會以“馬赫錐”的形式向遠處傳播，錐角θ與地基參數及列車速度之間的關系為：θ=arcsin（c_R/v）。根據Snell定理，界面上發生波動反射時同一種波形的入射角和反射角是一致的，在入射波和反射波夾角范圍內的場地響應不受影響。因此，在計算精度要求特別高時可以采用附加計算范圍的形式規避反射波對波場的影響，如圖14所示。邊界延長范圍d滿足下式即可

同時，根據上文介紹的關于單元尺寸的相關要求，延長范圍內的單元網格可以劃分得足夠大。范圍內網格尺寸只要小于（D+d）/3即滿足理論要求。因此采用此方法并不會過多增加網格數，從而保證了計算效率?？紤]地基分層情況下的波場較為復雜，馬赫錐錐角θ與土層分布相關，難以通過簡單的數學計算獲得準確結果，建議在建模過程中通過試算確定。確定d時需要注意由于地基分層引發的多重馬赫錐現象。

另外，當運行速度等于瑞利波速時延伸范圍接近無限大，式（23）不再適用。由于動應力在地基內部衰減很快，深度方向一般根據地層條件適當選取即可，盡量延伸至基巖面。

5.2.2 縱向空間范圍

為了避免由傅里葉變換周期延拓性質帶來的虛假反射（如圖10所示）對波場的擾動，需要進一步界定縱向空間范圍的選取規則，即保證縱向影響區域被全部包括在計算范圍L內。如圖14所示，其數學表達可以寫為

式中δ為由多重馬赫錐現象造成的波場縱向延伸距離。

6 結 論

本文論述了內源移動荷載作用下地基響應的基本特點，在此基礎上總結了采用2.5D數值模擬技術時計算域選取及網格劃分的原則，評價了地基分層對波場的影響及人工邊界的波動吸收效果，建議了可以獲得無反射波擾動波場響應的建模方法。得到以下幾點結論：

（1）考慮高頻分量時（15?30 Hz）最大網格尺寸在0.5?1.0 m，模型半寬大于1.5?3.0 m即可滿足要求;低頻時（0.5 Hz）最大網格尺寸要求可以適當放寬至約20 m，半寬大于60 m即滿足要求。建模時可以采用輻射狀網格劃分，最大網格尺寸滿足高頻要求，計算域尺寸滿足低頻要求，同時注意每次向外擴展網格時需要滿足“當前計算域尺寸>3倍當前網格尺寸”。

（2）由于現有的人工邊界大多在理論上不能滿足嚴格的波動吸收條件，在邊界處依然有波動反射現象。當計算域的選擇滿足低頻要求時反射波對計算結果的影響很小。

（3）荷載運行速度小于地基瑞利波速時（v<c_R）沒有波動傳播現象，吸收邊界條件對結果沒有影響，建議可直接采用固定邊界;荷載運行速度大于地基瑞利波速時（v>c_R）可以通過切取局部計算域的方式完全規避反射波的影響，此時計算域半寬和縱向空間范圍的選取需要遵循與馬赫錐錐角和列車全長相關的幾何關系。

（4）荷載影響深度內的地基分層會擾亂地基波場，當地基上覆軟弱土層或軟弱夾層時，波動會在軟土層聚集并在加載點后形成多個馬赫錐，拉長波場范圍。

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Abstract： In order to improve the solution accuracy and modeling efficiency of 2.5D finite element numerical method， the dynamic response characteristics of ground system under moving load are addressed. The basic rules in selecting computing range and meshing are established. Moreover， the effects of ground stratification on the wave field and wave absorption capacity of boundaries are evaluated. Finally， the modeling approach which can avoid the effect of boundary strictly is suggested. The results indicate that the effect of reflection wave on the results can be overlooked once the computing range fits the requirement of low frequency vibration （about 60 m）， and radial mesh can be used in modeling and the minimum mesh size should meet the requirement of high frequency vibration （about 0.5-1.0 m）. There is no wave propagation when the moving speed of load is lower than the Rayleigh wave velocity of ground and the fixed boundary is suggested. In addition， the influence of reflected wave can be completely avoided by cutting the local computation range when the moving speed of load is higher than the Rayleigh wave velocity of ground. In that condition， the half-width and longitudinal space range of model should be confirmed following the geometric relation related to the Mach cone angle and the full length of the train. Furthermore， the layered interface at the load influence depth will disturb the wave filed of ground. Wave will accumulate in the soft soil and multiple Mach cones will occur after the loading point when the ground is covered with soft soil or soft interlayer.

Key words： layered ground; modeling; 2.5D finite element method; meshing; absorbing boundary

作者簡介： 王 瑞（1992-），男，博士后，講師。電話：（029）82337331;E-mail：wr2801100103@163.com

通訊作者： 胡志平（1973-），男，博士，教授。電話：（029）82337356;E-mail：huzhping@chd.edu.cn