二階變系數微分方程求解問題

延安大學數學與計算機科學學院 王金妮 楊 銳

函數是反映客觀現實世界運動過程中量與量之間的一種關系，而在實際問題中的很多運動過程無法直接表示出變量之間的函數關系，因此，人們便建立了微分方程。眾所周知，微分方程在基礎數學、應用數學、物理學、力學及工程技術中都占有重要位置。

對于方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x），若p（x），q（x）為非常數且為連續函數，則方程為二次變系數線性微分方程；若f（x）=0，則該方程稱為二階變系數齊次線性微分方程；若f（x）不恒等于零，則方程稱為二階變系數非齊次線性微分方程。

對于常系數的線性微分方程的通解結論相對比較成熟，而目前仍然沒有關于二階變系數線性微分方程通用的求解方法，因此，二階變系數微分方程的求解問題一直都是人們感興趣的課題。

以下我們就用降階法解一類特殊的二階變系數微分方程。

一、降解法求解一類特殊的二階變系數微分方程

（6）式即為一階非齊次線性微分方程的解，同時也為所求的二階變系數非齊次線性微分方程的解。

我們知道，一階非齊次線性微分方程的解是容易得到的，方程（6）式的解為：

本文主要利用降階法求解一類特殊的二階變系數線性微分方程。首先，必須觀察方程的特征，只有方程具備上述特殊類型的變系數微分方程，才能應用這種求解方法。其次，應用降階法把二階變系數線性微分方程的求解問題轉化為一階線性微分方程的解，重點就是構造系數函數，難點以及關鍵點是通過系數函數求出a（x）和b（x），最后利用公式即可求得二階變系數微分方程的解。

事實上，降階法解二階變系數線性微分方程不具普適性，對于很多的二階變系數微分方程的解法仍具有一定的局限性。二階變系數線性微分方程還有更多解法，如：常數變易法，分離變量法，全微分法，算子解法等。在方程滿足特定條件時，如果我們能夠準確挖掘方程中隱含的條件，然后利用條件轉化為熟悉的方程，就能夠求出對應的二階變系數線性微分方程的解。