小學數學畢業命題的思維導向

范艷華

【摘要】小學數學畢業測試是對學生六年數學學習的一個綜合性測試，作為畢業測試卷的命題人員，既要關注學生的基礎知識、基本技能的掌握情況，也要關注學生對于基本數學思想的習得情況。同時，一份好的數學畢業試卷，應該具有明確的思維導向，給小學數學教師平時的教學提供關于學生思維培養的目標指引。筆者從教研員的視角，選取了小學數學畢業試題中一些較為典型的題例，給出有關小學數學畢業命題中培養學生數學思維方面的導向的一些建議。

【關鍵詞】畢業測試 推理 變與不變 動態思維 導向

小學數學畢業測試是對學生六年數學學習的一個綜合性測試，通過測試可以讓學生評價自身在六年的數學學習中是否能獨立、綜合地運用所學數學知識深入分析和解決數學問題的能力。通過檢測可以讓教師看到作為教者在自身的六年教學中給學生留下了什么，是否真正促進了學生思維的發展。因此，作為畢業測試卷的命題人員，既要關注學生的基礎知識、基本技能的掌握情況，也要關注學生對于基本數學思想的習得情況。一份好的數學畢業試卷，應該具有明確的思維導向，給小學數學教師平時的教學提供關于學生思維培養的目標指引。筆者從教研員的視角，選取了近幾年所在區域蘇教版小學數學畢業試題中一些較為典型的綜合性較強的題例，分析其在培養學生數學思維方面的導向作用。

一、由此及彼，學會推理

推理一般分為演繹推理與合情推理，小學數學教學中常用的推理是合情推理，演繹推理可以根據學生的實際思維水平進行適當的滲透，因為當學生升入初中以后，數學學習將以演繹推理為主。在數學學習中，無論是合情推理還是演繹推理，都是培養學生數學思維的重要方式。在小學數學畢業試卷中可以適當設計一些簡單的推理題，讓學生調用已有的知識和經驗進行推理，但是對學生推理過程的表述則不作要求。

例1：（如圖1）從一張等腰梯形紙的一個角上，沿梯形的一條高折去一個三角形。已知梯形高3cm，下底長10cm，陰影部分的面積是（ ）cm2，原梯形的面積是（ ）cm2。

例1中，一個等腰梯形的底角是45，當梯形的一個底角沿著高向內翻折，由三角形的內角和知識，得出折角的陰影部分為一個等腰直角三角形，從而推理得出這個等腰三角形的兩條直角邊長度等于梯形的高3cm。進而推理得出陰影部分三角形的面積為3×3÷2=4.5（cm2），原梯形的面積為陰影部分面積的2倍加上空白部分平行四邊形的面積：4.5×2+（10-6）×3=21（cm2）;或者通過邊與邊之間的關系推理得出梯形的上底為4cm，因此梯形的面積為：（4+10）×3÷2=21（cm2）。

這道題給學生帶來的思維導向是：要抓住題中已知的關鍵信息，分析其與所求問題之間的關系。特別是根據題中等腰梯形底角為45°推理出陰影部分是個等腰直角三角形。這一步是推理出陰影部分面積和原梯形面積的關鍵思維點。同時，這道題給教師平時教學帶來的思維導向是：教師可以經常在數學問題中設置一些間接條件，讓學生學會“順藤摸瓜”、由此及彼的簡單推理，從而提高學生的邏輯思維能力。

二、緊扣本質，在“變”中尋求“不變”

“變與不變”是一種重要的數學思想。數學問題情境中已知信息可以順著一定的線索進行變化，如果只看到題中“變化”的量而找不到“不變”的量，常常會找不到解決問題的突破口。因此抓住數學信息中的不變量進行分析，是解決數學問題常用的思考方法。

例2：沙漏也叫做沙鐘，是古時候一種計量時間的裝置。可以根據所計時間的長短設定不同的計時沙漏。現將一沙漏倒置，過了幾分鐘發現漏下的占未漏下的[18]，又過了13分鐘后，漏下的占未漏下的[23]，請問：這是一個（ ）分鐘沙漏。

例2中，已知信息是沙漏在不同的時間漏下的占未漏下量的分率，以及涉及時間的“又過了13分鐘”這個信息。而就這些信息表面很難推理出這是一個幾分鐘沙漏，必須找到這兩個分率與“13分鐘”的關系。通過分析，可以知道：雖然沙子不停地往下漏，但是“沙漏中上下兩部分沙子的總量”是不變的，這就找到了解決問題的突破口。由第一時段“漏下的占未漏下的[18]”可推理出，漏下的占沙子總量的[19]，由“又過了13分鐘后，漏下的占未漏下的[23]”可推理出，13分鐘后，漏下的占沙子總量的[25]。這樣就可以通過兩個時段漏下沙子的差占總數的“[25] - [19]=[1345]”，得出這是一個45分鐘的沙漏。

例2的命題者根據沙漏的特點，即容器上下兩部分加起來的沙子總數是不變的，再結合分數實際應用設計了這道題。這道題給平時的教學帶來的思維導向是：教師要善于設計變化的數學問題情境，并且在“變化”中蘊設一個“不變”的量，讓學生在變化中尋找出“不變”的量，分析和建立數量間的相等關系，找到解決問題的“突破口”和”“巧妙路徑”，從而促進學生對于“變與不變”數學思想的應用。

三、沖破定式，打開新的思維路徑

小學生學習數學，有時由于知識應用的單一性，常常會形成一些思維定式。即當條件的呈現方式發生變化時，不會變通思考，在固有的思維圈子里不知所從。如關于如何求圓的面積，學生固有的思維是：要求圓的面積，必須知道圓的半徑，然后用S=πr2求出圓的面積。然而對于已知r2的題，學生則不會變通，鉆在固有的思維里走不出來。

例3：（如圖2）已知正方形的面積是16平方厘米，求圓的面積。因為16這個平方數學生會用湊數的方法進行開方，得到圓的半徑是4厘米，所以圓的面積可以求出。但是，如果換成正方形的面積是8平方厘米，那多數學生就會覺得無所適從，因為沒法得到圓的半徑。在這里學生往往不會直接根據r2求出圓的面積來。

例4：（如圖3）已知圓的面積是64平方厘米，求圓的面積。學生如果沒有打破思維定式，即如果已知半徑的平方（即以圓的半徑為邊長構成的正方形的面積），就能直接求出圓的面積，那么這道題更加讓學生無所適從。如果學生打破了這個思維定式，那就會想辦法去構造以半徑為邊長的正方形，就會想到把這個正方形以它的內切圓圓心為中心點平分為四個小正方形（如圖4），每個正方形的面積為：64÷4=16（平方厘米），即r2=16，從而得到圓的面積為16π平方厘米。

上面的例3、例4中，之所以學生走不出固有的思維定式，要求圓的面積，必須要知道圓的半徑，究其原因其實也是教師在平時教學這部分內容時一直是按照這個方法引導的，并且在所涉及這部分內容的練習中也沒有出現過已知r2求圓的面積的變式題。

因此，這道題給教師平時教學帶來的思維導向是：要善于進行變式，防止學生形成僵化的思維定式。同時教師在教學中要善于打通知識的界限，讓學生學會用聯系的眼光分析數學問題。比如例3、例4兩題中，就是引導學生將正方形和圓聯系起來，找出圖形之間的內在聯系，從而靈活地解決數學問題。

四、滲透動態思維，在“動”中尋找規律

在小學六年數學學習中，除了圖形的變換初步知識中關于圖形的軸對稱、旋轉平移的內容，其他一般都是對靜止狀態下的數學問題的思維，很少涉及對動態數學問題的思維。但是學生一旦升入初中，在平面幾何與函數的領域，特別是在一些綜合性的數學問題里，經常要用到動態思維。因此，在小學里適當滲透一些運用動態思維是非常有必要的，一方面為中學學習做好準備，另一方面也讓學生嘗試在動中尋找規律，發展學生的思維能力。

例5：（如圖5）直線l1和l2互相平行，三角形ABC的面積是6cm2。（1）如果A點沿直線l1向右移動到A1處，C點沿直線l2向右移動到C1處，三角形A1BC1的面積是9cm2，這時線段BC1∶線段BC=（ ）∶（? ? ）;

（2）如果A點繼續沿直線l1向右移動到A2處，C點沿直線l2向右移動到C2處，這時線段BC2∶線段BC=4∶1，那么三角形A2BC2的面積是多少平方厘米？

例5這道題之所以用動點的形式呈現，主要是引導學生通過用動態的視角和思維來觀察、思考題目，找出題目中所蘊含的規律：因為平行線之間的距離處處相等，所以像這樣無論點A和點B向右或者向左移動到哪里，在這個移動的過程中AC點的對應點與B點所形成的三角形的高始終是不變的，移動后所形成的三角形與原三角形的面積比就是它們的底邊之比。由于問題呈現方式的改變，看似是一個涉及“動點”問題，但是對于小學六年級的學生而言卻完全可以“夠得著”。重要的是這樣的題目讓學生的視域得到了拓展，也使其思維得到了提升。

綜上所述，小學數學畢業測試雖然不是選拔性的考試，但是一份好的小學數學畢業試卷，可以讓學生對自己在分析問題時的思維方式、習得的數學思想有一個提煉、應用的過程。同時，對于教師而言，一份好的數學畢業試卷，通過分析試題內容以及學生的答卷情況，定將會對自己之前的數學教學進行深入的反思，也會給未來的數學教學帶來更加合理的思維導向。

（作者單位：江蘇省無錫市錫山區教師發展中心）