有界Heyting 代數的擴張模糊LI-理想

劉春輝

（赤峰學院 數學與計算機科學學院，內蒙古赤峰 024000）

0 引言

非經典數理邏輯是一門涉及數學與計算機科學的交叉學科，對與不同形式的非經典數理邏輯推理系統相對應的非經典數理邏輯代數系統的研究是該理論體系的重要研究方向之一［1］。以荷蘭數學家的名字命名的Heyting 代數是一類在直覺模糊邏輯中起關鍵作用的非經典數理邏輯代數系統，邏輯的排中律在Heyting 代數中通常不必成立。從邏輯層面看，Heyting 代數是對經典二值邏輯命題演算推理系統的基礎性推廣，經典二值邏輯的命題演算推理系統是Heyting 代數的一個重要且簡單的例子。從代數層面看，Heyting 代數是對Boole 代數做一般化處理后得到的一個偏序集，完備Heyting 代數（也稱Frame）是無點化拓撲研究領域的一個中心概念［2］。同時，Heyting 代數又與FI 代數、MV 代數、BL 代數和格蘊涵代數等有密切聯系。迄今為止，對Heyting代數系統性質和結構的研究已非常深入，研究成果在眾多領域得到了十分成功的應用［3-10］。

偏序結構被布爾巴基學派冠名為三大數學母結構之一，濾子和理想概念最早作為偏序集的兩類相互對偶的特殊子集被提出。在非經典數理邏輯理論研究中，作為研究非經典數理邏輯代數及與其相對應的邏輯推理系統完備性的2 個重要工具，濾子和理想不斷被擴充和推廣。文獻［11］指出，Heyting 代數的濾子不但可用格論（一類特殊的偏序集）語言加以定義，而且也可用邏輯語言定義。更值得關注的是，2 種形式的定義是相互等價的，表明濾子概念在揭示Heyting 代數系統結構特征過程中發揮了不可替代的重要作用。研究表明，在否定運算滿足對合（正則）性質的非經典邏輯代數系統中，各種理想的性質均可借助與之相對偶的濾子的性質獲得。所以，對理想理論的研究只有在否定運算不滿足對合性質的代數系統框架下才有意義。Heyting 代數恰好是這類代數系統的典型代表之一，然而，Heyting代數一般無最小元0，即無界，忽略了對在Heyting代數中引入理想概念的思考。為彌補這一研究空白，借助于理想概念揭示Heyting 代數及直覺主義命題邏輯推理系統的新途徑和新方法，文獻［12-13］運用Zadeh 模糊集［14］理論在有界Heyting 代數中引入了模糊LI-理想，并考查了其性質。本文在有界Heyting 代數中引入擴張模糊LI-理想，并討論其性質、刻畫和應用，獲得了若干具有理論意義的有趣結果，是對文獻［12-13］工作的進一步深化。

1 預備知識

為行文簡潔，本節介紹一些關于有界Heyting代數及其模糊LI-理想的基本概念和基本結論。

2 擴張模糊LI-理想

表1 二元運算“→”的定義Table 1 Definition of unary operator“→”

定義7設(H，≤，→，0，1) 為有界Heyting 代數，f∈FLI(H)且κ∈FS(H)。若Ef(κ)=f，則稱f是H的關于H上的模糊子集κ的不變模糊LI-理想。

例3設格H={0，a，b，c，1}，且H的Hasse 圖如圖1 所示，H上的二元運算“→”的定義如表2 所示，則(H，≤，→，0，1) 為有界Heyting 代數。定義f∈FS(H)，使得f(0)=f(a)=β，f(b)=f(c)=f(1)=α，0 ≤α＜β≤1，則可驗證f∈FLI(H)為H的關于H上的模糊子集χ1的不變模糊LI-理想。事實上，因為對?x∈H，有Ef（χ1）(x)=f(x∧1)=f(x)，故Ef（χ1）=f。

圖1 格H 的Hasse 圖Fig.1 The Hasse diagram of lattice H

表2 H 上的二元運算“→”的定義Table 2 Definition of unary operator“→”on H

定理6設(H，≤，→，0，1) 為有界Heyting 代數，f∈FLI(H)且κ，ω∈FS(H)。

（1）若κ(1)=1，則f是H的關于κ的不變模糊LI-理想；

（2）如果κ?ω且f是H的關于κ的不變模糊LI-理想，則f也是H的關于ω的不變模糊LI-理想。

3 應用擴張模糊LI-理想構造格結構

4 結論與展望

有界Heyting 代數是一類典型的否定運算不滿足對合（正則）性質的非經典數理邏輯代數，本文基于此代數框架對模糊LI-理想的相關話題進行了探索和研究。引入了有界Heyting 代數(H，≤，→，0，1)的模糊LI-理想f關于H上的模糊子集κ的擴張模糊LI-理想和不變模糊LI-理想的概念，給出了擴張模糊LI-理想和不變模糊LI-理想的若干重要性質及等價刻畫；討論了擴張模糊LI-理想與生成模糊LI-理想之間的關系；考查了擴張模糊LI-理想在構造格結構過程中的應用，證明了有界Heyting 代數(H，≤，→，0，1)的模糊LI-理想全體之集FLI(H)的三類特殊子集在模糊包含序?下均構成cHa。這些結論的獲得，為進一步深入理解和把握（有界）Heyting 代數及與之對應的直覺主義命題邏輯推理系統的性質和結構特征提供了極大幫助；也為系統研究否定運算不滿足對合（正則）性質的非經典數理邏輯代數系統及其（模糊）理想問題提供了新的方法和途徑。