多孔介質中的Darcy 方程組解的結構穩(wěn)定性

石金誠，李遠飛

（廣州華商學院數(shù)據(jù)科學學院，廣東廣州 511300）

0 引言

傳統(tǒng)的穩(wěn)定性研究集中于對初始數(shù)據(jù)變化的連續(xù)依賴性求解。然而，模型系數(shù)（或邊界系數(shù)）變化的穩(wěn)定性非常重要，模型穩(wěn)定性通常亦稱結構穩(wěn)定性。多孔介質中的流體方程組已被廣泛研究，以往大多集中在對Brinkman，Darcy 和Forchheimer 方程組模型的研究。AMES 等［1］詳細介紹了結構穩(wěn)定性的本質；文獻［2-3］討論了多孔介質中的模型。文獻［4］討論了Brinkman，Darcy，F(xiàn)orchheimer 和其他多孔介質方程的Saint-Venant 原則，研究了多孔介質中流體方程組的空間衰減估計。文獻［5-7］研究了多孔介質中流體方程組的結構穩(wěn)定性；近年來，相關研究已取得了新的進展［8-21］。如果模型中系數(shù)的微小變化會導致解的急劇變化，則后續(xù)的數(shù)值模擬等均無意義，因此，對流體方程組結構穩(wěn)定性的研究非常必要。

本文主要考慮R3有界區(qū)域內多孔介質中的非等溫流動Darcy 方程組［3］：

其中，ui(i=1，2，3)，p，T 分別表示速度、壓強和溫度。gi(x)(i=1，2，3)為重力向量函數(shù)，假設gi滿足|g| ≤1，|?g| ≤1，Δ 為拉普拉斯算子。式（1）在Ω×[0，τ]區(qū)域內成立，其中，Ω 為R3中的有界單連通星形區(qū)域，τ 為給定的常數(shù)且0 ≤τ ＜∞。邊界條件為

研究在Robin 邊界條件下，式（1）～式（3）對邊界系數(shù)的連續(xù)依賴性與收斂性。以往此類結構穩(wěn)定性研究是建立在溫度T 的最大值原理基礎上的，但因本文無法得到溫度T 的最大值，使得流項的估計難度增加，同時由于Robin 邊界系數(shù)大于零，導致T 的邊界條件很難處理，至今尚未發(fā)現(xiàn)在此種邊界條件下研究結構穩(wěn)定性的文獻。更重要的是，由于方程中不包含Δui項，因此對速度梯度的估計也有困難。本文通過其他估計較好地克服了這些困難。下文約定：逗號表示求偏導，下標，i 表示對xi求偏導，如u，i表示，重復指標表示求和，如

1 解對邊界系數(shù)的連續(xù)依賴性

2 解對邊界系數(shù)的收斂性

式（51）建立了定理2 的結果，得到在指定測度下解對邊界系數(shù)的收斂性結果。

3 結語

研究了在R3有界區(qū)域內多孔介質中的Darcy 方程組，得到解對于Robin 邊界系數(shù)的連續(xù)依賴性和收斂性結果。用同樣方法，很容易得到解對系數(shù)α的結構穩(wěn)定性的相關結果，也可用此方法研究更復雜的方程組。

后續(xù)將嘗試研究無界區(qū)域內Darcy 方程組的結構穩(wěn)定性，由于此時溫度的先驗界很難得到，且無窮區(qū)域壓力項p的處理難度很大，需研究新的方法解決此類問題。