談解決問題的關鍵能力的培養

范琦

摘要：過去，教師大多是采用傳統的教學方法，即課堂上以老師講學生聽為主，筆者認為，這樣教學，一些問題雖然交代清楚了，但由于學生處于被動地位，僅僅是一聽了之，容易使學生在獲取知識、學習能力等方面養成依賴性，因而，不同程度地影響了教學效果及對學生探求知識能力方面的培養，為了改變上述狀況，我從設計問題開始，提高他們學習的能力。

關鍵詞 類比 數形結合 幾何意義

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A 文章編號：（2021）-08-238

1 教學分析

1.1學情分析

復數是蘇教版選修2-2第三章的內容，教材內容比較簡單，安排的課時較少，它在高考中的分量也很少，只要學生了解數系的擴充、會簡單的四則運算、了解復數的一點幾何意義。因此，這一部分內容往往不被老師和學生重視，教師很快把知識“塞”給學生，學生似懂非懂，加上鞏固練習又少，導致時間一長，學生又把它還給老師了，特別是“復數的幾何意義”到高三復習時，“一問三不知”的現象非常嚴重，很多學生不知道復數與點的對應關系，更不知道復數模的幾何意義。

1.2教法分析

那么如何讓學生理解透徹呢，那就要基于數學核心素養的教學，首先我們應注意到復數集是由實數集擴充而來，實數是復數的特殊情況，他們的幾何意義有很多相似的地方，因此新授課的教學，可以利用實數的幾何意義，通過類比學習來學習，從數與形兩個角度來研究

2? 教學過程

問題設計

問1： 實數與數軸上的點是什么關系？

生1： 實數與數軸上的點是一一對應的關系。

問2：那就是說實數可以用數軸上的點來表示，那么復數是否也可以用點來表示？

生2： 能，但是要兩條數軸，一條數軸上的點表示實部，另外一條數軸上的點表示虛部

師：兩條數軸，那我們想到是什么？

生3：直角坐標系，用橫坐標表示復數的實部，縱坐標表示復數的虛部，因此，杜宇任何一個復數z=a+bi，在直角坐標系中，都有唯一一個點（a，b）與它對應。

師：你說的很好，能否舉幾個具體的實例來說明一個？

生3：在平面直角坐標系中，如A（0，0）表示復數的實部和虛部都為0，即表示復數0，點B（1，0）表示-1，C（1，2）表示復數1+2i（教師根據學生的回答作出草圖演示說明）

師：很好，順勢給出復平面的概念：把建立了平面直角坐標系來表示復數的平面角復平面，又叫高斯平面，是高斯在1799年提出的，x軸叫實軸，y軸叫虛軸，實軸上點表示實數，那虛軸上的點表示純虛數，對嗎？

生4：不對，實軸上點是表示實數，但是虛軸上的點要去除原點，就能表示純虛數了，

我們得到復數z=a+bi（a，b）與復平面上點Z（a，b）一一對應，那么 點Z（a，b）還能表示什么量？

生5：向量=（a，b）

師;為什么？

生5：原點O為起點，只要終點Z（a，b）確定了，向量=（a，b）

就確定了，所以復數與向量=（a，b）也是一一對應的

設計意圖? 從學生熟悉的實數出發，過渡到復數，讓學生進一步理解特殊與一般的關系，通過學生已有的經驗來類比復數的情況，再通過學生歸納，思維容易形成。

點和向量都是復數的幾何意義，復數z=a+bi與復平面內點Z（a，b）與向量=（a，b）三者之間一一對應的，可以相互轉化，也突出數形結合的思想。

師：下面請同學們來完成例題1.

在復平面內分別用點和向量表示下列復數

3，1+i，-2i，3-2i （老師投影學生的解題過程）

師：如果給你一個實數a，那么a的絕對值|a|是不是也有幾何意義？是什么？

生6：表示實數 a 在數軸上的對應的點 A 到原點O 的距離.

師：那么我們在復數里是不是也有相關的性質呢？|z|表示什么？我們不叫復數的絕對值了，叫復數的模，那它的幾何意義是什么呢？

生7：表示在復平面內點Z到原點的距離

師：很好，請問，你是怎么得到的？你能用表達式表示出來不？

生7：類比得到

師：那么你能用表達式表示出來不？

生7：可以，|z|=|a+bi|=

師：其他同學你能用其他的方法來驗證一下嗎？

生8：可以，我想用向量來驗證，|z|=||=

師：很好，想到用向量，學以致用（教師在復平面上畫出來）那么一個復數滿足|z|=1，它對應點Z的軌跡是什么？

生9：是以原點為圓心，半徑為1的圓

師：你是怎么想到的？

生9：由復數模的幾何意義得到的，這樣的點滿足圓的定義，到定點的距離等于定長

師：很好，比較容易得到的，其他同學還有其他的思路嗎？

生10：我的答案也是圓，但是我是設復數z=x+yi（x，y）有模的定義可知=1，化簡可得=1，由這個方程可知它的軌跡是以原點為圓心，半徑為1的圓

師：不錯，這位同學給我展示了另外一個思路，從軌跡方程的特征來得到軌跡，那|z-1+i|=1表示的軌跡又是什么呢？同學們可以獨立思考后再小組討論你的想法。

生11：我用設復數z=x+yi（x，y）有模的定義可知=1，=1，由這個方程可知它的軌跡是以點（1，-1）為圓心，半徑為1的圓

師：可以，請問其他小組還有什么想法不？

生12：我從向量的角度入手，從而轉化成向量與向量=（1，-1）差的模即||=||，向量||就是點Z與點兩點間的距離

師：不錯，很好的解釋，所以我們就得到了兩個復數相減的模的幾何意義就是它們在復平面內對應兩個點間的距離，兩個復數相加的模的幾何意義呢？

生13：可以化加為減，也可以從向量的加法來轉化）

師：精彩，你可以出師了（讓學生花點時間去落實一下，然后教師在黑板上畫出來，板演）

總結：由實數的絕對值到復數的模，讓學生學會類比學習，這樣的問題設計，體現了聯系的原則，讓學生深刻認識到實數的絕對值與復數的模之間的內在聯系，促進了學生對復數模的理解，基于數學核心素養的教學，首先要改變教學設計的思路，感受知識發生發展的過程，引導學生宏觀認識數學內容與方法;其次要重視情景創設與問題設計，促進學生對數學本質的理解。充分發揮復數的幾何內涵，不但可以使學生系統深入地領會和把握復數相關的知識點，還可以更加深入鞏固相關幾何知識，進一步理清知識間的橫向聯系，進而提升數學的思維水平。

溧陽市埭頭中學 江蘇 常州 213300