地球表面、外部及內部的重力加速度問題

劉穎

摘要： 地球的重力加速度問題是高中物理人教版必修二第六章第三節的內容，該論文的重點在于理解萬有引力與重力的區別和聯系，掌握地球各處重力加速度的求解及變化原因。該論文緊扣重力加速度這一主線，分別從地球表面重力加速度隨緯度的升高而增大、地球內部重力加速度與質點到球心間距離成正比、地球外部重力加速度隨海拔的升高而減小三個方面進行詳細地闡述，并且每個方面都有具體的理論推導和函數圖像。

關鍵詞：重力加速度、緯度、海拔、球殼、圖像。

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A 文章編號：（2021）-08-203

萬有引力定律的應用—重力加速度這一專題在近幾年的高考及各地區的模擬考試中頻繁考查，少則是6分一道的選擇題，多則是15分甚至是18分的大題。2015年天津、重慶、山東卷考查的是地球外部重力加速度，2014年海南、全國Ⅱ卷、重慶卷考查的是地球表面的重力加速度。2012年全國卷考查的是地球內部重力加速度，2016年四川卷和2014年北京卷考查的是地球表面和外部重力加速度的比較問題。由此可見，高考對于重力加速度的考查既頻繁又全面，所以我們有必要將重力加速度做為一個專題進行系統的研究。

首先我們先來研究一下地球表面處的重力加速度。

地球表面上隨地球一起自轉的物體受到兩個力的作用，即萬有引力和地面的支持力。我們知道相對于地面靜止的物體所受的重力與支持力是一對平衡力，而地球表面上隨地球一起自轉的物體的運動是勻速圓周運動，做勻速圓周運動的物體所受的合外力提供向心力，所以萬有引力和支持力的合力應該指向軌跡圓的圓心，即萬有引力是重力和向心力的合力。萬有引力總是指向地球球心，向心力總是指向軌跡圓的圓心，而重力則總是豎直向下，或者說垂直于水平面向下。重力只有在赤道和兩極處才指向地球球心，而地球上的其他位置處重力并不指向地球球心。

地球并不是標準的球體，赤道半徑是6378km，兩極半徑是6357km，平均半徑是6371 km。地球表面上的物體做圓周運動的周期與地球自轉周期相同，即23時56分4秒，在粗略計算中可以取24小時。根據以上信息可以求解地球赤道處重力加速度約為9.78m/s2，兩極處的重力加速度約為9.83m/s2。為了方便計算，重力加速度的標準值通常取9.8m/s2，粗略計算中可以取10 m/s2。

若我們要對地球表面上任意緯度的重力加速度進行研究，就要考慮到萬有引力是向心力和重力的合力，那么萬有引力應該是平行四邊形的對角線，向心力和重力是夾該對角線的兩條鄰邊，可以利用余弦定理進行推導。最終得出地球表面重力加速度隨緯度的升高單調遞增。緯度為45°處的地表面重力加速度為9.8m/s2，作為重力加速度的標準值，而我國首都北京所在處接近北緯45°。

由于地球表面上隨地球一起自轉的物體的向心加速度為，赤道處（θ=0，cosθ=1）的物體向心加速度最大，，而。因此an遠小于g，即同一物體的向心力遠小于重力，說明平行四邊行中的向心力這條鄰邊極短，重力和萬有引力在大小和方向上都極其接近。所以在忽略地球自轉時，，這就是我們最熟悉的“黃金代換”。

下面我們再來研究一下重力加速度隨海拔是如何變化的。

既然重力加速度隨海拔的升高而減小，那么能否說地球內部的重力加速度比外部大，地心處的重力加速度最大呢？我們通過一道高考題來認識一下地球內部的重力加速度。

（2012，新課標全國）假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的球體。一礦井深度為d。已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為（? ? ? ? ? ? ?）

“質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零”這句話作為一個已知條件告訴我們，應該如何理解這句話呢？我們不妨采用類比的方式加以理解。電荷在其周圍產生電場，物體在其周圍產生引力場。電荷與電荷間的相互作用力是庫侖力，物體與物體之間的吸引是萬有引力，兩個力很相似都遵循平方反比定律。靜電場中我們知道“均勻帶電球面內部場強處處為零”，那么質量分布均勻的球殼內部引力場場強也為零，所以將一質量為m的物體放入均勻球殼內部，它不受球殼的引力。這樣我們就可以將質量均勻的球殼剝落，以地心為圓心做一個過質點的球，相當于只有中心處的小球對質點有引力，可以看成有個物體放在小地球的外表面。本道題采用等效法。“質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零”這一結論可以通過高中的微元法來證明，也可以用大學中的微積分法和高斯定理加以證明。

質量分布均勻的薄球殼中兩個對頂小面元對任意點P處的質點合引力為零。同理可證，整個薄球殼對殼內任意點P處的質點合引力為零。將任意厚度的質量分布均勻的球殼分為許多個同心薄球殼，既然每個質量分布均勻的薄球殼都對殼內任意點P處的質點合引力為零，所以整個任意厚度的質量分布均勻的球殼對殼內任意點P處的質點合引力也為零。這道選擇題答案為A。

地球內部重力加速度與質點到球心的距離r成正比，說明地心處重力加速度為0，赤道處重力加速度最大。

我們看到地球內部的重力加速度并不像我們想像的那樣比地球外部大，而是地心處重力加速度為零，沿r軸方向重力加速度先增大后減小，地球表面赤道處重力加速度最大。

地球各處重力加速度的測定，對物理學、地球物理學、重力探礦、空間科學等都具有重要意義，也是高考中萬有引力部分的高頻考點，希望所有考生都能對這部分知識清楚的掌握。

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