細觀尺度下考慮濕熱載荷聯合作用的Mindlin層合板穩定性分析

張大千，齊 琦，梁豪豪

(沈陽航空航天大學 航空宇航學院，沈陽 110136)

隨著對微器件研究的逐步深入，越來越多的微觀實驗證實[1-3]，當構件的尺寸處于微/納米量級時，試件尺寸減小，其強度、剛度等力學性能指標明顯增大，該現象被稱為材料的尺度效應。常規的宏觀理論無法解釋此現象，因此，科研人員提出了偶應力理論。

1963年，Mindlin[4]首次提出了經典偶應力模型，該模型中應變張量對稱，曲率張量不對稱，并引入一個細觀材料尺度參數。由于其曲率張量的非對稱性，故將經典偶應力理論應用于實際工程中具有一定困難。2002年，Yang等[5]提出修正偶應力理論，通過重新定義曲率張量，使應變張量與應力張量對稱，方便了該理論的工程應用。2006年，Park等[6]建立了修正偶應力Bernoulli-Euler梁模型；2008年，Ma等[7]建立了Timoshenko梁模型；2009年，Tsiatas[8]建立了Kirchhoff板模型；2011年，Ma等[9]基于修正偶應力建立了Mindlin板模型。然而，Yang等提出的修正偶應力理論僅適用于各向同性材料，對各向異性的復合材料層合板并不適用；2012年，Chen等[10]提出了新修正偶應力理論，該理論將曲率張量定義為非對稱張量，但應變張量和偶應力張量是對稱的，推導出的本構方程能夠用于各向異性材料；基于該理論，Roque等[11]研究了簡支層合Timoshenko梁的彎曲問題；Mohammad等[12]研究了層合Euler-Bernouli梁和Timoshenko梁的屈曲問題；賀丹等[13-14]對層合梁的自由振動問題進行了分析；2016年，陳萬吉等[15-17]對復合材料Mindlin、Reddy層合板進行了穩定性分析。

以上研究沒有考慮濕熱狀態下復合材料層合板的尺度效應。本文以新修正偶應力理論為基礎，建立細觀尺度下Mindlin層合板的濕熱穩定性模型，設定納維葉解法的位移函數，對細觀尺度下Mindlin層合板進行了濕熱穩定性分析，并研究了Mindlin層合板的尺度效應。

1 新修正偶應力Mindlin層合板濕熱穩定性模型

1.1 新修正偶應力理論

2012年Chen等[10]提出了新修正偶應力理論，第一次將偶應力理論應用到各向異性材料。該理論將偶應力力矩張量對稱化，其應變、曲率及本構關系定義為

(1)

式(1)中，i,j=x,y；εij為剪應變張量；εkk為正應變分量；ui、uj和uk為位移張量；σij為應力張量；mij為偶應力張量；χij為曲率張量；ωi為轉動位移張量；eijk為置換張量；λ和G為拉梅常數；δij為克羅奈克符號；li和lj為材料尺度參數，是材料細觀尺度下夾雜或缺陷的尺寸的度量，由實驗測定。

1.2 Mindlin層合板的位移、應變和本構方程

在整體坐標系下，Mindlin層合板模型的位移場[9]為

(2)

式(2)中，u、v、w分別為層合板內任一點沿x、y、z軸的位移；u0、v0為相應的中面點沿x、y軸的位移；θx、θy分別為繞y、x軸的轉角。

由式(1)，得到轉動位移為

(3)

式(3)中，ωx、ωy、ωz分別為繞x、y軸的轉動位移。

在工程記法中，Mindlin層合板的應變和曲率張量表示為

εx=u,x，εy=v,y，γxy=2γ12，χx=χ11，χy=χ22，χxy=χ12，χyx=χ21

在濕熱載荷作用下，在材料主方向上，層合板的應變分量為

(4)

式(4)中，α1、α2分別為沿坐標軸1、2方向的熱膨脹系數；β1、β2為沿坐標軸1、2方向的濕膨脹系數；ΔT為溫度的改變量；C為吸水濃度。

曲率分量表示為

(5)

式(5)中，ωx,x、ωy,y表示偶應力的剪切效應引起的沿兩個坐標軸方向的扭曲曲率，ωx,y、ωy,x表示偶應力的剪切效應引起的沿兩個坐標軸方向的翹曲曲率。

考慮濕熱載荷時，整體坐標系下的層合板第k層的本構方程為

{σk}=[Qk]{εk}

(6)

其中，

(7)

(8)

[Qk]=[Tk]T[Ck][Tk]

(9)

式(6)～(9)中：σk、εk、Qk分別為層合板第k層應力矩陣、應變矩陣以及坐標轉換后的剛度矩陣。

(10)

式(10)中：Cij為剛度系數[16](i，j=1,2,4,5,6)，kb和km分別為繞纖維和基體方向轉動的細觀材料參數。

(11)

坐標轉換矩陣Tk[16]為

(12)

(13)

式(13)中：m=cosφk，n=sinφk，φk為第k層的鋪設角。

1.3 新修正偶應力Mindlin層合板的虛功原理以及濕熱穩定性

由虛功原理可知

δU-δW=0

(14)

式(14)中，δU為內力虛功；δW為外力虛功。

對于有n層鋪層的Mindlin層合板，有

(15)

(16)

令

(17)

代入(15)，則有

(18)

將(16)、(18)式整理后代入(14)，可推導出平衡方程。

(19)

在濕熱載荷作用下，相對于板的橫向位移w，膜向位移u0,v0是小量，即方程中可忽略u0,v0，并假設fu=fv=fcx=fcy=0。將式(7)～(9)代入(6)后得到的表達式代入(17)，整理后代入到(19)，得到濕熱穩定性的方程為

(20)

式中

(21)

(22)

正方形方板四邊簡支時，邊界條件為

(23)

根據Navier解法，滿足全部邊界條件的位移函數為

(24)

將式(24)代入式(20)，得到在濕熱載荷和軸向載荷共同作用下的平衡方程

(25)

其中

(26)

(27)

由公式(25)可求得在軸向載荷N1和濕熱載荷N2共同作用下的Mindlin層合板的失穩臨界載荷。當=0時式(25)可退化為經典理論下的濕熱穩定方程。

2 算例

算例1選取鋪設角為[90/0/90]和[0/90/0]的四邊簡支方板。其中板厚h=2×10-5m，邊長L=10 h，材料常數E2=6.98×109Pa，E1=25E2，G12=0.5E2，G22=0.2E2，v12=v22=0.25。其中下標1和2分別代表了纖維和基體的方向，并且每一層的材料屬性都相同。熱膨脹系數α1=10×10-6/℃，α2=25×10-6/℃；濕膨脹系數β1=0/%H2O，β2=0.44×10-6/%H2O。為了分析尺度參數(10-6m)、溫度(ΔT)和濕度(C)對失穩臨界載荷的影響，針對不同的，ΔT，C的值，計算了單向軸壓下四邊簡支方板的失穩臨界載荷并與經典理論做對比，見表1和表2。(表中位移模數m=1，n=1)。

表1 鋪設角為[90/0/90]四邊簡支方板在不同環境狀況下失穩臨界載荷隨尺度參數的變化

表2 鋪設角為[0/90/0]四邊簡支方板在不同環境狀況下失穩臨界載荷隨尺度參數的變化

表3 鋪設角為[90/0/90]四邊簡支方板失穩臨界載荷隨溫度的變化ΔT的變化(=0,C=0%)

表3 鋪設角為[90/0/90]四邊簡支方板失穩臨界載荷隨溫度的變化ΔT的變化(=0,C=0%)

溫度ΔT/℃0100200300失穩臨界載荷N22 667.8 27 386.832 098.1 36 807.8

(1)由表1和表2可知：在相同環境狀況下，隨著材料尺度參數的逐漸增大，四邊簡支方板的失穩臨界載荷逐漸增大，且均大于經典理論下的失穩臨界載荷，證明了尺度效應的存在。

(2)由表1～表4可知：當尺度參數為定值時，溫度與濕度的單一變化或聯合作用都對失穩臨界載荷存在一定影響，且溫度對失穩臨界載荷的影響大于濕度的影響。

表4 鋪設角為[90/0/90]四邊簡支方板失穩臨界載荷隨濕度C的變化(=0, ΔT=0 ℃)

表4 鋪設角為[90/0/90]四邊簡支方板失穩臨界載荷隨濕度C的變化(=0, ΔT=0 ℃)

濕度C/%0135失穩臨界載荷N22 667.8 22 675.522 690.9 22 708.0

(3)對比表1和表2，圖1和圖2可知：鋪設角度不同，失穩臨界載荷不同，且在不同環境狀況下，層合板以[90/0/90]角度鋪設的失穩臨界載荷均大于以[0/90/0]方式鋪設。

圖1 失穩臨界載荷隨溫度的變化(=0,C=0%)

圖2 失穩臨界載荷隨濕度的變化(=0,C=0%)

算例2 本算例的材料常數與算例1相同，溫度ΔT=100 ℃，濕度C=1%。取不同的材料尺度參數，計算了鋪設角為[90/0/90]和[0/90/0]在不同軸壓作用下的失穩臨界載荷隨跨厚比L/h的變化。從圖3、4中可以看出：(1)隨著跨厚比的逐漸增大，新修正偶應力理論下的失穩臨界載荷逐漸減小且均大于經典偶應力理論，證實了尺度效應的存在；(2)材料尺度參數越大，臨界載荷所受影響越大。

圖3 鋪設角為[90/0/90]時四邊簡支方板在不同軸壓作用下的失穩臨界載荷隨跨厚比L/h的變化

圖4 鋪設角為[0/90/0]時四邊簡支方板在不同軸壓作用下的失穩臨界載荷隨跨厚比L/h的變化

3 結論

本文基于新修正偶應力理論推導出了在濕熱環境中Mindlin層合板的穩定性模型。應用解析法分析了濕熱條件下Mindlin層合板的穩定性和尺度效應。結果表明：

(1)在濕熱載荷下，失穩臨界載荷均大于經典理論下的失穩臨界載荷，證明了尺度效應的存在；材料尺度參數越大，尺度效應越明顯。

(2)失穩臨界載荷直接受溫度變化和吸濕濃度的影響，其數值隨著溫度變化與吸濕濃度的大小成正比。

(3)跨厚比對失穩臨界載荷也有較大影響，隨著跨厚比的逐漸增大，失穩臨界載荷逐漸減小，尺度效應逐漸減弱。

(4)Mindlin層合板在濕熱環境中的鋪設角不同，相應的失穩臨界載荷也不同；[90/0/90]鋪設角的層合板失穩臨界載荷總是大于[0/90/0]鋪設角的層合板的相應值。