設(shè)計實驗過程 助推數(shù)學(xué)建模
——《圓的周長》教學(xué)實踐及思考

文|韋波富

《圓的周長》是蘇教版五年級下冊的教學(xué)內(nèi)容，它屬于圖形測量范疇。C=π×d反映的是圓的周長與直徑之間的關(guān)系，是一個數(shù)學(xué)模型。該模型不同于長方形周長，是不易通過觀察、操作等活動能直接發(fā)現(xiàn)的，需要引導(dǎo)學(xué)生通過大量的實驗并結(jié)合人類已經(jīng)走過的探索歷程和取得的成就逐步建構(gòu)起來。其教學(xué)價值在于發(fā)現(xiàn)圓本身的奇妙之處、數(shù)學(xué)思想方法的獨特性以及探索經(jīng)驗的可遷移性。

一、提出問題，產(chǎn)生懸念

師：我們已經(jīng)認(rèn)識了圓，與其他平面圖形相比，圓有哪些特別之處？

（圓是一條封閉的曲線；同一個圓內(nèi)半徑有無數(shù)條，并且半徑都相等；直徑也是如此；圓有無數(shù)條對稱軸）

師：圓是不是很神奇？

（太神奇了。圓無論怎么對折兩邊都能完全重合，長方形能嗎?正方形呢？……）

師：還想研究圓的什么問題呢？

（圓的周長、面積等）

師：是的，我們在研究其他圖形時也是從周長和面積兩個方面進行的，善于聯(lián)想是一種很好的學(xué)習(xí)方法。那么在研究圓的周長的過程中還會有什么神奇的事情發(fā)生呢？期待嗎？

【思考：圓的周長與直徑之間的關(guān)系本身就是非常獨特的，這種獨特與圓的特征不無關(guān)系，新的內(nèi)容教學(xué)前通過渲染讓學(xué)生進一步體會圓的特征的這種神奇，有利于學(xué)生更好地體會將要學(xué)習(xí)的圓的周長以及后續(xù)學(xué)習(xí)的圓的面積的計算模型的美妙。】

二、化曲為直，體會轉(zhuǎn)化

1.你知道圓的周長是指什么嗎？

指出：圓一周曲線的長就是圓的周長。

2.怎么測量出圓的周長呢？

（1）學(xué)生討論。

隨機課件演示：線繞圓一圈、圓滾動一周等測量方法，并追問：為什么不直接用直尺量？

師：下面我們就用膠帶紙繞一圈的方法，把圓的周長“拉直”了來量。

（2）學(xué)生操作測量。

（3）展示學(xué)生作品。

交流：現(xiàn)在可以測量出圓的周長了嗎？為什么？

（板書：化曲為直）

3.情境沖突。

小狗在地上繞一圈畫了一個圓，電風(fēng)扇旋轉(zhuǎn)也形成了一個圓，它們的周長也能像剛才那樣化曲為直測量出來嗎？

（小狗畫的圓比較大，電風(fēng)扇形成的圓沒有痕跡）

小結(jié)：看來我們需要像長方形或正方形那樣研究出圓的周長的計算方法。

【思考：用線繞圓一圈再把線拉直、圓滾動一周等測量方法，其本質(zhì)就是化曲為直，而要領(lǐng)會這種數(shù)學(xué)思想方法不能通過口頭交流，需要學(xué)生在實際操作的過程中去體會，即如何把彎曲的線轉(zhuǎn)化成直的線。學(xué)生通過三個圓的操作，親身體會把“曲”線轉(zhuǎn)化成“直”線的過程，化曲為直的思想在學(xué)生的“慢”操作中深入人心。用膠帶紙拉直的方法來測量更易操作且比較準(zhǔn)確，此過程又為下面探究周長與直徑之間的關(guān)系提供了實驗操作的素材?！?/p>

三、合理猜想，實驗驗證

1.初步猜想：觀察下面這三個圓，結(jié)合剛才拉直的一圈紙條的長度，想一想圓的周長可能與什么有關(guān)？（圓的大??；圓的直徑；圓的半徑）

師：其實圓的大小歸根結(jié)底是由半徑或直徑?jīng)Q定的。下面我們就先來研究圓的周長與直徑之間的關(guān)系。

2.進一步猜想：圓的周長與直徑可能存在什么關(guān)系？

繼續(xù)觀察這三個圓，周長與直徑可能有什么關(guān)系？說說你猜想的依據(jù)。（2倍多；3倍；4倍等）

【思考：人類認(rèn)識事物的過程都是從模糊到清晰、從粗略到精確的，小學(xué)生的認(rèn)識過程也不應(yīng)該違背這樣的規(guī)律。C=π×d，其中d是變量，π是常數(shù)。要探索周長的計算方法，需要找到相關(guān)變量的存在。從學(xué)生已有的認(rèn)知考慮，不難知道圓的周長與圓的大小有關(guān)，與圓的半徑或直徑有關(guān)。而圓的大小是由圓的半徑?jīng)Q定的，因此圓的周長的大小必定與圓的半徑有關(guān)，也必然與直徑有關(guān)，聚焦圓的直徑成為探究對象的必然選擇。這一過程旨在讓學(xué)生了解知識從哪里來，避免了只是“魚燒中段”的現(xiàn)象，而尋找相關(guān)變量在建模過程中往往被忽視。圓的周長與直徑究竟有什么關(guān)系，本環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生通過觀察憑借直覺作出估計，體現(xiàn)猜想有理有據(jù)的思維過程，實踐表明學(xué)生是可以作出合乎邏輯的猜想的?！?/p>

3.操作驗證。交流：可以用什么辦法來驗證我們的猜想？（量出數(shù)據(jù)再比較。更簡單的方法：直接用直徑去量，看有幾個直徑這么多等）

進一步交流：怎樣用直徑去量？（在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上教師演示量法）

用直徑去量一量，并在紙帶上標(biāo)出有幾個直徑長。

4.交流。你有發(fā)現(xiàn)嗎？（圓的周長都是直徑的3倍多一些）

5.質(zhì)疑：對于這個發(fā)現(xiàn)，你有什么想法或疑問嗎？大膽地去想。（其他的圓是不是也這樣；會不會有一個圓，它的周長不是3倍多一些，而是2倍多一些或者4倍多一些呢？真的這么神奇嗎？3倍多一些會不會是一種巧合？）

6.進一步驗證：其他圓的周長也是直徑的3倍多一些嗎？

（學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備的有圓形的實物進行驗證）

交流：你們的驗證結(jié)果如何？（都是直徑的3倍多一些）

7.數(shù)學(xué)方法驗證說明：對于這個問題，我們沒辦法一個一個去驗證，我們可以通過數(shù)學(xué)的方法來說明。課件演示：

（1）圖中正方形與圓有什么關(guān)系？（圓的直徑等于正方形的邊長），正方形的周長與圓的周長有什么關(guān)系？（圓的周長比正方形的周長?。┱呅蔚闹荛L與圓的周長有什么關(guān)系？（正六邊形的周長比圓的周長?。?/p>

（2）正方形的周長是直徑的幾倍？圓的周長有直徑的4倍嗎？（圓的周長比直徑的4倍少）

（3）正六邊形的周長與圓的周長比較，誰大？那么正六邊形的周長是直徑的幾倍呢？

引導(dǎo)：圖中每個三角形有什么特點？六邊形的一條邊就等于圓的半徑，那么六邊形的周長與直徑有什么關(guān)系？（六邊形的周長是直徑的3倍）

（4）綜合：圓的周長比六邊形的周長大，比正方形的周長小。也就是說：圓的周長比直徑的3倍多，但比直徑的4倍少。

【思考：驗證過程是對自己猜想結(jié)果成立與否的確認(rèn)過程，而驗證方法是需要經(jīng)過討論認(rèn)可的，這也是培養(yǎng)學(xué)生實驗?zāi)芰Φ闹匾矫?。在這一板塊設(shè)計了三個驗證環(huán)節(jié)，驗證的方法也不盡相同。首先是用課前準(zhǔn)備的實物圓片直接去驗證，發(fā)現(xiàn)三個圓片的周長都是其直徑的3倍多一些。接著在此基礎(chǔ)上用學(xué)生自帶的有圓形的物體進一步驗證，擴大了驗證的范圍，增加了發(fā)現(xiàn)的可信度，并形成一定的心理傾向。由于沒辦法窮盡列舉，最后憑借數(shù)學(xué)的方法加以說明，圓的周長比直徑的3倍多但比直徑的4倍少，明確了周長與直徑存在的關(guān)系是固定在一個區(qū)間范圍內(nèi)的，從理性的層面說明直觀操作發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的合理性?！?/p>

四、演算推理，表達模型

1.提出問題：圓的周長是直徑的3.□倍？這個倍數(shù)會不會是一個固定不變的數(shù)？你準(zhǔn)備怎么研究？學(xué)生在充分交流的基礎(chǔ)上，完成《學(xué)習(xí)單》。

2.交流實驗情況。

（1）說說你們的發(fā)現(xiàn)。

（2）分析：每個小組的圓片是一樣的，為什么周長的測量結(jié)果不一樣？

指出：數(shù)據(jù)的隨機性；測量誤差。

（3）盡管這樣，周長除以直徑的商，有什么規(guī)律？呈現(xiàn)出什么趨勢？

3.介紹古人研究的方法和結(jié)論。

其實周長除以直徑的商是一個固定不變的數(shù)，叫圓周率，用字母π表示。板書：圓周率（π）。

（1）劉徽用“割圓術(shù)”的研究結(jié)果。魏晉時期的劉徽，從直的多邊形周長與直徑的關(guān)系推出了圓的周長與直徑的關(guān)系。（課件逐步演示）

①他先從正六邊形開始，（課件演示多邊形的形成）觀察多邊形，你發(fā)現(xiàn)了什么？（越來越接近圓）

②正六邊形周長是直徑的3倍。他又通過數(shù)學(xué)的方法算出了正12邊形的周長與直徑的關(guān)系，正12邊形的周長是直徑的幾倍？正24邊形的周長呢？

劉徽求得圓周率π的近似值是3.14。

（2）南北朝科學(xué)家祖沖之的研究結(jié)果。

南北朝科學(xué)家祖沖之使用劉徽的方法算出圓周率π大約在3.1415926至3.1415927之間，成為世界上第一個把圓周率的值精確到小數(shù)點后7位的人。

（3）利用現(xiàn)代技術(shù)研究出的結(jié)果。

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)在人們已經(jīng)把圓周率π計算到了小數(shù)點后數(shù)萬億位了。

這個小數(shù)有規(guī)律嗎？

指出：它是一個無限不循環(huán)小數(shù)。

（4）對于這個發(fā)現(xiàn)，你有什么感想？（居然圓的周長與直徑還有這樣一種倍數(shù)關(guān)系，而且這個倍數(shù)是一個無限不循環(huán)小數(shù)。不研究不知道，一研究真奇妙）

4.到現(xiàn)在為止，你知道周長與直徑之間有什么關(guān)系嗎？用一個數(shù)學(xué)式子怎樣表示？

圓的周長就是直徑的π倍。

周長÷直徑=圓周率（π）。

用字母怎么表示？

（板書C=π×d）

5.你能用一個式子表示圓的周長與半徑之間的關(guān)系嗎？

【思考：從一個區(qū)間范圍到具體的常數(shù)，需要通過計算推演才有可能完成，這也是準(zhǔn)確建立模型的需要。同樣的圓，測得的周長數(shù)據(jù)卻不一樣，揭示了數(shù)據(jù)收集的隨機性，同時引導(dǎo)學(xué)生要客觀看待實驗結(jié)果，實驗時要有認(rèn)真細(xì)致、求真務(wù)實的態(tài)度。學(xué)生測量計算發(fā)現(xiàn)圓的周長與直徑的比值大都傾向于3.1多或3.2多，由于測量帶來的不可避免的誤差使得計算結(jié)果不能達到理想狀態(tài)，這時需要引進數(shù)學(xué)史實加以規(guī)范。割圓術(shù)實質(zhì)是化曲為直，通過研究圓內(nèi)多邊形周長與直徑的關(guān)系來推斷圓的周長與直徑的關(guān)系，化曲為直、極限思想的價值在這里得到了彰顯。引導(dǎo)學(xué)生表達周長與直徑的關(guān)系是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達能力的重要環(huán)節(jié)，從語言文字的直接描述，到語言文字的關(guān)系式表達，再到字母符號的表達，逐步實現(xiàn)數(shù)量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)化表達。而圓的周長與半徑之間的關(guān)系則由學(xué)生通過演繹推理完成。至此，關(guān)于圓的周長的數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)已然完成?！?/p>

五、回顧反思，練中理解

1.回顧一下，我們是怎么發(fā)現(xiàn)圓周長與直徑之間的關(guān)系的？經(jīng)歷了哪些過程？

（在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，逐步出示形成如下路線圖）

首先，我們用化曲為直的方法把圓的周長變直，然后進行研究。接著，研究圓的周長與什么有關(guān)，提出自己的猜想。然后，研究圓的周長與直徑有怎樣的關(guān)系，這是我們重點研究的部分，我們是怎么做的？最后得出結(jié)論。

我們要不斷學(xué)習(xí)這樣的研究方法，去探索大千世界更多的奧秘。

2.要知道圓的周長，除了直接測量外，還可以怎么辦？（量出直徑或者半徑）

（1）如果一個圓的直徑是5分米，周長怎么算？

交流：在計算時，π取多少呢？是用劉徽算出的值，還是用祖沖之算出的值，亦或是用計算機算出的值？哪個更精確？一般情況下需要這么精確嗎？

指出：有時不需要這么精確，為了方便,我們一般保留兩位小數(shù),取它的近似值3.14。也就是說:圓的周長大約是直徑的3.14倍。

（2）如果一個圓的半徑是10厘米，周長怎么算？

【思考：引導(dǎo)學(xué)生回顧剛剛學(xué)習(xí)的過程，是對已有探究過程的一次梳理和反思，有利于學(xué)生形成探索解決問題的有效策略，幫助學(xué)生積累解決問題的成功經(jīng)驗。在運用模型解決實際問題的過程中，對于圓周率取值多少的教學(xué)，不能簡單告訴學(xué)生，要幫助學(xué)生理解這樣取值的道理。本環(huán)節(jié)給出三個數(shù)值讓學(xué)生選擇，旨在引導(dǎo)學(xué)生明確取值不同結(jié)果的精確度就不一樣，圓周率的取值取決于計算結(jié)果的要求，一般保留兩位小數(shù),取它的近似值3.14。如此教學(xué)，學(xué)生不但知其然也知其所以然，促進了學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。】