分析學生解題 助推教學改進

文|何月豐

2020年12月9日，周三

今日要教學“商的變化規律”，腦海里浮現出以前這節課教學之后學生做習題時的景象，于是在讀完《教師教學用書》上的“教材解讀”和“教學建議”之后，趕緊翻開配套的作業本查看。因為我已經不止一次在這個事情上“翻船”了——按照《教師教學用書》的建議進行教學，結果作業本上的習題超出了“教材解讀”中的要求，學生和我都苦不堪言。

下圖是《商的變化規律》一課同步作業本上的最后一題。

真是不看不知道，一看嚇一跳。如果依據教材，通過觀察幾組除法算式得出“商的變化規律”，面對這道習題時我和學生豈不又要苦不堪言了！

如何在教學之后使學生能較好地解答這道題？這個困惑讓我陷入了思考。思之思之，猛然覺得，這道習題所要求的解題思路，不正是“商的變化規律”的原形嗎？于是，一個新的教學設想在心中逐步形成，趕緊記錄下教學流程，帶著信心走進了教室。

師：我們這段時間在學除法，我寫幾道題大家算一算。

先板書“16÷8=”，請學生口答并板書答案。繼續板書“160÷8=”。

師：現在等于幾呢？

學生基于現在的水平，馬上一起回答等于“20”。我寫出答案后繼續板書“320÷8=”，詢問答案，板書“40”。繼續完成“640÷8”的計算。

此時形成一組板書：

師：請大家看一看這些算式，有沒有特殊的地方？

生：除數都是8。

我結合學生的回答，與大家一起關注除數，并用紅色粉筆在8下面畫橫線凸顯。

師：除了除數都是8，你還有什么發現嗎？

此處《教師教學用書》的建議是“提出問題：每組題中的什么數變了？什么數沒變？除數（或被除數）和商的變化有什么特點？”我沒有采取這個建議，因為我認為這樣太瑣碎了，所以讓學生整體觀察，自己發現。

生：我發現被除數都是乘2，商也一樣。

此話一出，已經有學生表示反對了。大家圍繞第1、2兩個算式進行比較，證明這個發現不對。

生：我發現除數不變，被除數乘幾，商也乘幾。

我沒想到這個答案會來得這么快且清晰！“銅鑰匙”獎勵。一些學生對于這次獎勵有意見，認為太簡單了不足以用“銅鑰匙”。

師：這個發現并不簡單。不信的話，誰再來把這個發現講一遍？

請了三位學生，都不能達到上述清晰的程度，至此大家認可了此次獎勵。

師：現在我們一起來把這個發現講一遍。

與學生一起講的時候，配合板書進行標識。

講完后，與學生一起用字母式將此發現進行了表達。（在學“積的變化規律”時，已經有過這樣的表達，因此學生對此并不陌生）

師：誰還有新的發現？

學生都覺得不可思議，還能有什么新的發現？

師：想問題有時候需要倒過來想。

有了這個提醒，反應快的學生馬上舉手了。

生：這些算式倒過來看就是除數不變，被除數除以幾，商也除以幾。

“銅鑰匙”獎勵，然后結合黑板上的算式進行理解，最后結合字母式表達形成如下板書。

師：現在誰能把這個發現合起來說一說？

學生獨立思考后各抒己見，然后統一說法，對此不再贅述。

師：學到這里，你們心里產生什么問題了？

學生提問，以問引學。

生：乘或除的這個數能是0嗎？

這是意料之外的，不過那么真實。一起討論，發現不能是0，板書“0除外”。

師：誰還有不一樣的問題？

生：如果被除數不變，除數乘幾，商會怎么變化呢？

意料之中，給予“銅鑰匙”獎勵——好問題。

舉例、觀察、發現，并以“分蘋果”為例，理解為什么商的變化與除數的變化相反，（具體過程略）最后用字母式表達。（如下圖）

師：現在，誰能再合起來說一說我們的發現？（略）

師：學到現在，不知道你們心里有沒有新的問題產生呢？

話音剛落就有學生舉手了，說明下面這個問題不是此刻經我提問后產生的，而是他們在前面的學習中就有了。

生：剛才都是一個數不變，如果兩個數都變會怎么樣？

師：好問題，“銅鑰匙”獎勵！

板書“18÷6=3、180÷60”。

師：等于幾？

生：3。

師：有什么發現？

生：商不變。

師：對的。為什么商不變呢？

生：因為被除數乘10，除數也乘10，所以商不變。

從道理上講，這樣的解釋完全正確。根據“教學建議”，這樣的解釋也可以了。但現在是要“發現道理”，且我還想要學生會解答作業本上的那道題，現在自然沒這么簡單。畢竟，前面那么長的鋪墊可不是用來做擺設的。

我隨著學生的解釋，完善板書。

師：好奇怪！被除數乘了10，除數也乘了10，怎么商是不變的呢？

學生陷入了慌亂！不過，還是有勇敢舉手的學生。

生：抵消了。

師：乘10和乘10怎么就抵消了呢？

我本來想刺激一下這位學生，讓他繼續往下講，可他卻坐下了。看來他所謂的“抵消”也是一種猜測。不過，這好像啟發了其他學生。

生：被除數乘10，商就乘10，除數乘10，商就除以10。這樣乘10和除以10就抵消了。

學生這下炸開了，似乎一下子都明白了，于是又請了兩位學生把這個理由復述了一遍。然后，我結合學生的說法跟進板書。

師：看來不變真的是“抵消”了的原因，獎勵！

繼續板書“360÷12”，練習運用，解釋不變的原因。

此后，自然要用字母式來表示其規律了。

結合上述板書，總結“商不變性質”。（略）

【日志解讀】

我相信，如果沒有作業本上的那道習題，對于“商的變化規律”的教學我會在學生發現“商不變”時就止步了。這樣的“發現”，已經較好地完成教材對于這節課的教學要求，也符合《教師教學用書》的解讀和建議。然而作業本上的一道習題，讓我的教學又向前走了一步。這一步，將“商不變”不是作為一種特定的發現來對待，而是作為被除數和除數變化過程中的某一種現象來對待，是商隨著除數和被除數變化而變化過程中的一種比較特殊的情況而已。同時，字母表達式這樣的模型，也為學生解答相關習題提供了支撐。略感可惜的是，因為前面的發現和推理耗時太多，導致來不及在課堂上做習題。不過從課后學生的作業情況看，效果還是不錯的。

一次教學改進，起因是作業本上的一道習題。這便是我在這則教學日志中所想表達的一個觀點：分析學生解題，助推教學改進。

一、為什么學生解題可以助推教學改進

研讀教材和研讀學生是實現數學課堂教學改進的兩個重要抓手。研讀教材有助于我們更好地把握“教什么”，研讀學生有助于我們更好地把握“怎么教”。一直以來，對于教材的研讀，我們常常將重心落在例題教學上，與此相對應，對于學生的研讀，我們的重心也就常常落在學生對例題的學習上。但是在實際教學過程中，我們的教學改進常常還有第三個抓手——學生在解答習題中的表現。

如上教學日志中記錄的故事，對于“商的變化規律”，我研讀了教材和《教師教學用書》，也研讀過學生——這節課之前已經教過幾次了，因此很清楚要“教什么”和“怎么教”。但當看到作業本上的習題后，我立刻想起了以往學生解答此類習題的表現，這讓我清楚地意識到，如果僅僅根據現在我對這節課“教什么”和“怎么教”的理解，學生在解答這道習題時一定會遇到比較大的困難。這促使我再一次對“教什么”和“怎么教”進行審視，努力尋求解決路徑，最終有了教學日志中的教學改進。

因此，如果我們現在把“研讀教材”狹義地理解為是研讀教材上的例題教學，把“研讀學生”狹義地理解為是研讀學生的例題學習，那么，研讀習題、分析學生的解題表現，無疑成為連接“教材”和“學生”的紐帶。也就是說，通過習題教學，不僅可以鞏固學生對數學知識的理解和掌握，還可以檢驗我們的教學效果。如果習題在“學生端”出現了問題，那么，作為教師就該反思自己的教學，從“知識端”入手，并設法改進。

以上是從我個人實踐的層面看待習題對教學改進的助推作用。從更為廣義的層面講，各地甚至全國范圍內開展的教學質量監測，不也是通過學生解答相關習題的形式來分析教師教學中存在的問題，進而提出改進意見的嗎？可見，分析學生解題助推教學改進，是一種較為常態的做法。

二、如何通過分析學生解題助推教學改進

通過上文分析已經明確，對學生解題的分析可以助推我們平時的教學改進，進而提高教學效率。那么，在具體的教學過程中我們該如何實施呢？一般而言，需要我們把握好以下兩個方面。

1.深入分析學生的解題表現。

對學生在解題過程中的表現進行分析，是實現教學改進的重要前提。教師一般能在兩種場景下注意到學生在解題中的表現：一是學生在課堂上的解題過程中；二是學生在課后練習的解題結果中。本文討論的主要是第二種場景下的學生解題表現。

教師對學生的課后練習進行批閱，不僅可以了解學生對知識的掌握情況，還可以從中看到自己教學中是否存在問題，這便是習題的評價功能。當然，要實現習題的這個功能，作為教師，在批閱時就不能僅僅看到“對”“錯”，還要對其中的“錯”展開深入地分析，找到“錯”背后的原因，進而厘清學生在解題中遇到的困難到底是什么。舉一個典型的例子，在梯形教學之后，學生在后續解題中經常不認可下圖是個梯形。深入分析不難發現，學生廣泛出現這個錯誤的原因，是我們對梯形認識教學不到位造成的。

這就告訴我們，面對學生的大面積錯誤，或者出現了聚集性的典型錯誤，這個時候必須要引起重視，因為此時的錯誤往往已經不是“學生端”的原因，而是“教師端”的原因，是教師對“教什么”和“怎么教”把握不到位造成的。

2.把握教學改進的兩個時機。

從時間順序上講，學生在解題中出現問題是在教師教學之后。因此，當我們發現了問題，需要反思的應該是之前的教學，需要改進的也是之前教學這一內容的策略。但是，時間不可能倒流，我們不可能再回到之前的教學時段進行教學改進來糾正學生的錯誤。由此可見，分析學生解題表現后的教學改進，不是“回到從前”，而是“啟示未來”。

（1）改進“下一課”教學——及時補救。

當我們通過分析學生的解題表現發現了自己教學存在的問題后，此時需要做的第一件事就是及時補救，途徑是想辦法改進“下一課”的教學。

這里的“下一課”，可以是緊接著自己批閱學生練習之后的那節課，是名副其實的下一課。此時，學生解題中出現的問題一般與緊接著的教學內容聯系密切，如果不及時解決，會影響后續的教學。

這里的“下一課”，也可以是在某一階段性教學內容完結之后再專門安排的一節課。此時，學生解題中出現的問題不會直接影響緊接著的教學內容，因此可以暫時緩一緩。

常用的改進措施：一是將學生在解題中出現的問題通過一定形式在課堂上呈現，然后組織學生對問題進行討論，進而糾正學生的錯誤認識，以彌補之前教學中存在的不足，促進學生的深刻理解；二是可以重新設計一道類似的習題，然后有針對性地展開教學（像教例題一樣教習題），以此彌補之前教學中存在的不足，幫助學生更好地理解并掌握知識。

當然我們還要認識到，如果因為例題教學時存在不足而導致學生在解題時出現問題，那么僅憑一次補救往往是不夠的，這需要有一個不斷強化的過程。

（2）改進“下一輪”教學——根源入手。

一般情況下，小學數學教師的教學是一個循環往復的輪回過程。如第一學段的教師一般在1～3年級輪回，第二學段的教師一般在4～6年級輪回。因此，當我們在學生的解題中發現了問題，此時雖不能“回到從前”，但可以促使我們再次教學這個內容時進行教學改進。

這是一種從根源入手的教學改進方法。其實，這種方法在教師平時的教學實踐中還是非常多見的，比如平時大家在備課時思考“以前教到這里時學生的問題是什么”，此時的思考對象常常就是學生在解題中出現的問題。因此這樣的思考，其本質便是基于上一輪教學中學生解題時出現的問題而引發的教學改進行為。

不過，從現在發現學生在解題中出現的問題，到下一輪教學這個內容，往往要間隔一至三年時間。這么長的時間，期間難以避免會出現一定的遺忘。因此，每一次備課時先去看一看、做一做教材或作業本上的習題，想一想以前學生在這里出現過什么問題，就可以“喚醒”自己的記憶，有助于“教學改進”的更好發生，如上教學日志中的故事便是如此。

當然，我們更希望從“發現問題”到“教學改進”的過渡時間能再縮短一些，因為正常情況下真的到“下一輪”往往是一到三年以后的事情。對此，加強教師間的教學交流便是一種較為有效的手段。這也就是說，對學生在解題中出現問題的認識，并不是一定要自己親身經歷，還可以從同事那里交流而得。當然，自己發現的問題也可以分享給同事，這不僅可以為大家提供第一手的教學資料，也可以一起商討更為有效的教學改進策略。

可見，這里的“下一輪”，可以是自己真實的下一輪，也可以是從別人那里學來的“下一輪”，還可以是自己提供給別人的“下一輪”。

深入分析學生的解題表現，充分發揮習題的評價功能，促進自己的教學不斷改善，最終目標是為了促進學生更好地發展。