從『外輸入』走向『內打破』
——以《長方形和正方形的面積》教學為例

文 李余獻

李嘉誠說：雞蛋從外打破是食物，從內打破是生命！我想說：教學從外輸入是教，從內打破是學！

【課前思考】

《長方形和正方形的面積》的教學，縱觀其發展的歷史痕跡，可以發現教學設計和教學行為隨著目標定位的改變而改變。第一輪新課改之前，基本屬于公式記憶，練習鞏固教學方式，關注了公式記憶和運用的熟練。之后的十余年間，不僅關注了公式的記憶與運用，還關注了公式生成的過程與方法。在數學學科核心素養的背景下，原來的教學存在什么問題？通過深度思考，我們發現存在這樣幾種現象：一是課堂開放不夠，順教而學現象比較普遍；二是學科素養生長過少，側重知識與技能的生長；三是公式理解不透，知道“面積=長×寬”，對公式的本質“格”與面積之間的聯系不太明白。如何突破以上問題，直面學習內核，我們進行了以下的實踐與思考。

【教學過程】

一、自主探究，新知建構

1.估一估，初感面積。

師：（出示一個面積為1平方分米的正方形紙片）同學們，我們已經學習了面積和面積單位，這個小正方形的面積是多少？

生：1平方分米。

師：如果這個小正方形紙片的大小為1平方分米，［出示一張3×4=12（平方分米）的長方形紙片］那么這張長方形紙片的面積大概會是多少呢？請你估一估。

生：10平方分米。

生：12平方分米。

……

2.試一試，初探方法。

師：這張紙片面積到底有多大？請你用自己的方法試一試。

（學生自主嘗試后匯報）

生：面積是12平方分米，我是用1平方分米的小正方形擺出來的。

生：這張紙片可以折成12個1平方分米的小正方形，所以它的面積是12平方分米。

生：我把這張紙片畫成12個1平方分米的小正方形，所以它的面積是12平方分米。

生：我量出這張紙片的長是4分米，寬是3分米，用3×4=12，就可以求出面積是12平方分米。

師：你們真厲害，分別用了擺一擺、折一折、畫一畫、量一量的方法知道了這個長方形紙片的面積。

3.看一看，構建表象。

師：你是怎么得到12平方分米的呢？明明是12格呀，為什么是12平方分米？

生：1格等于1平方分米，12格就是12平方分米。

師：老師從同學們那里找到了下面這幾幅圖，第一幅里很容易看出3×4=12（格），其他幾幅圖里，難道也有3×4=12（格）嗎？你是怎么看出來的？

學生依次討論，想象格子總數。

4.算一算，推導公式。

師：請大家在格子圖上畫一個你自己喜歡的長方形，并求出它們的面積。

（學生嘗試后匯報）

師：你發現了什么？

生：長方形的面積=長×寬。

師：那正方形的面積該怎么計算？

生：正方形的面積=邊長×邊長。

師：為什么長×寬或邊長×邊長就是它們的面積呢？

生：因為“長×寬”或“邊長×邊長”可以求出有多少個格子數，每個格子數就是一個面積單位，所以格子數就相當于它們的面積大小了。

二、打破慣性，深度建構

師：下圖中這個長方形的面積是多少平方分米？

生：3×2=6（平方分米）。

師：現在你還覺得是6平方分米嗎？

生：不對不對，是24平方分米。

師：怎么變了？

生：因為一個格是4平方分米。

師：3×2=6，這里的單位應該是什么？

生：應該是6格。

師：下圖中這個長方形的面積是多少平方分米？

生：3×2=6（平方分米）。

師：現在的面積可能變化嗎？

生：不會。

師：從這兩道題目里，你發現了什么？

生：有時候格子數是面積數，有時候格子數不是面積數。

三、生活溝通，建立“模型”

師：請計算下面幾道題，結合今天學習的內容，你有什么發現嗎？

生：它們都是用乘法計算。

生：馬克筆一排的支數，就如長方形的長一樣。馬克筆的總支數，就如長方形的面積。

四、拓展延伸，凸顯素養

練習一：請大家閉上眼睛，想象面積為24平方厘米的長方形，它可能長什么樣子？伸出你們的小手描一描。

練習二：長6厘米、寬4厘米的長方形，它的面積是多少？（1）如果長增加1厘米，寬不變。面積增加多少平方厘米？（2）如果寬增加1厘米，長不變。面積增加多少平方厘米？（3）長寬同時增加1厘米，面積增加多少平方厘米？

（學生思考后匯報，課件出示結果）

五、全課回顧，總結提升（略）

【課后反思】

一、給足空間：為“內打破”創設格局

格局有多大，空間就有多大；空間有多大，思路就有多廣。教學也是如此，教師越放手，學生的創新思維越容易被激活。如何放手？就是減少外因給與，增加內因的探索與發現，即減少教師對學生的指向性導入，增加學生自主性的獨立思考與合作交流，大膽放手，給學生充足的時間和空間，讓學生按照自己的想法去實踐，去驗證自己所學的東西，讓內驅起作用，讓內核發生改變。

1.從“給方法”走向“找方法”。

本節課不像許多教師那樣，從一開始就指令性地讓學生擺一擺或是畫一畫，而是出現一個單位面積為1平方分米的正方形，讓學生摸一摸面積在哪里，然后出現一張長方形的紙片，讓學生猜一猜面積有多大，再大膽放手讓學生用自己的方法去探究長方形的面積。果然不出所料，越放手，學生的思維越容易被打開。首先在操作方法上，學生出現了擺一擺、折一折、畫一畫、量一量的好辦法，最后在結果獲得的方法上，有的學生用了數，大部分學生用了算。無論是操作方法還是結果獲得的方法，都是學生自主思考后獲得的成果。從“給方法”被動學習到“找方法”主動參與，學生的思維被打開，創新的做法自然就水到渠成了。

2.從“給圖形”走向“創圖形”。

在探究長方形面積公式從特殊到一般時，本節課不是教師給學生幾個長方形讓他們計算其面積，而是問“是不是所有的長方形都可以用這種方法得到它們的面積呢？請同學們自己在格子圖上畫一個長方形，并完成《練習單》”，讓學生自由發揮，畫自己喜歡的長方形，最后再匯報自己畫的長方形的長、寬和面積。

在探究面積相同的長方形的多樣性，初步感受面積相同形狀不同、周長也不同的學習環節中，教師只給出了要求：面積為24平方厘米的長方形是什么樣的？讓學生把長方形畫出來。這里不是給出幾個面積一樣的長方形讓學生看著圖形算出來，而是只給了學習要求，給了學生自由發揮的空間。

這一系列微妙的做法，看上去結果差不多，但實質是不一樣的。從“給圖形”到“給要求”，學生自然就會去“創圖形”，在創圖形的過程中，教師給學生的空間變大了，思維開放了，從“順思維”走向了“逆思維”，思維的深度得到了很好的自我生長。

二、直面素養：為“內打破”高立目標

知識是暫時的，素養是長久的。如果只把目標定位在三維目標上，我們的目光會顯得不夠長遠。如果能把目標定位在素養上，我們才能為學生未來考慮。如何針對學生未來的核心素養改進教學行為，正如史寧中教授所說，我們要培養學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。

1.從平面圖形走向數學模型。

平面圖形的面積教學，大多數教師只會在圖形推導的巷子里轉，這樣的教學學生只會記住面積公式。如果打破平面圖形，讓圖形與生活邂逅，找到它們的共性，打通它們之間的任督二脈，學生的認知就不再只是徘徊在二維空間，數學模型就會在頭腦中形成。

本節課通過三個環節完成數學模型的建構：

（1）初感模型。在課的第一環節，教師讓學生用自己的方法得出長方形紙張的面積是多少。學生在擺一擺、折一折、畫一畫中初步感知3×4=12（格）的面積公式的模型。

（2）初建模型。接著在學生呈現的四種圖形中尋找3×4=12（格），讓學生在腦海里重復“行格數×列格數=總格數”模型；然后，讓學生在格子圖上自由地畫出長方形，再寫出面積計算的算式，又一次在頭腦中建立一般長方形面積計算的模型。

（3）深化模型。本節課這個時候不是馬上剎車，而是讓學生列算式計算生活中的三道題，再出現長方形面積計算，讓學生去找聯系點、相關點、共同點。這個時候，留在學生腦海里的不再是面積公式，而是一種“長×寬”的思維模型。

2.從直觀圖像走向直觀想象。

核心素養里的直觀想象在圖形教學中作為目標是必然的，但是如何利用這節課生長學生的直觀想象能力，在本節課教學中有種“潤物細無聲”之感。

1.從形象到抽象。

在面積公式形成的過程中，教師把四種情況一一呈現在黑板上，這四種情況是有梯度的，從到，再到，最后到，實際上是一個從形象到抽象的過程，特別是最后一個，只有數據，教師讓學生在每一個圖形里找到3×4的格子，這種無中生有的教學，讓學生眼前浮現看不見的格子，無形中培養了學生的空間想象能力。

2.從抽象到想象。

在練習中，本節課先繪聲繪色地創設情境：有一個面積為24平方厘米的長方形，你覺得它可能長什么樣子？請閉上你的眼睛，想象一下，它的長是幾厘米？寬是幾厘米？它的面積剛剛好是24平方厘米。現在請同學們伸出你的小手，把你腦海里的長方形在空中描出來，最后在格子圖上畫出來。在這個環節中，學生通過想象，對問題進行思考、分析，在腦海中浮現出格子的數量和長、寬，再在紙上涂出長方形來驗證自己的想象。整個過程中，學生興趣濃厚，覺得很好玩。不僅鞏固了長方形的面積公式，更重要的是培養了空間想象能力。

3.從一維到二維。

在最后的一題練習中，本節課給出了三個問題：（1）長增加1厘米，面積增加多少？（2）寬增加1厘米，面積增加多少？（3）長和寬各增加1厘米，面積增加多少？

這三個問題有一個共同的特點就是給學生的是一維數據，而讓學生想象的是二維數據在哪里？有多少？學生通過一維想二維，再驗證二維數據的多少。學生在整個過程中不停想象，而且三個問題有一定的坡度，讓學生感悟由于長、寬長度的變化，引起長方形面積的變化，幫助學生感受一維到二維的變化。這樣教學，學生不但理解了面積的含義，而且提升了空間想象能力。

空間想象能力的最終形成，光靠“動手”是不夠的，需要“手腦同步”“做思并進”。所以在設置練習時，尤其要凸顯空間觀念。學生從抽象的文字中，通過想象、分析，理解了面積的內涵，更促進學生由“實踐表征”向“空間認知”的能力提升。

三、找到關鍵：為“內打破”提供核心

從教學任務看，“長方形的面積計算”屬于規則學習，而非符號學習。許多教師在教學時關注了面積公式形成時的操作和公式的記憶。也就是說面積形成過程的程序化理解還是缺失的。之前調查了部分高年級的學生，問：長方形的面積公式你知道嗎？你知道為什么是長乘寬？第一個問題幾乎所有的學生都能作答，但對第二個問題，大部分學生就答不上來了。有的學生甚至說：長方形面積就是長乘寬，沒有為什么呀！其實長方形面積公式的產生是一個用一維數據通過計算得出二維數據的過程，這個過程必須要弄明白“長度”與“面積單位”之間、“格”與“面積”之間的的關系。這兩個關系弄明白了，才算真正理解為什么面積是長乘寬了。

1.從內容走向內核。

無論哪種圖形，求面積的本質意義都是“探求所含面積的單位個數”。學生雖然從格子圖中發現了“長方形的面積=長×寬”的規律，但是僅僅停留在數值上正好相等，并沒有實質性地理解了面積的含義。

在學生得出4×3=12（平方分米）時，教師問：4表示什么？學生答：表示4個格子。3呢？表示3行，學生答。教師又問：4個格子乘以3，得出的結果是12個格子，怎么會是12平方分米呢？學生答：因為1格=1平方分米，12格=12平方分米。在這樣的溝通中讓學生還原了長乘寬等于面積的中間省去的環節，學生對面積的得出有了本質的理解。

2.從內核走向內化。

學生理解了“一格”與“面積單位”之間的關系后，本節課為了學生深度理解它們之間的關系，先出示下圖一，學生受到思維定勢的影響，回答為6平方分米。教師在圖上出示一格為4平方分米的小正方形（大小與長方形里的一個相同），學生發現上當，馬上改成24平方分米。然后教師又出示圖二，學生得出結果為6平方分米。教師問：這個答案還可能變嗎？學生回答說不會變了。然后，教師把兩道題目放到了一起，問：同樣都是6格，為什么題一不是6平方分米，而題二可以確定為6平方分米呢？學生說，看每一格的大小是不是確定的，告訴我們長、寬的長度，就可以確定每一格就是一個面積單位，但僅告訴我們格子數時，還不能確定每格就是面積單位。

求出長方形的面積是多少平方分米？

圖一

圖二

通過本環節的學習，學生對格數、面積單位、長、寬和面積之間的關系完全掌握，深度理解了面積公式的本質。

一節好課，不只是站在“目前好”的視角進行設計與教學，而是站在“今后好”“越來越好”的視角去設計教學。一節好課，是因為已經跳出了眼前，站在了三維目標之外的學科核心素養和學習的本質。