深度學習：培養學生的審辯式思維
——以《多邊形的內角和》一課為例

文|章劍 邵虹

一、課例實施背景

浙教版四年級下冊教材的練習中涉及到了《多邊形的內角和》這一知識，而在人教版和蘇教版四年級下冊教材中都有《四邊形（多邊形）的內角和》這一教學內容，說明四年級的學生是有學習《多邊形的內角和》的能力和需求的，因此在上完《三角形的內角和》一課后，增加了拓展課《多邊形的內角和》。

這節課旨在基于數學素養視角的深度挖掘，在學生已經儲備了一定的研究方法和思辨能力的基礎上，對于“多邊形內角和是多少”這一問題進行深度思辨，發展其認識和思考的深度與廣度，重在數學思想方法的感悟和沉淀。通過讓學生回憶（三角形的內角和）研究過程（猜想-驗證-結論-應用），梳理研究方法，培養研究能力，提升審辯能力，拾階而上探索新知識。

為了更好地了解學生對“多邊形內角和”這一知識的掌握程度，對一個班32位學生進行了前測。

層次0：只能寫出三角形的內角和。（2人）

層次1：只能寫出三角形和四邊形的內角和。（6人）

層次2：只能寫出三角形，四、五、六邊形的內角和，但不能正確寫出自己的想法。（3人）

層次3：只能寫出三角形，四、五邊形的內角和，但能正確寫出自己的想法。（1人）

層次4：能寫出三角形，四、五、六邊形的內角和，且能正確寫出自己的想法。（12人）

層次5：能寫出三角形，四、五、六和n邊形的內角和，且能正確寫出自己的想法。（8人）

通過前測發現班里有四分之一的學生已經知道n邊形內角和的計算方法，有將近三分之二的學生會計算多邊形內角和。如果將這節課定位在通過多邊形內角和研究最后得出n邊形內角和的計算方法，大部分學生會覺得這節課很無聊，因為所學的知識他們都已經會了，于是將其定位在從三角形內角和的研究方法延伸到多邊形內角和的研究，讓學生通過猜想，得出矛盾，從而質疑，在思辨中明理。

二、片斷解析

●教學片斷一：審辯式思維之博學。

1.回顧三角形內角和的探究過程。

（1）零散回憶——有結構性的。

師：我們已經學習了三角形內角和，我們是怎樣來研究的？你能舉例說明嗎？

（出示思維導圖，圖略）

生：我們研究“三角形內角和”，先根據兩塊三角板的內角和是180°，猜想是否任意三角形的內角和都是180°，然后對自己的猜想進行了驗證。既然是任意三角形，就需要對銳角、直角、鈍角三角形都進行研究，我們想到了很多驗證的方法，比如撕、折，將幾個相同的三角形拼在一起，都可以得到一個平角，也就是180°，也可以量一量算出內角和，還可以通過長方形或正方形的分割得出任意直角三角形內角和，接著我們就得出了結論：任意三角形的內角和都是180°，最后，我們還可以應用得到的結論解決一些問題。

（2）出示“三角形內角和”數學小報。

師：同學們把這個研究過程制成了數學小報，我們一起來欣賞一下。同桌交流“三角形內角和”的研究過程和研究方法。（數學小報略）

2.我們已經知道了“任意三角形內角和是180°”，那你還想研究什么？

【設計意圖：要培養學生的審辯式思維，首先需要有廣闊的視野和知識作為思辨的基礎。因此，在第一個環節，帶著學生一起回顧“三角形內角和”的學習過程，重新經歷“提出猜想、合理質疑、合情辨析、得出結論”的過程，將學生記憶中碎片化的知識點和研究過程串聯起來，并結合思維導圖，形成清晰的認知結構。學生自己繪制的數學小報即是學生初始的認知水平反映，同桌討論時，可進一步感知和感悟審辯式思維的基本模式和個性化表達?！?/p>

●教學片斷二：審辯式思維之審問、慎思、明辨。

活動一：研究四邊形的內角和。

1.你們想從哪個圖形開始研究？那我們就先從四邊形開始研究，可能要經歷怎樣的探究過程？

2.猜想。

師：你猜想四邊形的內角和可能是多少？

（板書：360°）

師：你為什么這樣猜想？

生：正方形、長方形四個角都是直角，內角和是90°×4=360°。

師：我們研究的四邊形應該是指？

生：任意四邊形。

師：如何來證明我們的猜想呢？

生：驗證。

3.四人小組研究“任意四邊形的內角和是多少”。

（提供的素材：平行四邊形、梯形、凹四邊形、不規則凸四邊形）

四人小組合作要求：

（1）獨立思考。將方法記錄在四邊形上。（0級音量）

（2）小組交流。采用“坐莊法”。（2級音量）

（3）反饋匯報。（3級音量）

（4）反饋：所有組的白板都貼在黑板上，將匯報的小組作品投屏。

方法1：測量。

方法2：拼。

方法3：分割。（理解什么是內角）

師：①④180°×2=360°（2表示什么？）2表示分成了兩個三角形。

師：②180°×3-180°=360°。為什么要減去180°？哪些是內角？

師：③180°×4-360°=360°為什么要減去360°？

師：連法不同，得到的三角形個數也不一樣，但是得到的四邊形內角和都是360°

小結：剛才，我們從回顧“三角形內角和”的研究過程和方法，提出了新的問題，并通過這三種方法來驗證我們的猜想，得出了結論。

【設計意圖：審辯式思維的目的是引導學生發展其認識和思考的深度與廣度。這個教學環節從學生的猜想開始。學生的猜想一般會有三個層次：一是沒有想法隨意說一個角度；二是根據特殊圖形長方形和正方形猜測360°；三是認為特殊圖形是360°，一般圖形不一定是360°，正是有了疑問，產生了問題，我們才要慎思和明辨。使學生的思維聚焦到如何證明自己的猜想。通過對各種不同類型四邊形進行研究，以及采用不同方法對四邊形內角和進行研究，在豐富的案例中形成聯系和概括，不僅確定四邊形內角和是360°，而且了解可以怎樣發現和證明一個基本的數學命題，為進一步的研究打好基礎。在這一教學過程中，始終要保持學生思考的自主性和邏輯的嚴密性。】

●教學片斷三：審辯式思維之篤行

活動二：研究五邊形、六邊形、七邊形、八邊形的內角和。

1.剛才有同學還想研究五邊形、六邊形等多邊形，請你打開平板，用你喜歡的方法研究一種多邊形。

（提供的素材：正五邊形、六邊形、七邊形、八邊形；一般五邊形、六邊形、七邊形、八邊形）

2.探究“多邊形內角和”。

合作要求：

（1）獨立研究。（0級音量）

（2）自由交流。選擇相同圖形的學生到指定區域交流。（2級音量）

（3）反饋匯報。（3級音量）

3.反饋。

（1）五邊形組投屏兩個作品：我們組研究的是五邊形，我們都用了分割的方法，發現任意五邊形的內角和都是540°。

（2）六邊形、七邊形、八邊形各投送兩個，共六個。

觀察：這些研究小組都用了什么方法？（分割）他們研究的結論對嗎？

4.小結：看來，研究五邊形、六邊形、七邊形、八邊形的時候，大部分同學都是把復雜的問題變簡單，利用已經學過的知識來解決新問題。

【設計意圖：在思辨之后還應有實踐的延續，即“篤行”。學生在研究四邊形的基礎上，研究“多邊形內角和”時，自然就用到審辯式思維的基本模式以解決問題。發現和證明逐漸成為一種常規的課堂活動，審辯式思維逐漸成為一種基本的數學思考方式。】

三、課例評析

《多邊形的內角和》一課重視積累思維活動經驗，提升基本數學思想方法，深度培養審辯式思維。整節課采用了動態生成式教學，重視能力的培養和素養的培育，對于“多邊形的內角和”這一知識看中的是方法而不是結果。

1.依據思維生長的基本特征，以問引思；

2.剖析探究過程的個體差異，以探促構；

3.多元互動交融的環境營造，以聯激思；

4.經歷關系與結構研究過程，以智賦能。

第一次深度思辨，教師讓學生從猜想中引發思考“四邊形內角和”到底是多少。有的學生能從特殊圖形，如正方形、長方形中得出90°×4=360°，有的學生則認為不一定，如果是任意四邊形就不是360°，教師善于鼓勵學生質疑和討論，引導學生在討論中走向結論，而不是簡單地從結論走向結論，學生自己互相糾正補充，教師適當地完善、提升、類化。

第二次深度思辨，因為四邊形內角和的思辨過程被教師放大了，五邊形、六邊形、七邊形、八邊形的研究就水到渠成了，讓學生經歷從特殊（正多邊形）到一般（任意多邊形），讓學生在審辯的過程中自然感悟化歸思想，學生將多邊形轉化成三角形或四邊形，通過比較不同點，提煉基本策略，提升基本方法，構建出研究一般多邊形的路徑。

兩次深度思辨以后，學生自然而然有了建模的過程，多邊形邊數、三角形個數、內角和之間的關系就自然建立了。

這節課中教師培養學生審辯式思維采用了兩種教學方法，一是“基于問題的解決”，教育的真正目的就是讓人不斷地提出問題、思索問題，“質疑”是學生經過獨立思考，進而提出問題的學習過程，是培養審辯式思維的起點，因為審辯式思維具有質疑和創造的特性；二是“基于小組合作”，深度的合作學習，有行為合作、認知合作和情感合作。

教師善于引導學生從“顯性”的數學知識學習過程中理解和掌握知識背后“隱性”的數學思想方法。給每一位學生賦能，賦予能力、能量，有效地培育了學生的審辯式思維。