非平行多導體傳輸線串擾的快速時域分析算法

葉志紅， 唐 備， 易 鴻

(重慶郵電大學通信與信息工程學院， 重慶 400065)

隨著無線通信技術的快速發展，電子設備的工作頻率和集成度越來越高。傳輸線廣泛應用于電子設備中電路模塊之間的數據傳輸，同時也是傳導電磁干擾的主要途徑。當傳輸線通有電流正常工作或者受到空間電磁場作用產生干擾信號以后，必然會通過容性耦合和感性耦合，在其鄰近的傳輸線上產生串擾響應，從而影響受擾傳輸線端接電路的正常工作。受電子設備中電路位置的限制，傳輸線無法始終保持平行，甚至相互交叉，將此類傳輸線稱為非平行多導體傳輸線。因此，開展高效的數值算法研究，仿真分析非平行多導線的串擾問題，為電子設備的電磁干擾抑制提供理論依據。

分析多導線串擾的最直接方法為全波算法，如時域有限差分(finite-difference time-domain，FDTD)方法[1]、矩量法[2]和有限元法[3]等。但是，全波算法不太適用于非平行多導線的串擾分析，是因為傳輸線的尺寸比較精細，剖分所需網格量較大，使得計算占用的內存較多，計算效率不高。因此，中外學者提出了多種基于傳輸線理論的高效數值算法。這類算法通過傳輸線方程構建激勵源與傳輸線上電壓和電流之間的聯系，然后對傳輸線方程進行求解，獲得傳輸線端接負載上的干擾響應。針對傳輸線方程不同的求解方法，發展了幾種典型的數值算法，如BLT(Baum-Liu-Tesche)方程[4-6]、SPICE(模擬電路仿真器)方法[7-8]以及FDTD-TL算法[9-10]等。

BLT方程的核心在于通過散射和傳輸矩陣構建集總激勵源與傳輸線節點位置上的電壓和電流的關系矩陣，然后對其進行矩陣運算，求得節點電壓和電流響應。但是，傳統的BLT方程是一種頻域算法，當激勵源為寬頻帶信號時，計算效率不高。雖然已有學者將BLT方程擴展到了時域，但是需要用到大量的卷積運算，計算復雜度增加。SPICE算法是一種時域算法，其通過建立傳輸線的SPICE等效電路模型，然后使用SPICE軟件進行建模和仿真，獲得傳輸線端接負載上的瞬態響應。但是，該方法建立傳輸線SPICE等效模型的過程較為復雜。FDTD-TL算法同樣為一種時域算法，其采用FDTD的中心差分格式對傳輸線進行離散，從而迭代求解得到傳輸線及其端接負載上的瞬態響應。該方法的優點是建模過程簡單，但是FDTD選用的離散網格大小受到激勵源頻率成分的限制，當激勵源包含高頻分量時，網格需劃分得較細，致使計算效率降低。

基于高階FDTD方法[11-12]結合傳輸線方程，提出一種高效的時域混合算法，實現非平行多導體傳輸線串擾的快速計算。推導適用于非平行多導線的單位長度分布參數計算公式；采用高階FDTD(2,4)方法的大空間步長對傳輸線方程進行差分離散，以期在保證計算精度的前提下，減少空間網格數以提高計算效率。

1 時域混合算法理論

為了清晰地闡述時域混合算法的理論，圖1給出了典型的集總源激勵下的金屬板上非平行多導體傳輸線的串擾模型。金屬板可以看成是理想導體，放置在直角坐標系的xy平面上。多根非平行傳輸線位于導電板上方，相鄰導線之間存在一定的夾角，導線的水平投影保持相等。多導線的某一端口接有集總電壓源作為干擾源，其他端口均接有電阻作為負載。這里忽略了多導線的輻射效應，是因為當集總激勵源的頻率成分不是很高時，多導線與金屬板之間的距離小于激勵源對應的最小波長，根據鏡像原理，傳輸線散射的直接輻射場及其作用金屬板的反射場相抵消。

圖1 集總源激勵下的非平行多導線串擾模型Fig.1 Crosstalk model of NPMTLs excited by lumped source

時域混合算法實現非平行多導體傳輸線的串擾仿真，首先需要構建適用于非平行多導線串擾分析的傳輸線方程，表示為

(1)

(2)

式中：V(y,t)和I(y,t)分別表示非平行多導線沿線方向的電壓和電流矢量；R、L、G、C分別表示非平行多導線的單位長度電阻、電感、電導和電容分布參數矩陣，忽略導線的損耗，因此，R和G為0。

由此可見，傳輸線方程的建模精度由非平行多導線的單位長度分布參數的計算準確度決定。下面將詳細介紹非平行多導線分布參數的計算方法。

1.1 非平行多導體傳輸線的單位長度分布參數計算

平行多導線的單位長度電感分布參數的經驗計算公式已由文獻[9]給出, 表示為

Lii=μ0ln(2hi/ri)/2π

(3)

(4)

式中：i、j分別為第i和j根導線；Lii、Lij分別為多導線的自電感和互電感；ri為第i根導線的半徑；hi、hj、dij分別為第i根和j根導線的高度以及兩根線之間的間距。

由于多導線的自電感與導線之間的間距無關，式(3)仍然適用于非平行多導線的自電感計算。然而，多導線互電感與導線之間的距離密切相關，這將使得式(4)不再適用于非平行多導線的互電感計算，因為非平行多導線之間的距離在沿線方向不斷變化。

圖2 非均勻多導線的高階FDTD網格劃分Fig.2 Division of NPMTLs by higher order FDTD grids

圖3 非平行多導線互電感的計算方法Fig.3 Calculation of mutual inductance of NPMTLs

為了求解非平行多導線的互電感，首先將非平行多導線按照高階FDTD網格劃分成N段，如圖2所示，然后分別求解各段多導線段的互電感。這里，任取多導線段中的第i和j兩根傳輸線段為例說明互電感的計算方法。將此雙線線段進一步劃分成多個微單元，每個微單元可近似看成平行線，如圖3所示。假定微單元的數量為M，不同微單元的雙線間距分別為d1,d2,...,dM，那么雙線線段的互電感可以表示為

(5)

獲得非平行多導線的單位長度電感分布參數矩陣以后，通過公式C=μ0ε0L-1即可求得非平行多導線的單位長度電容分布參數矩陣。

1.2 傳輸線方程的高階FDTD(2,4)解法

建立好傳輸線方程之后，需要對其進行差分離散，從而迭代求解得到非平行多導線上的串擾響應。對非平行多導線上的電壓和電流節點按照Δy/2和Δt/2的間隔進行交替抽樣，Δy和Δt分別表示高階FDTD(2,4)選用的空間步長和時間步長。傳統FDTD方法在差分離散時，受Courant穩定性條件和數值色散要求的限制，選取的空間步長必須小于λ/12，λ表示激勵源最高頻率對應的波長。而FDTD(2,4)方法放寬了空間離散間隔所帶來的限制，空間步長取小于λ/2即可[12]。因此，對傳輸線方程采用高階FDTD(2,4)的大空間步長進行離散，仍能保證較好的計算精度。高階FDTD(2,4)使用二階精度的中心差分格式對傳輸線方程的時間偏微分項進行離散，而空間偏微分項采用四階精度的中心差分格式進行離散，得到非平行多導線上電壓和電流的迭代公式為

(6)

(7)

式中：k表示非平行多導線上電壓和電流節點的位置，取值為2,3,4,…,N-3,N-2。

由式(6)和式(7)可以看出，高階FDTD(2,4)無法獲取傳輸線端點及其鄰近節點上的電壓和電流。對于這些電壓和電流，需采用傳統FDTD的中心差分格式進行離散，具體迭代公式可由文獻[13]獲得。

2 數值仿真

采用時域混合算法對理想導電板上非平行多導線在不交叉和交叉兩種情況下的串擾進行計算，并與電磁仿真軟件CST微波工作室的仿真結果進行對比，驗證該算法的正確性和高效性。

算例1理想導電板上不含交叉線的非平行多導線串擾模型，如圖4所示。導電板大小為0.4 m×1.0 m，厚度為1 cm。3根非平行傳輸線的高度和半徑均為1.1 cm和1 mm。假定導電板的起點位于坐標原點(0, 0, 0)，3根導線端點位置分別為#1(0.15 m, 0.1 m, 0.011 m)、#2(0.19 m, 0.9 m, 0.011 m)、#3(0.2 m, 0.1 m, 0.011 m)、#4(0.2 m, 0.9 m, 0.011 m)、#5(0.23 m, 0.1 m, 0.011 m)和#6(0.21 m, 0.9 m, 0.011 m)。多導線端接負載分別為Z1=Z2=50 Ω和Z3=Z4=Z5=100 Ω。多導線端口#1接有集總電壓源，電壓源波形設為高斯脈沖，表達式為E0exp[-4π(t-t0)2/τ2]， 其中E0=1 000 V/m,t0=1.6 ns，τ=2 ns。

圖4 不含交叉線的非平行多導線串擾模型Fig.4 Crosstalk model of NPMTLs without crossed lines

圖5給出了時域混合算法和CST計算得到的非平行多導線端接負載Z1和Z2上的電壓響應波形。可以看出，兩者吻合度非常高，驗證了時域混合算法的正確性。為了驗證時域混合算法的高效性，表1給出了時域混合算法和CST使用網格大小和計算時間的對比。可以看出，由于時域混合算法使用大空間步長進行迭代計算，所需網格量小，相較于CST節省了大量計算時間，計算效率提高了約41%。

圖5 兩種方法計算得到的非平行多導線端接負載上的 電壓響應Fig.5 Voltage responses on the loads of NPMTLs computed by the two methods for the first case

表1 兩種方法計算所需網格數和計算時間Table 1 Mesh number and computation time needed by the two methods

算例2圖6所示為理想導電板上含交叉線的非平行多導線串擾模型。集總激勵源與理想導電板的參數設置與算例1的相同。3根導線的高度分別為1.1、1.1、1.5 cm，半徑均為1 mm。多導線的端點位置分別為#1(0.15 m, 0.1 m, 0.011 m)、#2(0.19 m, 0.9 m, 0.011 m)、#3(0.2 m, 0.1 m, 0.011 m)、#4(0.2 m, 0.9 m, 0.011 m)、#5(0.23 m, 0.1 m, 0.015 m)和#6(0.16 m, 0.9 m, 0.015 m),端接負載同樣為Z1=Z2=50 Ω和Z3=Z4=Z5=100 Ω。時域混合算法選用的空間網格大小為0.05 m。

時域混合算法和CST計算得到非平行多導線端接負載Z1和Z4上的串擾電壓響應，如圖7所示。可以看出，兩種方法的計算結果基本吻合一致，驗證了該算法用于交叉非平行多導線串擾分析的正確性。

圖6 帶有交叉線的非平行多導線串擾模型Fig.6 Crosstalk model of NPMTLs with crossed lines

圖7 兩種方法計算算例2得到的非平行多導線端 接負載上的電壓響應Fig.7 Voltage responses on the loads of NPMTLs computed by the two methods for the second case

3 結論

針對非平行多導線的串擾問題，將高階FDTD(2,4)方法與傳輸線方程結合起來，研究了一種高效的時域混合算法。該算法具有兩方面的優勢：①給出了非平行多導線單位長度分布參數的計算公式；②使用高階FDTD(2,4)的大步長對傳輸線方程進行差分離散，節省了剖分網格數量，實現了非平行多導線串擾的快速計算。為了評估該時域混合算法的性能，模擬了理想導電板上非平行多導線在不交叉和交叉兩種情況下的串擾問題。相較于電磁仿真軟件CST，時域混合算法在計算精度上能夠保持一致，且在計算時間方面得到大幅提升。