基于假設檢驗理論的統計分辨研究綜述

張云雷， 李 軻， 盧建斌

(海軍工程大學電子工程學院, 武漢 430033)

對近鄰目標進行跟蹤或識別時，往往需要對同一分辨單元兩個或多個目標進行分辨，因此近鄰目標的高分辨在雷達[1-3]、水聲[4]、光學[5-6]、頻譜分析及陣列信號處理[7-8]等領域獲得了廣泛關注。

Woodward[9]最早提出了模糊函數的定義，并討論了幅度相等、具有一定多普勒頻移和距離延時差異的兩個波形的距離和多普勒分辨率極限，指出兩個信號的相關系數對分辨能力有直接影響，相關系數越小越容易分辨。根據Woodwald[9]的定義，距離分辨力定義為同一方位不同距離上兩目標能夠分開最小間隔。距離分辨力δR采用模糊函數來衡量，定義為其響應功率下降到1/2時對應的距離間隔，取決于信號的帶寬，δR=C/(2B)，其中，C為光速，B為信號帶寬。方位分辨力δA為區分兩方位上兩近鄰目標的能力，定義為波束響應功率下降到1/2對應的方位間隔，與天線孔徑(D)和工作波長(λ)有關，可表示為δA=kλ/D，其中k為常數。文獻[10]進一步將模糊函數分辨推廣到角度域，并設計了距離、速度、方位和俯仰四個維度的最大似然估計器。

上述定義未考慮實際系統噪聲和雜波的影響，稱為固有分辨率或名義分辨率。實際使用中存在的問題有：一是難以衡量瑞利限內目標，即超分辨性能。隨著高分辨空間譜估計算法的不斷出現，對超瑞利限算法的性能評價需求迫切；二是該方法定義的分辨限是固定值，不能反映隨機因素的影響。實際系統受到噪聲和雜波的影響，單次分辨與否并不確定。因此學者提出應該把分辨問題看作統計問題，并提出統計分辨的概念。關于統計分辨的研究通常圍繞兩方面：一是給定虛警概率和分辨概率，系統可達的可分辨最小統計距離，稱為統計分辨限(statistical resolution limit，SRL)。該值反映了觀測數據質量的影響，如信噪比、信號相關性等參量。二是給定兩信號的參數間隔和信噪比、虛警概率等參數，研究系統可達的最大分辨概率。

文獻[11]基于相關分析，討論了隨機噪聲影響下的統計分辨限的大小，分析了噪聲對分辨概率的影響，但該方法不適用于超瑞利限分辨。文獻[12-13]將瑞利限擴展到兩個非等強目標的分辨，但未考慮噪聲等隨機因素的影響。

文獻[14]從空間譜響應角度，給出高分辨空間譜分辨能力的定義。假定空間譜響應函數P(θ)，兩待分辨參數之間的間隔為D=|θ1-θ2|，定義中間參數的響應為Pm=[P(θ1)+P(θ2)]/2，判斷兩個待分辨譜響應的平均值與中間值的響應的差Q(D)=Pm-P[(θ1+θ2)/2]，大于0則兩信號可分辨，否則不可分。基于以上定義，文獻[15]研究了MUSIC(multiple signal classification)譜估計算法的統計分辨性能，文獻[16]研究了AR(auto-regression)譜估計算法的統計分辨性能。然而，該類算法只能針對特定譜估計算法，并不具有推廣性。

近年來，有學者開始采用假設檢驗理論來定義統計分辨限，其思路如下：通過將分辨問題建模為二元假設檢驗(binary hypothesis testing，BHT)模型，零假設代表只存在1個目標，而對立假設代表存在2個目標。通過求解分辨統計量及其分布，可以定量分析統計分辨概率或SRL的大小。采用假設檢驗的研究方法和檢測問題實際上是相同的，如表1所示。對于檢測問題，研究在給定虛警概率下能夠達到的檢測概率，采用NP(Neyman-Pearson)準則構建最優檢測統計量。對于分辨問題，研究給定虛警概率下可達的分辨概率，采用廣義似然比(general likelihood rate test，GLRT)求解統計量，即對未知參數進行最大似然估計然后代入分辨統計量求解，然后得到分辨概率和虛警概率的關系。

表1 基于BHT的檢測和分辨問題的相似性

相對于基于估計的定義方法，基于假設檢驗的方法能夠定量討論影響SRL大小的因素，且容易擴展到多維空間，因此得到了學者們的重視。

基于假設檢驗理論進行統計分辨的研究具有很長的歷史。早在20世紀60年代，Root[1]就針對瑞利限內目標多個參數的分辨問題，建立了BHT模型。Nilsson[32]針對近距離目標的檢測和估計聯合問題，設計了聯合考慮信號數目誤差和精度誤差的代價函數。Ksienski等[3]對瑞利限內兩近鄰角度參數分辨，基于Root假設檢驗對最大2個目標情形進行理論探討，指出了相位差對分辨性能的影響。Trunk[33]首先將方法引入到雷達距離分辨中，討論了距離上進行統計分辨的重要意義，仿真討論了采樣位置和相干積累對分辨性能的影響。可以看出，早期的瑞利限內分辨問題研多是理論上探討，未能求解統計分辨限的解析表達式。

現圍繞該問題開展研究綜述，通過梳理基于假設檢驗的統計分辨模型和分辨統計量求解方法，得到該類問題研究的一般思路：構造二元假設檢驗模型，利用泰勒近似得到關于待分辨參數的線性模型，或利用大快拍數條件漸近分布，求解統計量的分布，進而得到統計分辨限與波形、信噪比等參數的解析關系，從而得到進一步的研究方向。

1 基于假設檢驗的統計分辨研究現狀

21世紀以來，隨著統計信號處理的快速發展，基于假設檢驗的統計分辨研究重新得到重視。當前基于假設檢驗的統計分辨研究主要包括內容如下。

1.1 單個維度上的統計分辨

在頻率維方面，文獻[34]研究了白噪聲條件下兩正弦信號的統計分辨性能，假定分辨中心頻率已知，而幅度和相位未知。由于觀測和待分辨參數高度非線性，通常采用泰勒展開近似得到線性模型，進而求解分辨統計量分布及其性能，得出分辨信噪比與可分辨頻率間隔和帶寬乘積的4次冪成反比，因此在信號帶寬給定情況下，信號可分辨頻率間隔隨著信噪比增加理論上來說可以無限小。由于陣列信號處理中的方位等價于接收到的角頻率，所以基于頻率的研究可直接擴展到方位維分辨。

針對點源目標方位分辨，通常假設目標回波幅度或者接收波形未知，此時的GLRT方法為漸近意義上的最優檢測器。GLRT方法首先對未知參數或波形做最大似然估計(maximum likelihood estimator，MLE)，然后進行似然比檢驗。基于該思路，文獻[35]采用一階泰勒展開近似得到關于待分辨參數的線性模型和GLRT方法，研究了存在方位點源干擾條件下被動線陣對兩目標的方位角度的SRL，分析了波形已知/未知、噪聲已知/未知等多種情形，得出SRL與信噪比、波形等均有關系。文獻[36]將上述研究擴展到二階泰勒展開近似模型。針對待分辨中心參數未知的情形，文獻[37]首先求得未知中心角度參數的MLE然后進行分辨，得到未知待分辨中間參數時角度SRL的性能損失；文獻[38]討論了單基地MIMO雷達中近鄰目標的方位統計分辨問題，得出噪聲方差已知/未知情況下的信噪比(signal noise rate，SNR)的表達式。文獻[39]討論了超寬帶隨機信號下的圓環陣列對空間角度鄰近目標的角度SRL。文獻[40-41]進一步將其擴展到隨機噪聲MIMO雷達，推導了在給定虛警概率和檢測概率時寬帶MIMO雷達的統計角分辨力表達式，分析了檢驗參數、信噪比、目標參數以及MIMO雷達發射波形參數和幾何參數對分辨力的影響。

關于距離維SRL研究方面，文獻[42-44]討論成像領域的距離統計分辨，假定距離維的響應函數，采用泰勒展開近似得到線性模型求解問題，得到距離統計分辨能力與波形、采樣頻率和信噪比的關系。文獻[45]基于脈壓前的原始回波進行類似的分析，得到分辨性能與波形的表達式。

上述研究均采用泰勒展開近似，也有文獻采用漸近分布求解。文獻[46]研究圓環陣對空間兩近鄰點源目標的統計分辨問題，利用GLRT的漸近分布，得到存在多個未知參數條件下的檢測統計量為卡方分布，并指出了基于假設檢驗定義的SRL和基于估計定義的SRL之間的聯系，指出參數p和一組特定的分辨概率和虛警概率相關。

1.2 多維統計分辨的擴展

和基于估計定義的分辨研究相類似，基于假設檢驗定義的統計分辨研究也被擴展到多維。文獻[47]討論了多維SRL的定義，并指出了與估計定義的多維SRL之間的關系。文獻[48]研究了基于BHT的近場兩信源的角度和距離聯合統計分辨，得出了信號相關性與陣列配置的影響。文獻[49]討論噪聲功率已知/未知條件下的MIMO雷達對近鄰目標的DOA(degree of arrival)和DOD(degree of departure)二維聯合分辨，并對比了透視檢測器的性能。文獻[50]在上述研究的基礎上考慮子空間干擾對分辨限的影響。文獻[51]進一步考慮了多普勒頻率在內的三維統計分辨性能。文獻[52]討論寬帶噪聲MIMO雷達的空間的距離SRL，指出了x和y聯合維度的分辨限可以表示為一個橢圓。文獻[53]針對單個陣元，討論了距離-脈內多普勒二維統計分辨限的表達式，指出了聯合分辨限是距離和多普勒維的權衡。文獻[54]針對線性陣列，討論了角度-脈間多普勒的空-時二維聯合統計分辨限。文獻[55]進一步將上述研究擴展到距離-方位-脈內多普勒三維的分辨情形。

1.3 理論工具的擴展

文獻[56]針對極化陣列討論對比了采用假設檢驗方法與貝葉斯、信息論方法的角度SRL的性能。文獻[57]應用信息論準則來研究線性陣列對角度SRL，得到待分辨中心參數未知時統計量分布以及SRL表達式。文獻[58]針對二維距離統計分辨，利用KL(Kullback-Leibler)距離建立了基于假設檢驗定義的SRL與信息論定義的SRL之間的聯系，討論了欠采樣和模型失配時的性能損失。針對H1條件下對未知參量MLE估計的計算量大的問題，文獻[59-62]采用Rao檢測進行分辨，與GLRT方法在漸近條件下具有類似的性能。

1.4 關于SRL的應用研究

文獻[63]對比了時分復用MIMO雷達和常規MIMO雷達的角度SRL性能。文獻[64]將SRL研究應用到超聲領域，得到分辨限與高斯調頻信號帶寬、載頻、調頻率和相位的關系。文獻[65]討論了時間反轉MIMO雷達的角度SRL的表達式，在不同噪聲條件下，與常規MIMO雷達的SRL相比各有優劣。

2 基于BHT的統計分辨模型

基于假設檢驗的統計分辨研究，應用的前提是待分辨單元很小，同一分辨單元內僅存在1個或2個目標，通過構造0-1假設檢驗模型，將分辨問題建模為BHT問題，零假設表示存在1個目標，對立假設表示存在2個目標。以文獻[36,57]的線陣陣列模型為例，討論方位上的分辨建模方法。

dcosθk為相鄰陣元中間的波程差；Ψi為波程差引起的 相位差；λ、θk分別為電磁波傳播波長和來波相對基線方位角圖1 線性陣列角度分辨示意圖Fig.1 Sketch map of the angle resolution for the linear array

圖1給出了一維線性陣列對近鄰空間信源的角度分辨示意圖，以第一陣元未知為相位參考，假定N陣元數位置矢量d=[0,d1,d2,…,dN-1]T∈RN×1。

已知兩遠場窄帶信號s1=[s1(1),s1(2)，…，s1(L)]T和s2=[s2(1),s2(2)，…，s2(L)]T，回波的波形幅度和相位未知，其中，L為快拍數，sk∈CL×1,k=1,2。則第l個快拍時刻的觀測數據可以表示為

x(l)=v(w1)s1(l)+v(w2)s2(l)+n(l)=

v(w0-δ1)s1(l)+v(w0+δ2)s2(l)+n(l)

(1)

式(1)中：δk(k=1,2)為w1和w2與待分辨中心w0的距離；n(l)為噪聲信號；v(w1)和v(w2)為兩目標信號的陣列導向矢量，其表達式為

v(wk)=[1,ejwkd1,ejwkd2,…,ejwkdN-1]T

(2)

將L個快拍數據排列成列矢量，則得到觀測向量為

x=V1s1+V2s2+n

(3)

式(3)中：V1=IL?v(w0-δ1)；V2=IL?v(w0+δ2)，均為與導向矢量相關的矩陣，IL為L×L的單位矩陣；v的定義見式(1)、式(2)；n～CN(0,σ2INL)為加性白高斯噪聲，其中，CN表示復高斯分布，σ2為噪聲功率。

綜上，可以構建關于待分辨參數的二元假設檢驗模型為

(4)

假設H0表示只有一個信號s0，其中前面乘上了和導向矢量相關的表達式V0=IL?v(w0)，而假設H1表示存在兩個信號，則式(4)可以等價為

(5)

式(4)中觀測數據為待分辨參數ω的非線性函數，求解比較困難，需要尋找近似或者等價方法求解。

上述內容討論的是方位上的統計分辨模型。實際上，可以建立包括距離、多普勒和方位等聯合維度的統計分辨模型。對于雷達等主動傳感器來說，如果考慮脈內多普勒的影響，則距離和多普勒是存在耦合的[53,55]。

3 檢測統計量及其分布

建立基于BHT理論的統計分辨模型[式(4)]。為得到統計分辨性能，需求解檢測統計量及其分布。通常分為兩種思路：一類利用泰勒展開近似將該問題轉化為關于待分辨參數的線性模型[53,55,58]，然后利用GLRT方法求解；文獻[45,48-50]利用投影定理將分辨問題轉化為檢測問題再利用GLRT求解，線性模型下可得到精確分布。另一類利用大快拍數據下的漸近分布求解[46,66]。該方法不受到未知變量和分布的限制，但需要足夠的數據采樣。

3.1 利用線性模型直接求解

針對回波對于待分辨參數高度非線性，通常的思路是，利用兩信號分辨參數差異很小，將上述兩個方位的回波信號在估計參數中心w0=(w1+w2)/2處進行泰勒展開，保留其一階或二階近似，得到關于待分辨參數的線性模型。

具體來說，將式(3)中的觀測信號在其導向矢量相關矩陣V0處進行泰勒一階展開并近似，并定義為

(6)

式(3)轉化為關于分辨參數的線性模型為

(7)

(8)

對于距離分辨來說，此時的待分辨參數不再是角度而是時間。文獻[45]假定主動陣元發射信號為s(t)，兩接收信號α1s(t-t1)+α2s(t-t2)，其中α1和α2為兩目標回波的幅度。進行泰勒展開近似并保留一階項，若時間采樣點數為L，則可建立基于BHT理論的距離分辨矢量模型為

(9)

方位維和距離維分辨模型，經過泰勒展開近似后，均可以寫為關于待分辨參數的線性模型。對于方位分辨來說，信號波形出現在未知參數θ中，如式(8)所示，而對于距離分辨來說，信號波形出現在系數矩陣中，如式(9)所示，這是因為分辨的對象不同所致。

(10)

式(10)中：選擇矩陣A∈Rr×p，滿足rank{A}=r，其中前r列為全零向量，后s列構成單位陣。

線性模型的檢測統計量為

T(x)=2lnLG(x)=

(11)

(12)

式(12)中：χr為自由度為r的中心卡方分布；χ′r為自由度為r的非中心卡方分布；卡方分布的自由度為未知參數的個數，而非中心參數為

(13)

(14)

進一步寫為

(15)

式(15)中:θ=s-，為常見的檢測模型，可以直接利用檢測理論得到統計量的分布。

3.2 利用大快拍條件求漸近求解

參見文獻[67]，當數據記錄很大而信號相對較弱時，觀測數據的最大似然估計收斂到真實的概率分布，此時二元假設檢驗模型為

(16)

式(16)中：θr和θs分別為待檢驗參數和多余參數，含義見式(10)，其對數似然比服從漸進分布：

(17)

此時非中心參數為

(18)

式(18)中：I(θr,θs)為Fisher信息矩陣； [I-1(θr,θs)]rr|θr=0為待估計參數對應的分塊矩陣。

4 展望

基于假設檢驗理論的統計分辨研究可以揭示統計分辨限與給定的虛警概率、檢測概率的關系，可以是單個維度，也可以是聯合維度。結合最近出現的新動態，認為以下方向還值得進一步研究。

4.1 非理想研究條件擴展

當前研究均考慮理想模型(待分辨中心方位精確已知、不存在陣列誤差等)，文獻[58]討論了點響應函數存在偏差時，統計分辨誤差。文獻[26]討論了陣列流型矢量存在誤差時，利用Smith定義的SRL的漸近性能。文獻[68]討論了分辨中心參數服從高斯分布時，研究了和方位SRL緊密相關的參數Chornoff上界(Chornoff upper bound，CUB)的變化。除了上述非理想情況，實際中非理想情況還包括分辨中心為某一范圍、距離分辨問題中不同采樣位置等的影響。

4.2 目標隨機/無條件下的統計分辨研究

以上基于假設檢驗的統計分辨研究，均采用確定未知模型，又稱為條件(conditioned)模型。對于雷達傳感器來說實際的目標回波為隨機分布。在隨機分布假設下，基于估計理論定義的SRL研究見文獻[21,23]。在假設檢驗定義方面的研究較少，其中文獻[69]基于貝葉斯準則研究了兩近鄰目標理論上可達的角度下限。文獻[70]則討論了隨機分布假設下目標的距離維SRL。

4.3 研究方法的使用邊界

從第3節可以看出，兩種研究思路均有適用條件，采用泰勒展開近似需要分辨間隔足夠小，而漸近分布需要足夠大的快拍數。為保證兩種求解方法的性能，需定量計算近似誤差或快拍數對分辨性能的定量影響，但尚未見相關的研究報道。該問題從理論上定量分析可能存在解析困難，可以通過仿真來研究。

4.4 已知目標個數下的參數估計問題

與匹配濾波或MUSIC高分辨譜估計等算法不同，基于假設檢驗的統計分辨研究只能給出目標個數信息，并不能求解目標的位置。在已知目標數條件下，如何對瑞利限內的多個目標的參數位置進行估計值得研究。該方面的研究角多，可以參考多元假設檢驗[71]或各種超分辨的算法[72]。

4.5 基于最優分辨的波形設計問題

基于BHT模型，可得到分辨概率或SRL的解析表達式，進而開展最優分辨的波形設計。基于該思路，文獻[73]研究了存在方位干擾下MIMO雷達的最優分辨的波形設計問題，還可進一步擴展到針對距離、多普勒分辨的最優波形設計。

5 結論

基于假設檢驗定義的統計分辨研究具有理論成熟、方法直觀的特點，利用該方法的結論可確定基于估計統計分辨定義中，參數p與分辨概率、虛警概率的關系。該研究有助于理解統計分辨的概念和其影響因素，為設計更高分辨系統提供了借鑒。