非局域MKdV方程平面波背景下的精確解

于發軍, 劉苡妍, 李 麗

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

0 引 言

最近,Ablowitz和Musslimani[1-2]提出了一些新的非局部可積非線性方程,包括非局部可積非線性薛定諤方程、MKdV方程等。根據波的相對長度與介質非線性響應函數的相對尺度,非局部非線性方程可分為4類:局部類[3]、弱非局部類、一般非局部類和強非局部類。非局域非線性介質中的空間孤子引起了人們極大的興趣[4-6],其中文獻[7]介紹了非局域空間孤子的研究現狀。

隨著孤子理論研究的深入,出現了求解非線性偏微分方程的許多方法,如齊次平衡法[8]、雙線性[9]、Darboux變換(DT)法[10]、反散射變換法[11-13]。文獻[14]中推導出Ablowitz-Musslimani方程的具有等時對稱勢的一些離散的畸形波解。Li和Xu在文獻[17]中通過N次Darboux變換,得到了具有自誘導擬時對稱勢的非局部NLS方程的局域波解。利用廣義達布變換,文獻[18]導出了具有散焦型非線性的對稱非局部NLS模型的有理孤子解,包括1-階解、暗-反暗孤子和反暗-暗孤子。Zhang,Qiu,Cheng和He推導了一類非局部NLS方程的帶有2個自由相位參數的有理解,該解滿足文獻[19]中的等時(PT)對稱性條件。閆等在文獻[20]中提出了連續可積局部和非局部向量NLS方程統一的雙參數波模型。

對于可積孤子方程,構造顯式解一直是一個基本而重要的問題。然而,目前對于反時空非局部MKdV方程的研究工作較少。本文對非局域MKdV方程構造N次DT,求反時空MKdV方程的精確解,主要從平面波背景推導出了一些單孤子、雙孤子和N孤子解公式。

1 Darboux變換求解非局部MKdV方程

最近文獻[1-2]中給出了一個可積實非局部(也稱反時-空)MKdV方程

Qt(x,t)-6σQ(x,t)Q(-x,-t)Qx(x,t)+Qxxx(x,t)=0

(1)

這里:σ=1表示聚焦情況;函數Q(x,t)是實函數。該方程可以描述非線性海洋大氣動力系統[21]中非局域MKdV方程的一般形式。方程(1)的Lax對可以用以下形式表示:

這里:Q(x,t)和Q(-x,-t)是x和t的勢函數;λ是一個譜參數;φ=(φ1,φ2)T是方程(2)和(3)的列向量解與特征值λ有關,并且i2=-1。

(4)

利用兼容性獲得如下形式:

(7)

其中

(8)

(10)

(11)

下式給出DT變換下新解和舊解的關系:

(12)

在這里式(12)是通過方程(5)的達布變換得到的。

2 平面波背景下非局域MKdV方程的N-孤子解

為了得出方程(1)的N-孤子解表達式,考慮矩陣M如下:

根據方程(15)和克萊姆法則,得到

(16)

其中

(17)

基于方程(4),(12)和(17),可以推導出MKdV方程N-孤子解的新公式如下:

(18)

在方程(18)中,分別考慮N=1,2并將其結構繪制為圖1和圖2。在這一節中,將利用N次DT給出方程(1)的一些新的精確解。首先給出種子解Q(x,t)=Aeαx,其次將其代入方程(2)和(3),可得到上述方程的2個基本解:

(19)

圖1 1-孤子解的密度圖

圖2 2-孤子解的密度圖

其中

利用等式(8)和(19),得到Sj如下:

(20)

為了獲得方程(1)的解,分別考慮N=1,2的情形。

1) 考慮N=1,且有λ=λj(j=1,2),求解方程(7)可得

(21)

其中

(22)

根據DT,得到具有平面波背景的非局域MKdV方程(1)的非局域單孤子解如下:

(23)

2) 考慮N=2,且有λ=λj(j=1,2,3,4),求解方程(7)可得

(24)

其中

通過DT公式得到非局域MKdV方程(1)的非局域2-孤子解:

(25)

3 結 論

本文構造了非局部MKdV方程的DT。通過選取合適的參數,給出了具有平面波背景的N-孤子解的表達式。通過求解MKdV方程,發現它與非線性局部MKdV方程的解有很大的不同。此外,還研究了這些解的動力學行為。這些結果有助于理解一些物理現象。該方法也適用于物理和數學中更多的非線性非局部孤子方程。