元素階無平因子的有限群

何立國, 許聰儒, 皇甫瑩

(沈陽工業大學, 理學院, 沈陽 110870)

0 引 言

一個自然數n如果不能被任意素數的平方整除,則稱n是平方自由的,否則稱之為非平方自由的。文獻[1]研究了不可約特征標次都是平方自由的有限群G,證明了在G是不可解群時,若不計可解直因子,G同構于A7;在G是可解群時,G的導長和冪零長分別至多為4和3。文獻[2]研究了關于共軛類長的類似結果,證明了若G的每個共軛類長都是平方自由的,則G是超可解的,且導長與冪零長分別至多為3和2。實際上在文獻[1-2]中還提供了更加豐富的群結構信息。這種關于群的共軛長與不可約特征標次數之間出現對偶結果的現象引起了很多群論學者的興趣[3-10],同時也引起了一個新問題:如將對群的關于特征標次數或共軛類長的約束條件替換為關于元階的約束條件,即當群G的元素階都是平方自由的情況下,G有什么樣的結構呢? 本文證明了交錯群An(n≥6),所有26個散在單群以及Tit單群中都是元素階自由的。利用有限單群分類定理,進一步證明了若有限群G的每個子群與因子群均不同構于一個李型單群,則G是個可解群。此處視A5為一個李型單群, 這是因為A5?PSL2(4)?PSL2(5)。易見,群G是元階平方自由的當且僅當G的方次數exp(G)是平方自由的。本文用N:H表示一個H作用在N的半直積,若G=N:H,則表示N是G的正規子群,G=NH且N∩H=1。

除非特別說明,本文的概念和術語都是標準的[11]。

1 引 理

引理1 如果G是元素階平方自由的,則G的子群及因子群也是元素階平方自由的。

引理2 交錯群An(n≥6)不是元階平方自由的,但A5是元階平方自由的。

證明 交錯群An(n≥6)包含一個元(1,2,3,4)(5,6),它的階是4。應用GAP[4],可計算出A5的元階集{1,2,3,5},故其是元階平方自由的。

引理3 散在單群和Tit群2F4(2)′不是元階自由的。

證明 通過逐一查文獻[12]中的特征標表,可得26個散在單群中每一個均不是元階自由的。 Tit群2F4(2)′包含階是4的元,故也不是元階平方自由的。證畢。

2 主要結果

定理1 設P是一個階為pn的非交換群且exp(G)=p。那么G中存在k個元素x1,x2…,xk滿足P=(…((Z(P)×〈xk〉):〈xk-1〉):…〈x2〉):〈x1〉,此處Z(P)表示P的中心且|P| =|Z(G)|p^k|。

注意到即使在階較小并且方次數exp(P)=p的情況下,一個p-群P也不一定是交換群。例如,利用GAP[13],可計算出階為27的超特殊3-群剛好有2個,它們是 (C3×C3):C3和C9:C3。前一群的方次數是3,后一群的方次數是9。

定理2 設G是可解群且為階平方自由的,那么G=(…(Pn:Pn-1):Pn-2):…P2):P1,滿足任一Pi均為G的素數階子群,1≤i≤n。

定理3 設G是元階自由的且其子群和因子群均不同構于李型單群,則G是可解群。

證明 當G是交換群時,結果顯然。如果G是非交換群,利用有限單群分類定理和引理2和3,可得G不是一個單群(此處將A5視作一個李型單群,這是因為A5?PSL2(4)?PSL2(5))。可以設N是G的一個非平凡正規子群,則由引理1得N和G/N均是元階自由的。又因N和G/N的子群和因子群也是G的子群和因子群,所以也不同構于任一李型單群,由歸納法可得N和G/N是可解群,進而G是可解群。證畢。

定理4 非交換單群PSL2(pf),q=pf>3,當p=2,f≥3;或p>2,f≥2;或f=1,p>5,p-1和p+1之一能被8或r2整除(r是奇素數)時,包含非平方自由元素。當f=1,p>5并且p-1和p+1均為平方自由數時,它是元階平方自由的。當f=1,p>5并且p-1和p+1之一有唯一平方因子4但不能被8整除時,它的元階情況不確定。

證明 因為PSL2(4)?PSL2(5)?A5和PSL2(9)?A6,所以由引理2可得PSL2(4)和PSL2(5)是元階平方自由的,但PSL2(9)不是元階平方自由的。

因為(p+1,p-1)=2,故如果4整除p-1時,那么4不整除p+1;反之亦然。因此當提及4整除p-1,p+1時,實際上4至多整除其中之一,不會出現同時整除的情況。利用GAP[5],可以計算出PSL2(13)的元階集是{1,2,3,6,7,13}和PSL2(53)的元階集等于{1,2,3,9,13, 26,27,53}。可見前一群PSL2(13)是元階平方自由的,而后者PSL2(53)是非元階平方自由的,它有能被9整除的元階。易見13-1=22*353-1 =22*13均是只含平方因子4的數。也可得PSL2(11)的元階集是{1,2,3,5,6,11}和PSL2(19)的元階集等于{1,2,3,5,9,10,19}。可見前一群PSL2(11)是元階平方自由的,而后者PSL2(19)是非元階平方自由的,它有9階元。易見 11+1=22*3和19+1=22*5均是只含平方因子4的數。證畢。

易見階為1，2，3的群都是平方自由的，階為4的群剛好一個是平方自由的,即C2×C2。

利用GAP可以算出階至多為50的平方自由群共有84個同構類，它的結構及元階集如下:

在下面第一組數據中,數據(5,1),C5,[1, 5]中的(5,1)表示小群 G=SmallGroup(5,1),C5表示StructureDescription(G),[1, 5]表示G的階集。

(5,1),C5,[1, 5];(6,1),S3,[1, 2, 3];(6,2),C6,[1, 2, 3, 6];(7,1),C7,[ 1, 7];(8,5),C2×C2×C2,[1, 2];(9,2),C3×C3,[1, 3];(10,1),D10,[1, 2, 5];

(10,2),C10,[1, 2, 5, 10];(11,1),C11,[1, 11];(12,3),A4,[1, 2, 3];

(12,4),D12,[1, 2, 3, 6];(12,5),C6×C2,[1, 2, 3, 6];(13,1),C13,[1, 13];(14,1),D14,[1, 2, 7];(14,2),C14,[1, 2, 7, 14];(15,1),C15,[1, 3, 5, 15];

(16,14),C2×C2×C2×C2,[1, 2];(17,1),C17,[1, 17];

(18,3),C3×S3,[1, 2, 3, 6];(18,4),(C3×C3) : C2,[1, 2, 3];

(18,5),C6×C3,[1, 2, 3, 6];(19,1),C19,[1, 19];(20,4),D20,[1, 2, 5, 10];

(20,5),C10×C2,[1, 2, 5, 10];(21,1),C7 : C3,[1, 3, 7];(21,2),C21,[1, 3, 7, 21];(22,1),D22,[1, 2, 11];(22,2),C22,[1, 2, 11, 22];(23,1),C23,[1, 23];

(24,13),C2×A4,[1, 2, 3, 6];(24,14),C2×C2×S3,[1, 2, 3, 6];

(24,15),C6×C2×C2,[1, 2, 3, 6];(25,2),C5×C5,[1, 5];(26,1),D26,[1, 2, 13];

(26,2),C26,[1, 2, 13, 26];(27,3),(C3×C3):C3,[1, 3];(27,5),C3×C3×C3,[1, 3];

(28,3),D28,[1, 2, 7, 14];(28,4),C14×C2,[1, 2, 7, 14];(29,1),C29,[1, 29];

(30,1),C5×S3,[1, 2, 3, 5, 10, 15];(30,2),C3×D10,[1, 2, 3, 5, 6, 15];

(30,3),D30,[1, 2, 3, 5, 15];(30,4),C30,[1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30];

(31,1),C31,[1, 31];(32,51),C2×C2×C2×C2×C2,[1, 2];(33,1),C33,[1,3,11, 33];

(34,1),D34,[1, 2, 17];(34,2),C34,[1, 2, 17, 34];(35,1),C35,[1, 5, 7, 35];

(36,10),S3×S3,[1, 2, 3, 6];(36,11),C3×A4,[1, 2, 3, 6];

(36,12),C6×S3,[1, 2, 3, 6];(36,13),C2×((C3×C3) : C2),[1, 2, 3, 6];

(36,14),C6×C6,[1, 2, 3, 6];(37,1),C37,[1, 37];(38,1),D38,[1, 2, 19];

(38,2),C38,[1, 2, 19, 38];(39,1),C13 : C3,[1, 3, 13];(39,2),C39,[1, 3, 13, 39];

(40,13),C2×C2×D10,[1, 2, 5, 10];(40,14),C10×C2×C2,[1, 2, 5, 10];

(41,1),C41,[1, 41];(42,1),(C7 : C3) : C2,[1, 2, 3, 6, 7];

(42,2),C2×(C7 : C3),[1, 2, 3, 6, 7, 14];(42,3),C7×S3,[1, 2, 3, 7, 14, 21];

(42,4),C3×D14,[1, 2, 3, 6, 7, 21];(42,5),D42,[1, 2, 3, 7, 21];

(42,6),C42,[1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42];(43,1),C43,[1, 43];

(44,3),D44,[1, 2, 11, 22];(44,4),C22×C2,[1, 2, 11, 22];

(45,2),C15×C3,[1, 3, 5, 15];(46,1),D46,[1, 2, 23];(46,2),C46,[1, 2, 23, 46];(47,1),C47,[1, 47];(48,49),C2×C2×A4,[1, 2, 3, 6];

(48,50),(C2×C2×C2×C2) : C3,[1, 2, 3];(48,51),C2×C2×C2×S3,[1, 2, 3, 6];

(48,52),C6×C2×C2×C2,[1, 2, 3, 6];(49,2),C7×C7,[1, 7];

(50,3),C5×D10,[1, 2, 5, 10];(50,4),(C5×C5) : C2,[1, 2, 5];

(50,5),C10×C5,[1, 2, 5, 10];

通過分析上面數據可得下面結果:

定理5 設G階至多為50階的平方自由群,那么G剛好有84個同構類且全可解群,并且剛好有47個同構類是冪零群。

通過進一步分析由GAP計算的數據可得2 000階以內平方自由群的結構,簡述如下:

定理6 設G階不超過500階的平方自由群,那么G剛好有1 570個同構類, 其中可解群有1 561個同構類,冪零群有527個同構類。

可見500階以內的平方自由群中非可解群共有9個同構類,利用GAP可算得它們分別是SmallGroup(60,5),SmallGroup(120,35),SmallGroup(180,19),SmallGroup(240,190), SmallGroup(300,22),SmallGroup(360,121),SmallGroup(360,122),SmallGroup(420,13),SmallGroup(480,1 187)。并且可得它們分別同構于A5,C2×A5,GL(2,4),C2×C2×A5,C5×A5,A5×S3,C6×A5,C7×A5,C2×C2×C2×A5。