關(guān)于相對(duì)Bousfield類(lèi)和相對(duì)Bousfield等價(jià)關(guān)系

黃文林

(中國(guó)人民大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,北京 100872)

0 引言

自上世紀(jì)70年代以來(lái),Bousfield類(lèi)及其結(jié)構(gòu)問(wèn)題已經(jīng)發(fā)展成為拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何、群與代數(shù)的表示論等領(lǐng)域的共同研究課題[1?5],Bousfield類(lèi)是研究穩(wěn)定同倫范疇、交換環(huán)上的導(dǎo)出范疇、穩(wěn)定模范疇等張量三角范疇的局部化子范疇及其分類(lèi)問(wèn)題的重要途徑,特別地,有限群的穩(wěn)定模范疇的局部化子范疇就是它的Bousfield類(lèi)[4].

有限群G的穩(wěn)定模范疇StMod(kG)及其滿(mǎn)子范疇Stmod(kG)(全體有限生成的kG-模的穩(wěn)定范疇)是有限群表示論中十分重要的表示范疇.基于相對(duì)穩(wěn)定范疇StmodH(kG),Okuyama、Carlson和Peng等將有限群表示論中經(jīng)典的相對(duì)子群H的投射推廣為相對(duì)模V的投射,利用Happel的方法相應(yīng)地建立了更加廣義的相對(duì)穩(wěn)定范疇StmodV(kG),并研究其中的相對(duì)同調(diào)問(wèn)題和上同調(diào)問(wèn)題[6?10].本文研究相對(duì)穩(wěn)定范疇StmodV(kG)的Bousfield類(lèi)問(wèn)題.

本文提出的相對(duì)V-Bousfield類(lèi)融合了相對(duì)模V-投射問(wèn)題和經(jīng)典Bousfield類(lèi)問(wèn)題,事實(shí)上,它既是相對(duì)模V-投射的推廣,又是相對(duì)穩(wěn)定范疇Stmod(kG)上經(jīng)典Bousfield類(lèi)的推廣(注1.4).而且,從結(jié)構(gòu)上看,相對(duì)V-Bousfield類(lèi)還與群代數(shù)的模上的張量積及其直和分解問(wèn)題緊密相關(guān),而張量積的直和分解方法已經(jīng)廣泛運(yùn)用到Green環(huán)的冪零元素、幾乎可裂序列、內(nèi)平凡模、Dade群的結(jié)構(gòu)、廣義跡映射等問(wèn)題的研究中去[11?14].

作者著重研究了相對(duì)V-Bousfield類(lèi)在模上的限制、誘導(dǎo)、張量誘導(dǎo)等運(yùn)算下的包含關(guān)系問(wèn)題(定理1.14、定理1.15、定理1.16、定理1.19),以及利用相對(duì)V-Bousfield類(lèi)定義了模上的相對(duì)V-Bousfield等價(jià)關(guān)系和相對(duì)V-Bousfield等價(jià)類(lèi),證明了在模上的限制和誘導(dǎo)運(yùn)算下仍保持相對(duì)V-Bousfield等價(jià)關(guān)系問(wèn)題(定理2.8、定理2.11、定理2.12),并在子群是強(qiáng)p-嵌入的情形下建立了群與子群的相對(duì)V-Bousfield等價(jià)類(lèi)之間的一一對(duì)應(yīng)(定理2.14、推論2.15).這些結(jié)論綜合、統(tǒng)一和推廣了相對(duì)模V-投射和經(jīng)典Bousfield類(lèi)的若干結(jié)論[4,5,6?10,17].

本文中,我們?cè)O(shè)定,p是一個(gè)素?cái)?shù),G是階含有因子p的有限群,k是特征為p的域,所有的模均是有限生成的.本文的記號(hào)和術(shù)語(yǔ),可參見(jiàn)文獻(xiàn)[8],[15].

1 相對(duì)Bousfield類(lèi)

定義1.1[8]設(shè)V是(有限生成的)kG-模,對(duì)于(有限生成的)kG-模M,若存在(有限生成的)kG-模X,使得M是張量kG-模V?X的(在模同構(gòu)意義下的)直因子,則稱(chēng)M是相對(duì)V-投射kG-模,或稱(chēng)M是V-投射的,記為M∈P(V),其中,P(V)是全體相對(duì)V-投射kG-模的類(lèi).

注1.2(1)對(duì)于G的子群H,若V=Ind,由[15,Corollary4.3.8]知,P(V)=P(Ind)是全體相對(duì)H-投射kG-模的類(lèi);特別地,V=kG時(shí),P(V)=P(kG)=P(Ind)是全體投射kG-模的類(lèi);

(2)對(duì)于任意kG-模V,每個(gè)投射kG-模P∈P(V),也即全體投射kG-模都是V-投射的;

(3)若pdimk(V),由[12,Corollary4.7]知,k|V?V?,此時(shí),P(V)=mod(kG).

定義1.3設(shè)M是(有限生成的)kG-模,記

稱(chēng)V為有限群G上的kG-模M的相對(duì)V-Bousfield類(lèi).

注1.4(1)顯然,V={(有限生成的)kG-模X|在StmodV(kG)中M?X=0},并且,V是StmodV(kG)的局部化滿(mǎn)子范疇;

(2)<0>V=mod(kG),并且對(duì)于任意kG-模M,若pdimk(V),則V=mod(kG);

(3)V=P(V),所以V恰是全體相對(duì)V-投射kG-模的類(lèi),這表明本文中關(guān)于相對(duì)Bousfield類(lèi)V的結(jié)論在相對(duì)投射類(lèi)P(V)情形都成立,從而本節(jié)結(jié)論涵蓋了文獻(xiàn)[6-10]中關(guān)于相對(duì)投射的若干相應(yīng)結(jié)論;

容易驗(yàn)證下面的性質(zhì)1.5,證明此略.

性質(zhì)1.5設(shè)M、N、U和V是kG-模;若M,U,以及N是相對(duì)V-投射kG-模,則

(1)V?V?<0>V;

(2)V=mod(kG);

(3)V=mod(kG);

(4)V=V.

性質(zhì)1.6設(shè)M、N和V是kG-模,則

(1)V=V∩V;

(2)V?V∪V;

(3)V=V;

(4)V=V.

證容易驗(yàn)證(1)、(2),下面證明(3)、(4).

首先,由(2)知,

是關(guān)于kG-模典范態(tài)射的可裂短正合列,這里,所以,M|Hom(M,M)?M,由此,M|M??M?M.

最后,再結(jié)合(1)知,V?V.綜合上述,(3)得證.

類(lèi)似地,用(3)的證明方法可證明(4).

性質(zhì)1.7設(shè)M和V是kG-模,?V(M)是M的相對(duì)Heller算子模[8],則

證 首先,注意到M～=(M?)?,再結(jié)合性質(zhì)1.5(4)、性質(zhì)1.6(4),容易驗(yàn)證V=V.

其次,一方面,由[8,Section 2]知,?(M)|M??(k),再結(jié)合性質(zhì)1.6的(1)和(2)知,V?V;另一方面,若kG-模X∈V,則?(M)?X∈P(V),由[8,Section 2]知,

所以,?(M?X)∈P(V),又由[8,Section 2]知,M?X|(?(M?X)???1(M?X))⊕S,這里,S是一個(gè)投射kG-模,由注1.2(2)知,S∈P(V),由此,M?X∈P(V),X∈V,以及V?V;V=V得證.

最后,類(lèi)似地,結(jié)合[8,Proposition 3.6],用上述V=V的證明方法可以證明V=V.

性質(zhì)1.8設(shè)M、U和V是kG-模;若U∈P(V),則U?V;特別地,若U|V,則U?V.

證一方面,若kG-模X∈U,則存在kG-模Y,使得M?X|U?Y;另一方面,因?yàn)閁∈P(V),所以存在kG-模Z,使得U|V?Z;綜合上述,M?X|V?Z?Y,也即X∈V,由此證得,U?V.

特別地,若U|V,顯然U∈P(V),U?V也成立.

性質(zhì)1.9設(shè)M、U和V是kG-模,則

(1)U⊕V?U∪V;

(2)U?V=U∩V.

證(1)由性質(zhì)1.8得知,U?U⊕V,以及,V?U⊕V,所以,U⊕V?U∪V;(1)得證.

(2)一方面,若X∈U∩V,則有kG-模Y和Z,使得M?X|U?Y,M?X|V?Z,又因?yàn)?

所以,

也即,X∈U?V,這表明,U?V?U∩V,另一方面,顯然U?V∈P(U),由性質(zhì)1.8得知,U?V?U,同理,U?V?V,所以,U?V?U∩V;綜合得知(2)成立.

性質(zhì)1.10設(shè)M和V是kG-模,則

證首先,因?yàn)閂|V??V?V,所以,V∈P(V?),結(jié)合性質(zhì)1.8得知,V?V?,對(duì)稱(chēng)地,可以證明,V?V?,綜上,V=V?得證.

其次,一方面,若kG-模X∈V,則存在kG-模Y,使得M?X|V?Y,又因?yàn)閂|V??V?V,所以M?X|(V??V)?(V?Y),這說(shuō)明,X∈V??V,由此,V?V??V;另一方面,注意到V??V∈P(V),由性質(zhì) 1.8 得知,V??V?V;綜上,V=V??V得證.

再次,一方面,設(shè)V= ?0(V)⊕W,這里W是一個(gè)投射kG-模,由注1.2(2)知,W∈P(?0(V)),由此,V∈P(?0(V)),再由[8,Section 2]得知,?0(V)|?(V)???1(V),也即,?0(V)∈P(?(V)),結(jié)合性質(zhì)1.8得知,V??(V);另一方面,由[8,Section 2]得知,?(V)|V??(k),由此,?(V)∈P(V),再結(jié)合性質(zhì)1.8得知,?(V)?V,綜合上述,V=?(V)得證.

最后,類(lèi)似地,結(jié)合[8,Proposition 3.6],用上述證明V=?(V)的方法還可以證明V=?V(M).

設(shè)M、N、U和V是kG-模,記：

性質(zhì)1.11設(shè)M、N、U和V是kG-模,則

證設(shè)X∈U,Y∈V,則M?X∈P(U),N?Y∈P(V),也即,存在kG-模W1,W2,使得

所以,

也即,X?Y∈U?V,性質(zhì)1.11得證.

設(shè)M、N、U和V是kG-模,記：

性質(zhì)1.12設(shè)M、N、U和V是kG-模,則

證設(shè)X∈U,Y∈V,則M?X∈P(U),N?Y∈P(V),也即,存在kG-模W1,W2,使得

所以,

也即

所以

性質(zhì)1.12得證.

推論1.13設(shè)M和V是kG-模,則End(V)?End(V)=V.

證由性質(zhì)1.12、性質(zhì)1.5(4)、性質(zhì)1.6(4)和性質(zhì)1.10可知推論1.13成立.

設(shè)G≥H,M和V是kG-模,記：

定理1.14設(shè)G≥H,M和V是kG-模,則

證設(shè)kG-模X∈V,則M?X∈P(V),也即,存在kG-模Y,使得M?X|V?Y,從而,

設(shè)G≥H,M和V是kH-模,記：

定理1.15設(shè)G≥H,M和V是kH-模,則

又因?yàn)橛蒣15,Corollary 4.3.8]得知,

進(jìn)一步得到,

類(lèi)似地,

這說(shuō)明,

定理1.16設(shè)G≥H,M、N、U和V是kG-模,若U?V,則

所以,

最后,再由定理1.14知

證由定理1.16知必要性成立,下面證明充分性.

設(shè)X∈U,則由定理1.14知,

由此,

結(jié)合[15,Theorem 5.2.1]知,

所以,

證畢.

證由推論1.17和[15,Proposition 11.3.5]知推論1.18成立.

定理1.19設(shè)G≥H,M和V是kH-模,則

證設(shè)kH-模X∈V,則M?X∈P(V),也即,存在kH-模Y,使得M?X|V?Y.

設(shè)V?Y=(M?X)⊕Z,Z是一個(gè)kH-模,那么,由[18,Proposition 3.15.2]知,存在kG-模W,使得,

所以,

2 相對(duì)Bousfield等價(jià)關(guān)系

定義2.1設(shè)V是(有限生成的)kG-模,對(duì)于(有限生成的)kG-模M和N,若V=V,則稱(chēng)M與N是相對(duì)V-Bousfield等價(jià)的,記為MN.M所在的相對(duì)V-Bousfield等價(jià)類(lèi)記為?M?V,(有限生成的)kG-模上的全體相對(duì)V-Bousfield等價(jià)類(lèi)記為(kG)V.

注2.2(1)可以驗(yàn)證,相對(duì)V-Bousfield等價(jià)關(guān)系是kG-模上的一種等價(jià)關(guān)系,并且,若M～=N,則MN,所以,相對(duì)V-Bousfield等價(jià)關(guān)系是kG-模上的一種較模同構(gòu)關(guān)系弱的等價(jià)關(guān)系;

(2)設(shè)V=kG,則相對(duì)V-Bousfield等價(jià)關(guān)系恰是Bousfield等價(jià)關(guān)系～,這表明本文中關(guān)于相對(duì)V-Bousfield等價(jià)關(guān)系的結(jié)論在Bousfield等價(jià)關(guān)系情形都成立[4,5,17];

(3)每個(gè)相對(duì)V-Bousfield類(lèi)V對(duì)應(yīng)著一個(gè)唯一確定的相對(duì)V-Bousfield等價(jià)類(lèi)?M?V,全體相對(duì)V-Bousfield等價(jià)類(lèi)C(kG)V從類(lèi)別上對(duì)相對(duì)穩(wěn)定范疇StmodV(kG)的局部化子范疇進(jìn)行分類(lèi),對(duì)局部化子范疇上的代數(shù)結(jié)構(gòu)(例如,格結(jié)構(gòu))進(jìn)行刻畫(huà).

性質(zhì)2.3設(shè)M、N、X、Y是kG-模;若MN、XY,則

(1)M⊕XN⊕Y;

(2)M?XN?Y.

證由性質(zhì)1.6(1)易知(1)成立;容易證明(2)也成立.

性質(zhì)2.4設(shè)X、M、N和V是kG-模;若MN,則

(1)XX?X;

(2)X?MX?X?N.

證由性質(zhì)1.6(3)可知(1)成立,再結(jié)合性質(zhì)2.3(2)可知(2)成立.

性質(zhì)2.5設(shè)M和V是kG-模,則

證由性質(zhì)1.7易知性質(zhì)2.5成立.

推論2.6設(shè)M、N和V是kG-模,則

(1)MN當(dāng)且僅當(dāng)M?N?;

(2)MN當(dāng)且僅當(dāng)?(M)?(N);

(3)MN當(dāng)且僅當(dāng)?V(M)?V(N).

證由性質(zhì)2.5可知推論2.6成立.

性質(zhì)2.7設(shè)M、N和V是kG-模;若MN,則

證由性質(zhì)1.10可知性質(zhì)2.7成立.

定理2.8設(shè)G≥H,M、N和V是kG-模;若MN,則

證顯然,定理2.8是定理1.16的直接推論,可另證如下.

由此,

對(duì)稱(chēng)地,可以證明,

推論2.9設(shè)G≥H,M、N和V是kG-模;若M和N是相對(duì)H-投射kG-模,則

證由推論1.17知推論2.9成立.

推論2.10設(shè)G≥H,M、N和V是kG-模;若H包含G的Sylowp-子群,則

證由推論1.18知推論2.10成立.

定理2.11設(shè)H是G的強(qiáng)p-嵌入子群,M、N和V是kH-模;則MN當(dāng)且僅當(dāng)

由[15,Theorem 5.2.1]得知,

對(duì)稱(chēng)地,可以證明,

綜合上述,得知

也即,

結(jié)合定理1.14知,

由此,

對(duì)稱(chēng)地,可證明,V?V,從而,V=V,則MN.充分性得證.

定理2.12設(shè)H是G的強(qiáng)p-嵌入子群,M、N和V是kG-模;則

證由定理2.8知必要性成立,下面證明充分性.

結(jié)合[15,Theorem 11.6.4]知,考察M的每個(gè)不可分解直因子的Green對(duì)應(yīng),可以得到,

同理可得,

綜合上述,V=V,MN,充分性得證.

定理2.13設(shè)G≥H,V是kG-模;若H包含G的Sylowp-子群，則模上的限制映射建立了從kG-模上的全體相對(duì)V-Bousfield等價(jià)類(lèi)(kG)V到kH-模上的全體相對(duì)(V)-Bousfield等價(jià)類(lèi)的單射對(duì)應(yīng).

證利用模上的限制映射建立從(kG)V到的映射,如下：

由推論2.10知,映射f是合理定義的,并且是從(kG)V到的單射對(duì)應(yīng).證畢.

定理2.14設(shè)H是G的強(qiáng)p-嵌入子群,V是kG-模;則kG-模上的全體相對(duì)VBousfield等價(jià)類(lèi)(kG)V與kH-模上的全體相對(duì)(V)-Bousfield等價(jià)類(lèi)一一對(duì)應(yīng),并且

證(kG)V與之間的兩個(gè)映射定義如下：

一方面,定理2.11和定理2.12說(shuō)明,f和g是合理定義的;另一方面,結(jié)合定理2.12的證明細(xì)節(jié),可以得到,

以及結(jié)合定理2.11的證明細(xì)節(jié),可以得到,

是kG-模上的全體相對(duì)V-Bousfield等價(jià)類(lèi)(kG)V,并且它們之間是一一對(duì)應(yīng)的.證畢.

推論2.15設(shè)H是G的強(qiáng)p-嵌入子群,U是不可分解的kH-模,V是不可分解的kG-模,并且U和V互為Green對(duì)應(yīng);則kG-模上的全體相對(duì)V-Bousfield等價(jià)類(lèi)(kG)V與kH-模上的全體相對(duì)U-Bousfield等價(jià)類(lèi)(kG)U一一對(duì)應(yīng),并且

證由定理2.14,再結(jié)合定理2.11和定理2.12的證明細(xì)節(jié),可知推論2.15成立.