區間值h-凸函數的整合分數階積分Hermite-Hadamard型不等式

史芳芳,葉國菊,劉 尉,趙大方

(1.河海大學理學院,江蘇 南京 210098)

(2.湖北師范大學數學與統計學院,湖北 黃石 435002)

1 引言

21世紀以來,由于分數階積分理論廣泛應用于量子力學、高能物理、水動力學、經濟學等眾多領域,彰顯了其獨特優勢和不可替代性,因此其理論和應用深受國內外眾多學者的關注.2013年,Sarikaya M Z等人將Riemann-Liouville分數階積分與Hermite-Hadamard不等式結合,建立一類分數階積分形式的Hermite-Hadamard型不等式[4].隨后,國內外許多數學家對分數階積分形式的Hermite-Hadamard型不等式從不同凸性和不同定義的分數階的角度進行了推廣和改進以及應用了大量的工作[1,4?6].

另一方面,不確定性問題出現在許多確定性的數學或者計算模型中,因此區間分析作為一種新的解決不確定性問題的重要工具被廣泛應用于各個領域,如計算物理學、誤差分析、機器人技術等.特別地,一些經典的積分不等式被推廣到區間值函數的形式中,例如Hermite-Hadamard不等式[3]、Ostrowski不等式[7]等.2019年,Huseyin引入了區間值函數Riemann-Liouville分數階積分的定義,并且證明了一些區間值函數Riemann-Liouville分數階積分形式的Hermite-Hadamard不等式,即

受此啟發,本文引入了區間值函數整合分數階積分的概念,討論了其若干重要性質.將文獻[1]中的Hermite-Hadamard型不等式推廣到區間值函數整合分數階積分的形式中,同時也推廣了文獻[2,3]的相關結果.

2 預備知識

在文獻[8]中,Dinghas給出了區間值函數Riemann可積的定義.我們用IR([a,b])表示所有Riemann可積的區間值函數構成的集合,用R([a,b])表示所有Riemann可積的實函數構成的集合.

其中Γ是Gamma函數.

在文獻[1]中,Ahmad推廣了Riemann-Liouville積分,引入了整合分數階積分.為進一步推廣,我們定義了區間整合分數階積分.

在a和b的定義為：

注1當α=n+1時,定義3即為定義2.

證由引理1和定義3即可證得.

證畢.

3 主要結果

其中α∈(n,n+1].

因此

即證得(3.1)式中的第一個不等式.

類似地,我們有

證畢.

注2若定理1中h(t)=t,則

注3若定理1中α=n+1,h(t)=t,則得到文獻[2]中的定理2.

注4若定理1中n=1,α=2,則得到文獻[3]中的定理4.1.

其中α∈(n,n+1].

且在[0,1]上關于t取積分,

令x=tb+(1?t)a,我們有

由引理2,有

即證得(3.4)式中的第一個不等式.類似地,

在(3.5)式兩邊同乘以tn(1?t)α?n?1ξ(tb+(1?t)a)并在[0,1]上關于t取積分,得

因此,.

證畢.

注6若定理2中h(t)=t,則

注8若定理1中α=n+1,h(t)=t,則得到文獻[10]中的定理3.3.

且

其中,

因此,

由定義3,我們有

將不等式(3.10)–(3.11)式代入到(3.9)式,即證得(3.6)式.

類似地,

證畢.

且

注9若定理1中α=n+1,則得到文獻[2]中的定理3和定理4.

注10若定理1中n=1,α=2,則得到文獻[3]中的定理4.5和定理4.6.

注11若定理3中h(t)=t,則

且