一維直線上的奇異型Trudinger-Moser不等式

朱茂春,劉 杰

(江蘇大學數學科學學院,江蘇 鎮江 212013)

1 引言

一個自然的問題是當n=1時,有沒有類似的Trudinger-Moser不等式呢?2015年,Martinazzi,Iula以及Maalaoui在文獻[9]中給出了一個肯定的回答,他們得到了定義在直線上的分數次Sobolev空間上的Trudinger-Moser不等式,即若p∈(1,∞),則對于任何滿足|I|<∞的開區間I?,當α≤αp時,有

進一步,他們證明了常數αp是最佳的,即當α>αp時,上式中的上確界可以無窮大.

但一維情形下分數次Sobolev空間上奇異型Trudinger-Moser不等式的研究仍是空白.本文將著力關注、探討并嘗試建立一維情形下有界區間上的奇異型Trudinger-Moser不等式并討論常數的最佳性.

為了敘述主要結果,首先介紹分數次Sobolev空間Hs,p.令s∈(0,1),考慮函數空間Ls():

對于u∈Ls(),定義(??)su如下:

其中S為光滑的速降函數空間,并且對于?∈S,定義

其中F?1為Fourier逆變換,為?的Fourier變換.對于s∈(0,1)及p∈[1,∞),s=,定義Bessel位勢空間

以及它的子空間

其中I?是一個有界區間.上述兩個空間的范數是:

本文的主要結果如下.

定理1.1對于任意有限區間I?,p∈[1,∞)及β∈[0,1),存在常數C(p,β),滿足對任意的0≤α≤αp,有

成立,其中

進一步,(1.1)式中的常數αp是最佳的,即如果α>αp,(1)式中的上確界可以任意大.

2 定理1.1的證明

為了證明定理1.1,首先給出下面的重排定義及處理卷積重排問題時常用的O’Neil引理.

引理2.1設I為的有界子集,.則

下面估計u(x)的重排函數.由于f≥0利用O’Neil引理,可以得到

證畢.

引理2.2[11]令0<α≤1,p∈(1,∞),a(s,t)是定義在(?∞,∞)×[0,∞)的非負可測函數且滿足

其中

定理1.1的證明對(2.1)式做變量替換t=e?s|I|,可以很容易得到

令

以及

結合 (2.2)–(2.4) 式,有

通過簡單的計算,可知

并且由重排的基本性質,可知

對于任意的0≤α≤αp,利用Hardy-Littlewood不等式[12],有

其中

因為(2.4)中的a(s,r)滿足當0

且有

于是利用引理2.2,可以得到

因此,當0≤α≤αp,可以得到

下面證明常數αp是最佳的.通過簡單的伸縮變換,不難發現只需證明該結論在特定區間I=(?1,1)上成立即可.證明過程分為三步.

第三步當x∈I時,

其中gx∈C∞()且當y∈Ic時,

類似于[9],可以得到u在[?r,r]上的一個下界估計.

于是,對于任意的x∈[?r,r],當τ→∞時,