學會轉化與化歸,提高解題水平

安徽

轉化與化歸是數學學科重要的思想方法,化繁為簡、化生為熟、化未知為已知,是分析問題和解決問題的基本方法,化歸的基本過程如下圖:

本文就在數學解題中如何引導學生學會運用“轉化與化歸”談一點看法,不當之處敬請批評指正.

1 根據解題目標選擇轉化對象是轉化的起點

數學審題是用數學的眼光分析、觀察、理解問題,達到準確理解題意,明確解題目標,合理選擇轉化對象,減少盲目性.

【例1】對二次函數f(x)=ax2+bx+c(a為非零整數),四位同學分別給出下列結論,其中有且只有一個結論是錯誤的,則錯誤的結論是

()

A.-1是f(x)的零點

B.1是f(x)的極值點

C.3是f(x)的極值

D.點(2,8)在曲線y=f(x)上

思路探求:由A項知a-b+c=0,①

由B選項知2a+b=0,②

由D選項知4a+2b+c=8,④

式③稍復雜,于是可假設ABD都正確,聯立①②④,易得a=b=c=0,不合題意,故ABD中有一個是錯誤的,而C是正確的.

若A錯,BCD正確,聯立②③④,得a=5,b=-10,c=8,符合題意.

于是可知A結論是錯誤的,應選A.

方法點睛:本題的關鍵點是理解并運用好“其中有且只有一個結論是錯誤的”這一關鍵條件.閱讀審題一般需要兩次,第一遍要了解問題講的是什么、已知哪些、解題目標是什么等,第二遍就要帶著問題(目標)有意識地將條件一一表達出來.解題總需要從解題目標出發,將已知條件轉化為易于使用的結果,通過綜合比較選擇解題的入手點,這個入手點就是轉化對象.

2 化繁為簡是轉化的基本功

【例2】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為________.

3 化抽象為具體是轉化的重要方法

對于較困難的數學問題往往有一個難于理解或不易應用的條件,這就是核心條件,需要將核心條件通過等價轉化為便于應用的具體條件,以便發現已知與所求之間的聯系.

當x∈(1,e),h1(x)單調遞減；x∈(e,+∞),h1(x)單調遞增,

4 抓本質是實現轉化的關鍵

理解數學是學習數學的關鍵,在日常教學中只有重視知識的形成過程的教學,重視數學概念、原理的抽象過程、公式的推導過程,關注過程中的關鍵步驟、方法和基本環節,從而領悟數學的本質.在解題中,當問題的解決陷入困境時,我們就要抓住問題的本質進行轉化.

一是說服美國警惕墮入“聯盟陷阱”。長期以來，美國的外交政策極大地受益于其全球同盟體系，但這一過度復雜的同盟體系也使其在國際事務上的成本居高不下，中國可以說服美國警惕墮入聲索國的狐假虎威陷阱而導致中美直接沖突，更不要給盟國開空白支票以支持他們的挑釁行為，現階段主張“美國優先”的特朗普政府，尤其可以進行這一方面的溝通。

如圖,問題中點M、N都是動點,點F1,F2,E都是定點,條件“動點M在雙曲線的左支上”,因為|MF2|-|MF1|=2a=6,即|MF2|=|MF1|+6,而“點N為圓E上一點”，所以|EN|=1,所以|MN|+|MF2|=|MN|+|MF1|+6=|MN|+|MF1|+|EN|+5≥|EF1|+5=9(當M、N在線段EF1上時等號成立).這里用到平面幾何應用廣泛的一個結論:“兩點之間,線段最短”.

方法點睛:動點M在雙曲線C的左支上,所以|MF2|-|MF1|=2a=6；點N為圓E上動點,所以|EN|=1,這就是本質.|MN|+|MF2|=|MN|+|MF1|+|EN|+5最小,本質就是“兩定點F1,E之間線段|EF1|最短”,如果僅僅盯著|MN|，|MF2|,不去從問題本身是什么、能得到什么等方面去思考,就談不上理解了問題,因此,應抓住問題本質去轉化.

5 避繁就簡是轉化的重要原則

優化解題過程需要“琢磨”,在解題中不僅僅是問題解出來了就萬事大吉了,還要對解題路徑、算法有所選擇,重視解題過程的優化.

(1)求橢圓C的方程；

所以S平行四邊形AMBF1∈(0,6],即當t=1時,四邊形AMBF1的面積的最大值為6.

方法點睛:第二小題難度較大,首先弄清解題目標是什么？把四邊形AMBF1的面積用合理的參數表示出來就是解題目標,圍繞這一目標用設而不求法,若設過F2的直線l:y=k(x-1),就需要討論斜率k是否存在,而且后續運算較復雜,于是設過F2的直線l:x=my+1,用參數m表示△ABF1的面積就容易些.所以數學轉化要避繁就簡.

6 積累經驗是提高轉化能力的有效途徑

只注重解題而不重視總結反思,猶如“入寶山而空返”.注重轉化過程中的經驗總結與積累,從而使解題成為鞏固知識、積累經驗、培養能力、提高素養的法寶.

A.(-∞-2] B.[1,+∞)

C.(-∞-1]∪[1,+∞) D.(-∞-2]∪[2,+∞)

本題還可以換一個思路想一想.