基于深度學習的高中數學概念教學實踐研究

廣東

深度學習是指在教師的引領下,學生圍繞著具有挑戰性的學習主題,全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程.在這個過程中,學生掌握學科的核心知識,理解學習的過程,把握學科的本質及思想方法,形成積極的內在學習動機、正確的價值觀.如何判斷課堂教學深度學習是否發生,主要看是否具備以下幾個特征:一是聯想與結構,把要學的內容與以前的內容聯系起來,同時以融會貫通的方式對學習內容進行組織,構建出自己的知識結構;二是活動與體驗,學生能夠全身心投入到探索、發現、經歷知識的形成過程,體會科學的思考方法;三是本質與變式,能夠抓住教學內容的關鍵特征,全面把握學科知識的本質聯系,并能夠在變式中辨析本質特征;四是遷移與應用,要將學習的東西用到新的情境中去,能夠舉一反三,學以致用.

《普通高中數學課程標準(2017版2020年修訂)》中指出:日常教學應加強對基本概念和基本思想的理解和掌握,核心概念和基本思想要貫穿高中數學教學的全程,幫助學生逐步加深理解.隨著新課程的深入實施,高中數學的概念教學受到了前所未有的重視.在高中數學概念教學實踐中引導學生實現“深度學習”必須做好以下幾個方面:1.問題驅動,激活學生思維;2.深入探索,體驗數學概念的形成過程;3.意義構建,理解數學概念的本質;4.靈活遷移,應用數學概念解決問題.

一、問題驅動,激活學生思維

問題是數學的心臟,激發深度學習的教學應該以學生為核心,設計適合學生學習的問題來展開教學,發展學生思維.教學內容的問題是教師為學生創設問題情境,以問題為中心組織教學內容,以問題啟發學生思考,探索發現數學結論,以獲得知識形成、問題解決的體驗.在高中數學概念教學中,教師圍繞概念的生成創設一系列的問題情景,交叉地指導學生探究,步步深入,最終解決問題.

(一)合理地創設具有啟發性的問題情景

華羅庚曾說過:“唯一推動我學習的力量,就是興趣與方便,因為數學是充滿了興趣的科學,也是最便利于自學的科學.”富有趣味和啟發性的問題情景可以形成生動活潑、積極健康的課堂氛圍,這樣能使學生的大腦處于適度的興奮狀態,易于引起學生的興趣,從而更好地接受新知識,并在此基礎上通過聯想、分析、綜合和推理,進行創造性的深度學習,最終習得概念的本質及遷移應用.在這個過程中,使學生個體的創造力、潛能和素養得到豐富和發展,個體的能動性得到充分展現,實現知識向能力的轉化,使教學過程變成學生個性發展和完善的過程.

數學歸納法(節選)

師:四大古典名著之《三國演義》中有非常著名的一個章節——呂子明白衣渡江,關云長敗走麥城,講的是“武圣人”關羽打敗仗的故事,有哪些同學讀過這個故事?跟大家分享一下.(學生們被成功吸引,部分同學躍躍欲試,老師抓住機會開始點將)

生:故事講的是……(老師根據學生的講述情況進行補充,保證故事的完整性)

師:故事聽完了,我想問大家一個問題:“白衣”是“化裝成平民”,那么呂蒙為什么要“白衣渡江”?(課堂氣氛進一步活躍,同學們都迫不及待地發表意見)

生:化裝成平民可以出其不意地襲取烽火臺,打關羽一個措手不及.(同學們各抒己見,課堂氣氛高漲)

師:為什么出其不意地襲取了一個烽火臺,就會打關羽一個措手不及?烽火臺有什么作用?(老師特別強調“一個烽火臺”)

生:烽火臺點火就會升起“狼煙”,一個接一個地點火,以這種方式向遠方傳遞敵情.而呂蒙成功襲取了一個烽火臺,使這種“狼煙”沒有辦法升起,也就無法進行信息的傳遞,所以……

師:呂蒙的勝利是因為他懂得“數學歸納法”.(同學們都目瞪口呆,紛紛表示“抗議”,要老師對這個結論做出讓他們理解的解釋,我因正中下懷而暗自竊喜,旗開得勝,課程開始)

在這個導入設計中,摒棄了傳統的導入方式,設計了一個充滿啟發性的問題情境,一下子抓住了學生的思維,使學生思維順著教師的設計,一步一步進行下去,并在整個數學歸納法的教學過程中都跟烽火臺的狼煙傳遞進行呼應,讓學生在情感體驗的同時輕松地學習,取得了較好的效果.強化問題情景的啟發功能,讓學生體驗數學應用、形成探究的欲望,應成為數學課堂的發展方向.

(二)合理創設問題鏈,引領學生層層深入探究

問題鏈是教師為了實現一定的教學目標,根據學生的已有知識和經驗,針對學生學習過程中將要產生或可能產生的困惑,將教材知識轉換成層次鮮明、具有系統性的一連串的教學問題:是一組有中心、有序列、相對獨立又相互關聯的問題.高中數學概念教學中的“問題鏈”,對學生主動建構概念有較強的導向作用,是促進學生理解和掌握概念本質,發展學生的思維能力,以及推動學生實現預期目標的一種有效控制手段,是提高課堂教學效率的一種教學策略.

函數的奇偶性(節選)

問題1:觀察下列函數的圖象有何特征?

問題2:如何用數學的語言去描述函數圖象的“對稱”?

問題3:如何定量刻畫二次函數f(x)=x2自變量取互為相反數時對應的函數值相等?能列舉一些具體數據嗎?這樣的列舉能反映函數f(x)=x2圖象的變化趨勢嗎?能用什么辦法解決好定量刻畫問題?

問題4:如何用符號語言表示函數f(x)的圖象“關于y軸對稱”或“關于原點對稱”?

問題7:如果函數f(x)對于定義域內任意自變量x,都有f(-x)+f(x)=0,函數f(x)是奇函數嗎?

問題8:如果函數f(x)對于定義域內任意自變量x,都有f(-x)-f(x)=0,函數f(x)是偶函數嗎?

問題9:回顧上述學習過程,有何體驗或感悟?

問題的設計一定要精準,問題鏈中的每一個問題都是學生學習的一個“錨點”,環環相扣,層層深入,引導學生抓住核心問題深入探究.“函數的奇偶性”的課堂教學設計中,問題鏈就像一根指揮棒,指引著學生對“函數的奇偶性”進行深度學習.從圖象直觀出發,到奇(偶)函數的描述性定義,再到奇偶性形式化的定義;從定性描述到定量刻畫;用“任意”突破“無限”等,由淺入深,環環相扣,最終達成教學目標.

二、深入探索,體驗數學概念的形成過程

傳統數學課堂教學“輕過程、重結果”,流行做法有“導學案”,“一個定義三項注意”等,忽視概念產生的背景和形成過程,概念學習退化為“列舉概念要素、關鍵詞和注意事項”的學習.教學活動外化,教學內容泛化,課堂變的熱鬧了,在一定程度上激發了學生學習的興趣和熱情,但學生內在的思維和情感沒有被真正激活,課堂缺乏深層次的思考.導學案的設計打破了原有課程的內在邏輯,支離破碎,課堂的花架子很多,實質性的內容卻很少,教學內容嚴重泛化或碎片化,造成了低效甚至無效.課堂教學教師要引導學生進行深入探索,體驗數學概念的形成過程和本質,堅持重結果也重過程,讓數學教學成為“有思想的教學”,成為提高學生思維能力的舞臺.

直線的傾斜角與斜率(節選)

師:在平面直角坐標系中,要確定一條直線,需要哪些幾何要素?

生:兩點確定一條直線.

師:還有沒有其他確定一條直線的方法呢?

情境:教師展示一個很大的正方形,該正方形的對角線比同學們手中的三角板(等腰直角)的任意一條邊都長得多,怎么樣將它的對角線連接起來呢?

生:正常情況下直接將相對的兩個頂點連接起來便可得到,但是這里的正方形對角線比三角板的任意一條邊都長得多,這種做法不可取.我們知道正方形的對角線與邊成45°,只要將三角板的一條直角邊或者斜邊與正方形的一邊重合,且兩者的頂點重合,把過該點的斜邊或直角邊逐漸延長,最終可準確地將正方形的對角線連接起來.

師:直線還可以由一個點和一個方向(角)來確定.這個角就是兩條直線間的相對位置關系.

設計意圖:引導學生發現確定一條直線的要素除了兩個點,還可以是一個點和一個方向(角).

下面我們將直線放在平面直角坐標系中來研究.給出一點P,可以作無數條直線.這些直線組成“直線束”.

師:一個點不能確定一條直線,如果要確定直線束中的某條直線,還需要一個什么條件?如果學生說出第二個點,引導學生回憶剛才畫正方形對角線的情境.確定一條直線還需要一個方向(角),由此說明引入傾斜角的必要性.

師:剛才通過畫正方形對角線了解到,一個角是兩條線的相對位置關系,現在我們要有刻畫傾斜程度的角,就必須還有一條形成角的參照的直線.在平面直角坐標系中,以哪條軸線為基準形成刻畫傾斜程度的角?(學生可能回答x軸或y軸)

師:以x軸或y軸為基準都可以,在平面直角坐標系中討論角,我們常常以x軸為基準.當直線l與x軸相交時,x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.

當直線與x軸平行或重合時,我們規定它的傾斜角為0°.

設計意圖:利用富有啟發性的問題串,引導形成傾斜角概念,讓概念生成水到渠成.

在“直線的傾斜角”的教學中,讓學生從“要確定一條直線,需要哪些幾何要素?”問題情境開始,挑戰一個操作性的問題,學生在動手操作的過程中,體會概念形成的必要性和必然性,傾斜角的概念生成水到渠成.問題由淺入深,層層遞進,學生在深入探究的過程中思考、歸納并總結規律,在這個過程中提升學生的數學核心素養,增強數學概念教學的有效性.這樣的數學概念教學,過程自然而又體現數學概念的本質,學生真正經歷概念的探究過程,思維得到極大的發展,實現數學概念的育人價值.

三、意義構建,理解數學概念的本質

深度學習特別重視對知識本質的理解,基于深度學習的高中數學概念教學就必須重視對于概念本質的理解,特別是要注重探索理解概念本質的過程,為了幫助學生把握數學概念的本質,教學中可通過類比生活中的一些常識性的模型或概念,進行有意義的構建,理解數學概念的本質.

直線的傾斜角與斜率(節選)

情境:除了用傾斜角、斜率刻畫直線的傾斜程度以外,日常生活中,還有沒有表示傾斜程度的量?

師:如圖,我們經常用一些生活斜面的圖片,從“坡度”、“坡比”這兩個概念刻畫斜坡的傾斜程度.你們還記得坡比的概念嗎?

生:傾斜角α的正切值.

師:我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫作這條直線的斜率.

傾斜角是90°的直線沒有斜率.傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切值叫作這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示,即k=tanα(α≠90°).

傾斜角相同的直線,其斜率相同;傾斜角不同的直線,其斜率不同.因此,我們可以用斜率刻畫直線的傾斜程度.直線的傾斜角、斜率都是用來刻畫傾斜程度的,它們本質上是一致的.傾斜角從形的角度刻畫傾斜程度,而斜率是比值,實質是數值,它從數的角度反映傾斜的程度,顯然用斜率更細致入微些.

設計意圖:通過類比,由形的角度刻畫傾斜程度過渡到數的角度刻畫傾斜程度,得到斜率概念.

高中數學的教學不應該簡單地成為數學知識的傳遞,而要充實學生的知識基礎、完善學生的邏輯思維、發展學生科學理性的精神,即學習理解數學本質的同時也要經歷掌握知識本質的過程.在“直線的斜率”教學中,為了讓學生把握“斜率”的本質,先提供一下生活中的斜坡的圖片,然后引導學生發現從“坡度”、“坡比”這兩個概念刻畫斜坡的傾斜程度,抽象出如何刻畫直線的傾斜程度.只有這樣充分經歷認識“斜率”本質的過程,才能促進學生的深度學習.

四、靈活遷移,應用數學概念解決問題

有學習就會有遷移,甚至“學習就是遷移”，“學習為了遷移”.“遷移”是經驗的擴展與提升,“應用”是將內化了的知識外顯化、操作化的過程,也是將間接經驗直接化、將符號轉為實體、從抽象到具體的過程,是知識活化的標志,也是學生學習成果的體現.基于深度學習的高中數學概念教學必須做好“遷移與應用”,讓學生參與概念的遷移并應用的過程,使新概念成為學生觀察、歸納、概括之后的自然產物.這是學生在數學概念學習活動中經歷的對未來要從事的社會實踐的初步嘗試,也是數學概念教學教育性的重要體現.

基于深度學習的平面向量的實際背景及基本概念(節選)

問題10:觀察圖中的正六邊形,請給圖中的任意兩條線段加上箭頭表示向量,試說說它們間的關系,找出你認為有特殊關系的向量?

設計意圖:不是先給出平行(共線)向量、相等向量的定義,再做練習鞏固,而是讓學生參與概念的定義過程,使概念成為學生觀察、歸納、概括之后的自然產物.教師組織學生進行討論.

問題11:你是如何研究的?例如,你畫了哪幾個向量?你是由平面向量的什么屬性判斷它們的關系特殊?

設計意圖:不僅要關注結果,更要關注過程.尤其要挖掘學生應用向量概念的思維過程.

歸納得到:

(1)從“方向”角度看,有方向相同或相反,就是平行向量,記為a∥b;

(2)從“長度”角度看,有模相等的向量,記為|a|=|b|;

(3)既關注方向,又關注長度,有相等向量a=b,相反向量a=-b.

我們規定:零向量與任意向量都平行,即0∥a.

在深度學習中,“遷移與應用”是重要的學習方式而不只是對學習結果的檢驗方式.在基于深度學習的平面向量的實際背景及基本概念教學中,在已經生成向量的概念的基礎上,構建具體的問題情景,讓學生在解決具體問題的過程中“遷移與應用”,進一步加深對于概念的理解.