非等差非等比數列通項公式的幾種基本求法

湖北

數列通項公式是高考中的重點內容，求法也多種多樣，現將非等差非等比數列通項公式的求法歸納整理如下.

一、和項關系法

【例1】已知數列{an}的前n項和Sn=2n2-3n+k，求數列{an}的通項公式.

【解】當n=1時，a1=S1=-1+k；當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n2-3n+k-2(n-1)2+3(n-1)-k=4n-5.

若k=0，則a1=-1,符合an=4n-5(n≥2)；

若k≠0，則a1=S1=-1+k，不符合an=4n-5(n≥2).

所以當k=0時，an=4n-5(n∈N*)；

【例2】若非零數列{an}的前n項和為Sn(Sn≠0)，且a1=1,3an+1=Sn(n∈N*)，求此數列的通項公式.

又a1=1不適合此式，

【變式1】若數列{an}的前n項和Sn=n2+2n+3，求數列{an}的通項公式.

【變式2】若數列{an}的前n項和Sn=n-5an-85，求數列{an}的通項公式.

二、累加、累乘法

【例3】已知數列{an}滿足a1=2,an=2·3n-1+an-1(n≥2)，求數列{an}的通項公式.

【解】由an=2·3n-1+an-1(n≥2),得an-an-1=2·3n-1,則an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+2·3+2·32+…+2·3n-1=3n-1.

故所求的通項公式為an=3n-1(n∈N*).

【變式1】若數列{an}滿足a1=2,2an+1=n(an-an+1)，求數列{an}的通項公式.

三、整體相減、相除法

【解】由a2+a7=16，得a3+a6=16，又a3a6=55且公差大于零，

所以a3=5,a6=11，由a6=a3+3d得公差d=2.

所以bn=2n(an-an-1)=2·2n=2n+1(n≥2)，③

又b1=2a1=2不適合③，

【例5】若數列{an}對任意n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an=n2，求該數列通項公式.

【解】由a1·a2·a3·…·an=n2，①得a1·a2·a3·…·an-1=(n-1)2(n≥2)，②

【點評】如果條件關系式是由若干項的“和”或“積”的形式構成的，一般采用這種整體相減(除)或整體代換的方法求其通項公式.

【變式】若數列{an}滿足a1=3,a1+2a2+3a3+…+nan=2n+1，求{an}的通項公式.

四、取倒數法

【點評】若條件遞推關系式是以分式形式給出的，一般采用取倒數的方法求其通項公式.

【變式1】已知數列{an}滿足3anan+1=an-an+1且a1=2，求數列{an}的通項公式.

五、轉化法

【例7】已知數列{an}滿足a1=3,an+1=2an+1，求數列{an}的通項公式.

所以數列{an+1}是以a1+1=4為首項,2為公比的等比數列，所以an+1=4·2n-1=2n+1，

所以數列{an}的通項公式為an=2n+1-1(n∈N*).

所以數列{an}的通項公式為an=2n+1-1(n∈N*).

【另解】由an+1=2an+1,得an=2an-1+1(n≥2),兩式相減得an+1-an=2(an-an-1)(n≥2)，

所以an-an-1=4·2n-2=2n.

所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=3+22+23+…+2n=2n+1-1.

故數列{an}的通項公式為an=2n+1-1(n∈N*).

【變式1】已知數列{an}滿足a1=5,an+1=2an+3n，求數列{an}的通項公式.

【變式2】設數列{an}滿足a1=4,an=3an-1+2n-1(n≥2)，求數列{an}的通項公式.

【分析】設an+An+B=3[an-1+A(n-1)+B]，則an=3an-1+2An-3A+2B.

所以2A=2,-3A+2B=-1，解得A=B=1.則an+n+1=3[an-1+(n-1)+1].

所以an+n+1=6·3n-1=2·3n，則an=2·3n-n-1，

所以數列{an}的通項公式為an=2·3n-n-1(n∈N*).

【點評】遞推式為an+1=pan+an+b(p為常數)，變為an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)，則{an+xn+y}為等比數列，采用待定系數法變形.

六、乘方、開方法

【點評】如果條件遞推關系式中含有根式，一般要進行乘方與開方.

若an=an-1+2，即an-an-1=2，則{an}為等差數列，求得an=2n.

若an=-(an-1+2)，即an+1=-(an-1+1)，則{an+1}為等比數列，求得an=3·(-1)n-1-1，綜上，所求an=2n或an=3·(-1)n-1-1.

七、取對數法

所以數列{log3an-2}是以log3a1-2=-2為首項,-2為公比的等比數列,

所以log3an-2=(-2)·(-2)n-1=(-2)n，即log3an=(-2)n+2.

所以數列{an}的通項公式為an=32+(-2)n(n∈N*).

【點評】如果條件遞推關系式的兩邊是積、商、冪的形式，一般對等式兩邊取對數.

八、遞推法

【例10】已知數列{an}的首項a1=1，且滿足an+1=3an+1，求數列{an}的通項公式.

【點評】通過多次使用條件遞推關系式就可以把an和a1的關系求出來，然后求出通項公式，也可以采用累加法或待定系數法求其通項公式.