一道橢圓競賽題的探究與拓展

甘肅

一、問題提出

歷年高考真題和全國各地的競賽試題都是命題專家集體智慧的結(jié)晶.筆者發(fā)現(xiàn),一些競賽題與高考真題之間有著千絲萬縷的聯(lián)系,例如,本文中將要探究的這類橢圓有關(guān)的問題在近年高考與競賽中多次出現(xiàn).本文以2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽第12題為例,對圓錐曲線一類頂點弦問題進行探究與拓展,希望能起到拋磚引玉的作用.

(1)求橢圓C的方程；

二、試題解法

點評:此方法先設(shè)出點T的坐標,然后把直線A1T和A2T的方程分別與橢圓的方程聯(lián)立,表示出A,B兩點的坐標,再由A,B,F三點共線求得t=8.此法是處理圓錐曲線頂點弦問題的常規(guī)方法.

點評:此法通過巧妙地計算t+4-3(t-4),從而達到化簡后能夠利用韋達定理的目的.

三、試題拓展

經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn),由題目可以引出橢圓和雙曲線中的一個優(yōu)美結(jié)論:

點評:當直線l過橢圓(或雙曲線)的左(或右)焦點時,點T在橢圓(或雙曲線)的左(或右)準線上.

還可以得到命題1和命題2的推論:

如果把拋物線的另一個頂點看做“無窮遠點”,那么過拋物線上的點B和另一個頂點的直線即為過點B平行于拋物線對稱軸的直線,因此有下面的命題3:

命題3:已知O為拋物線C:y2=2px(p>0)的頂點,過點(t,0)(t>0)的直線l交C于A,B兩點,直線OA與過點B與x軸平行的直線相交于點T,則T在定直線x=-t上.

點評:當直線l過拋物線的焦點時,點T在拋物線的準線上.

還可以由命題3衍生出兩個推論:

推論1:已知O為拋物線C:y2=2px(p>0)的頂點,過點(t,0)(t>0)的直線l交C于A,B兩點,過點B與x軸平行的直線與直線x=-t相交于點T,則直線AT經(jīng)過點O.

推論2:已知O為拋物線C:y2=2px(p>0)的頂點,過點(t,0)(t>0)的直線l交C于A,B兩點,直線OA與直線x=-t相交于點T,則直線BT平行于拋物線的對稱軸.

其中推論2是對人教A版選修2-1中第50頁例5的直接推廣.

以上命題和推論的證明可參照本文題目中第(2)問的解法,限于篇幅不再贅述.

四、真題鏈接

與典例同類型的問題在高考題和競賽題中多次出現(xiàn):

(1)求E的方程；

(2)證明:直線CD過定點.

(1)設(shè)動點P滿足PF2-PB2=4,求點P的軌跡；

(3)設(shè)t=9,求證:直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關(guān)).

五、教學(xué)啟示