注重式子結構,探尋解答策略

甘肅

數學題解答思路的獲得主要來源于對題目中關鍵式子結構的精準理解,通過分析式子的結構特點、構成要素和取值變化趨勢等,制定可能的解答預案,進而分析解答.下面筆者就從不同角度理解式子結構,分析學生出錯原因,并給予一定的教學建議.

一、典例呈現

(1)討論函數f(x)的單調性;

題意分析:第2問屬于函數類不等式證明問題,可知題目類型常見,結構簡潔,含有對數式lnx和指數式ex.可以引導學生從常規思路構造函數解答,如果遇到問題可以從不等式變換角度進行思考,或者嘗試其他較為簡潔的方法.

解析:(1)解答略;

(2)解法1.常規證法

所以x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)單調遞增;x∈(x0,+∞),g′(x)<0,g(x)單調遞減.

故而lnx-ex+2<0,原式成立.

教學建議:對于試卷中出現的上述問題,筆者建議教師應適當調整教學方向,可從以下方面進行:

①教師引導學生全面、精細的對題目條件進行分析,把握題目中文字的含義,從學生的角度思考;

②重點介紹設而不求的方法,當方程有根但無法求解時,可以考慮設點,但對于根的范圍要盡量縮小,這樣便于后面計算;

③多問學生“為什么”,“你是怎么想到的”和“我怎么樣才可以想到”等問題,引導學生思維發展;

④幫助學生梳理總結,梳理目標是“下次遇到同類型的問題能迅速解答”.

解法2.構造函數,化繁為簡

所以x∈(0,1),h′(x)<0,h(x)單調遞減;x∈(1,+∞),h′(x)>0,h(x)單調遞增.

當x=1時,h(x)min=h(1)=e,即h(x)≥e,當且僅當x=1時,等號成立.

問題診斷:這種構造法對學生的思維要求比較高,需要對不等式的結構有一個明確的認識,從解答情況來看,應用這種解答思路的學生非常少,但是應用這種思路的學生基本都解答正確.出現的問題主要是對lnx+2

教學建議:從學生出現的問題來看,對于這種思維的培養,教師要在平時的教學中注意以下幾點:①引導學生多觀察,從表達式結構和形式入手,能夠看出表達式與其他式子的異同;②多總結,學生的學習有一個由生到熟的過程,在第一次遇到這種構造法時要引起足夠的重視,研究這種做法的思維過程、適用條件等,保證下次遇到同類型的題目可以迅速解答;③從思維的高度分析,不要糾結于具體的數值運算,要專注于形成簡潔的思維點,便于記憶,強調運用.

解法3.借助已知結論

現有結論ex≥x+1,當且僅當x=0時等號成立;x≥ln(x+1),當且僅當x=0時等號成立.

由于x≥ln(x+1),所以lnx≤x-1,即lnx+2≤x+1,當且僅當x=1時等號成立.

又由于ex≥x+1,所以lnx+2≤x+1≤ex,

由于兩個等號不能同時成立,故lnx+2

問題診斷:通過評閱試卷發現這種解法只有極少數學生用到,而且證明過程簡潔明了,說明考生的解答思路清晰,對不等式的理解準確,知識儲備豐富,思考方向比較靈活.考生能夠在短時間內選擇這種思路,說明考生的數學能力非常強.

教學建議:要使學生的思維能夠達到這種層次,需要教師自身對這種層次的知識應用有清晰的把握和豐富的實例儲備,在教學中主要嘗試新的思路和簡便解法,例如:

①在運用常規方法解答完成后,調整思維方向,師生共同探討此題的簡單解法,培養學生的創新思維能力;②多總結,對于某一類型的試題要濃縮成一個思維點,便于當下的記憶和今后的運用;③多積累,要對經典的思維方法及時整理,同時和之前的知識系統對比分析,剔除掉不太實用的思維,及時吸收好的方法,不斷自我完善,逐步提高.

【例2】已知函數f(x)=2mx2lnx-4x(m≠0),若函數f(x)有兩個零點,求實數m的取值范圍.

分析:零點問題的解決,首先需要轉化為對應的方程,通過研究方程形式獲得問題解決的突破口,從代數角度分析轉化為函數圖象問題,通過作出恰當的函數圖象來解決問題.

函數f(x)有兩個零點?方程2mx2lnx-4x=0有兩個根?方程2mx2lnx=4x有兩根.

故有x→0+時,p(x)→0.

由此可以作出p(x)的簡圖如圖:

問題診斷:這種解答思路就是要作出函數p(x)的圖象,在評閱試卷的過程中出現了以下問題:

①在確定函數邊界的時候用到了夾擊逼近的思想,這種思想需要構造恰當的函數進行計算,大部分學生想不到這種夾擊逼近的思想,無法構造恰當的函數;②表述不規范.經過教師的講解之后再讓學生表述解答,出現了學生表述隨意的問題,不能準確書寫解答過程.

教學建議:要培養學生良好的構造素養,需要教師從以下方面做出調整:

①引導學生多觀察表達式結構,明確表達式的取值變化特點,嘗試構造函數進行解答;②多體會解題過程中的數學思想,這種數學思想會潛移默化地影響學生的思考方向,比如此題的數形結合思想就是解答的關鍵.

由此可以確定函數p(x)的圖象.

問題診斷:這種方法的解答思路與解法1基本一致,只是在處理函數圖象的時候用到了洛必達法則,學生由于對洛必達法則不太熟悉,所以首先在思路上難以想到洛必達法則,其次是洛必達法則的使用范圍不太清楚.

教學建議:洛必達法則是大學的學習內容,學生在理解上可能有一定難度,教師可以對學有余力的學生進行指導,嘗試用這種方法解決問題.教學的基本思路是延伸講解洛必達法則的推導過程和應用特點.

解法3.方程2mx2lnx=4x有兩根,顯然x=1并不是方程的根.

由此需作出函數h(x)的圖象,由于構造函數逼近求極限比較煩瑣,下面利用洛必達法則來研究函數值在x=0和x=1附近的變化趨勢.

據此h(x)有一條漸近線為x=1,可得函數簡圖如圖,故m的取值范圍是(-∞,-2e).

問題診斷:解答思路常規,入手容易,但是完整解答比較困難.主要按照分離參數法進行探究,在繪制函數圖象的時候用到了洛必達法則求函數極限,在函數圖象中出現了漸近線.大部分學生在繪制圖象的過程中忽略了漸近線,導致無法繪制準確的函數圖象.

教學建議:在具體教學過程中,教師要引導學生分析函數數值變化特點,由單調性探索圖象的各種可能性,逐漸引導學生考慮漸近線的存在.特別需要強調的是,當出現分式函數或定義域間斷的情況時,一定要考慮漸近線的存在.

小結:此題的三種思路都是源于對方程的變形處理,從方程2mx2lnx-4x=0有兩個根出發,調整等號兩邊的表達式,從而獲得不同的解答思路.從代數層面轉化到幾何層面進行分析思考.洛必達法則輔助函數圖象的構造,漸近線的出現豐富了此道習題的解答思路,建議教師嘗試引導能力較強的同學研究洛必達法則的應用,達到分層教學的目的.

二、總結與展望