基于整體回歸教材 提升高考復習效率
——以一道教材向量習題的探究拓展與應用為例

廣東

高中數學教材是高中數學教師教學和學生學習數學知識的藍本,教材中章節后面的習題都是經過教材編寫者深思熟慮精挑細選的,是課本中例題的補充與延伸,具有很高的教學價值,很多試題甚至高考題的源頭都是課本.因此作為數學教師,不僅在新課教學過程中要重視教材,而且在高三一輪復習過程中,也要基于整體把握去研究課本及課本后面的習題,注重深入挖掘習題的實用價值與導向作用,注重對習題的結論進行有效地拓展與延伸.進而拓寬學生的知識面,提升學生的數學思維與解題能力.筆者在復習完平面向量數量積內容后,對教材后面的一道B組習題進行了深入挖掘,將習題的結論進行了有效拓展,拓展后的結論與解三角形的知識進行了深度的融合,為一類難題的解答提供了可行的思考切入點.

一、教材后習題及其探究

人教A版高中數學舊教材必修4第二章第4節課后習題B組中有一道探究性的題目,題目如下:

圖1 圖2

習題探究:過圓心C作CD⊥AB,交AB于點D,如圖2所示.

根據垂徑定理可知,D為AB的中點,依據數量積的定義:

此題在B組題中以探究的形式出現,很多老師認為此題的價值不是很大,主要是用來讓學生熟練數量積公式的.因此很多老師選擇不讓學生做,更不會引導學生探究拓展.使得學生錯失一個很好的學習提升的機會.在新課教學中要拓展延伸雖然有一定的難度,但是可以為后面解三角形的知識埋下伏筆.

二、結論的拓展

圖3 圖4

拓展結論:已知點O為△ABC的外心,以三角形三個頂點為起點的半徑所在的向量與以該頂點為起點的邊長所在向量的數量積等于該邊長平方的一半,即:

從證明過程來看,拓展結論與教材習題好像沒有什么變化,但是拓展結論涉及了三角形外接圓的半徑及其邊長的平方,而解三角形中的正弦定理涉及了三角形的外接圓半徑,余弦定理涉及了三角形邊長的平方等,因此拓展結論就可以將向量知識與解三角形的知識進行融合.筆者在教學過程中發現,相關的題目屢見不鮮,但是學生做的情況往往很不理想.究其原因主要是沒能從拓展結論著手,找到解題的突破口.

三、應用舉例

由前面的分析可以總結出,只要涉及三角形外接圓的半徑及三角形邊長所在向量知識的題目,就可以優先從拓展結論著手思考,找到解題的切入點.由于拓展結論涉及兩個知識的融合,因此這樣的題目不僅多,而且難度也不小.筆者僅以以下兩個典型例子,闡述遇到此類型題目時如何由拓展結論切入思考,進而順利解題.

即cosB+cosCcosA=msinC,

=sinA

分析:此題涉及到向量的知識、解三角形的知識及基本不等式的知識,題目難度比應用舉例一的還要大.不過題目條件當中涉及了三角形外接圓半徑與邊長所在的向量,雖然沒有共起點,但是可以通過向量的減法法則變成共起點向量的數量積,進而使用拓展結論找到解題的突破口.具體解答過程如下:

由拓展結論得到

化簡得3a2-4b2+c2=0,

由余弦定理及基本不等式知識得

四、結語