關于函數易錯題類型的分析與糾編

福建

數學中的易錯問題一直以來都是學生數學成績提高的“絆腳石”,如何解決這個“老大難”問題,決定學生高考的成敗.因此,教學中教師不僅要善于糾正錯誤,還要善于防止出現錯誤,及時反思、分析失誤、尋找產生錯誤的原因,才能在教學的過程中制定出相應的方案,有效地避開可能形成的失誤,達到糾編的效果.下面是筆者就函數這一章,解題時易錯原因進行歸納、糾編與各位讀者共享.

一、知識結構不全面導致的錯誤

學生在解答數學題時經常會出現“對而不全”這種情況,其實質是對所學知識掌握不夠全面、理解不夠深刻,所謂的“只見樹木不見森林”,正是如此.如學習函數時,函數的定義域、值域和對應法則是構成函數的基本要素,然而很多學生在解題時還是經常會把定義域或值域給忽略掉，從而導致解題的錯誤.

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A.(0,+∞) B.(-∞,0)

C.(2,+∞) D.(-∞,-2)

【錯因】利用復合函數單調性同增異減的特點求解復合函數單調性,忽略函數的定義域而導致選擇B這個錯誤的答案.

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A.(1,3) B.(0,1)

【例3】已知mx2+x+1=0有且只有一根在區間(0,1)內,求m的取值范圍.

【錯解】設f(x)=mx2+x+1，∵mx2+x+1=0有且只有一根在區間(0,1)內，

∴f(0)·f(1)<0得m<-2.

【錯因】對于一般f(x),若f(a)·f(b)<0,那么,函數y=f(x)在區間(a,b)上存在零點,誤認為存在零點,就是存在唯一的零點而導致解題錯誤.對于二次函數f(x),若f(a)·f(b)<0則在區間(a,b)上存在唯一的零點,一次函數有同樣的結論成立.但方程f(x)=0在區間(a,b)上有且只有一根時,不僅是f(a)·f(b)<0,也有可能f(a)·f(b)≤0，如二次函數圖象是下列這種情況時.由圖可知f(x)=0在區間(a,b)上有且只有一根,但是f(a)·f(b)≤0,

【正解】設f(x)=mx2+x+1,

(1)當m=0時方程的根為-1,不滿足條件.

(2)當m≠0，∵mx2+x+1=0有且只有一根在區間(0,1)內,又f(0)=1>0,

綜上所得,m<-2.

【糾編策略】對于以上類型造成的學生解答失誤,在講授新課時應加強學生對定義、概念的理解,設計相關問題,通過示錯、糾錯,讓學生體會為什么錯？錯在哪？親歷錯誤,進行體驗式學習,是一種好的預防方法.在學習時,教師可以利用“先入為主”這種思維方法,如學習零點存在定理之前,可先讓學生畫出滿足f(a)·f(b)<0的函數f(x)的圖象,收集、整理并展示,這樣在他們學習伊始就對可能出現、容易犯的錯誤,進行一個預防,“提前干預”對于這類易錯問題是一個很有效的辦法.

二、運算路徑不合理導致的錯誤

“會而不對”常常體現為“我會做,但卻因為計算不認真、時間不夠用等導致錯誤”.這也許是解題方法選擇的不合理,運算的路徑不科學導致計算量偏大而犯的失誤,方法的不合理也會導致解題思路錯綜復雜,降低解題效率.

∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以該函數既不是奇函數也不是偶函數.

【錯因】直接利用定義判斷函數的奇偶性,而忽略函數的定義域在對絕對值進行化簡時所起的作用,沒有先對函數進行化簡而直接用定義進行判斷,導致判斷錯誤.

∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),

∴該函數既不是奇函數也不是偶函數.

【錯因】對數運算公式不熟悉,或者說奇偶性的判別方法不靈活.定義f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),也可改為研究f(-x)+f(x)=0,f(-x)-f(x)=0是否成立.

即f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函數.

【糾編策略】對于由以上原因而造成的解題失誤,教學過程中教師應該有意識地、經常性地進行“一題多解”教學活動,提供給學生多樣化的解題思路,如在進行“函數的單調性”教學時,要讓學生不斷地體會利用定義判斷、導數法、圖象法、基本函數單調性判斷、復合函數法等多種常用的方法進行單調性的判斷,提供相應例題讓學生比較各種方案在解題中的優劣,最終讓學生能根據條件快速尋求對應的解題方案,有效避開繁雜的計算,減少解題中因計算而產生的失誤.

三、充要條件未理清導致的錯誤

對于某些問題,學生在解題時經常把“充分不必要條件”或“必要不充分條件”當作是“充要條件”來使用,而導致的錯誤.例如,在解決奇函數問題時,用f(0)=0(0在定義域內)來解題,殊不知,若0在定義域內,f(0)=0只是f(x)是奇函數的必要不充分條件而非充要條件,例如f(x)=x2,其滿足f(0)=0,但卻不是奇函數而是偶函數.再如函數f(x)在某個區間D上可導,則在此區間f′(x)>0是f(x)在此區間內為增函數的充分不必要條件,而f′(x)≥0且f′(x)在定義域內的任意子區間不恒為0才是可導函數f(x)在定義域內單調遞增的充要條件.

【例7】已知函數f(x)=ax3-x2+x在R上是增函數,求實數a的取值范圍.

【錯解】函數f(x)的導數f′(x)=3ax2-2x+1,且函數f(x)在R上是增函數,

【錯因】f′(x)>0,可得可導函數的單調遞增區間；反之,若函數f(x)在區間D上為增函數,則應f′(x)≥0在區間D上恒成立,學生在解題時往往理不清是否是充要關系,易漏等號.

【正解】函數f(x)的導數f′(x)=3ax2-2x+1,且函數f(x)在R上是增函數,

所以有f′(x)≥0在R上恒成立,

【例8】當m為何值時,x2+(m-2)x-m+5=0方程的兩根均大于2.

【糾編策略】對于由此類原因而導致的解題失誤,我們則更多地利用實例講解,通過解題后反思,利用特例進行檢驗、驗證,發現問題、糾正等方法,有效彌補學生解題時產生的錯誤.

四、知識相近審題難導致的錯誤

“似曾相識”是這類易錯題最基本的特征,學生在解決問題的過程中會遇到諸多“似曾相識”的問題,這些問題的實質都是所學過的一些知識內容的變式,總結起來有以下三種類型:(1)“形似質同”,利用某個概念或數學模型進行簡單的變形,達到考查的目的；(2)“形似質非”,命題者設計與某個概念或數學模型結構特征相似但卻不能用此模型加以解釋；(3)“形非質同”,命題者命題時不以原型或簡單的變形顯示,而需要通過整理轉化才能獲得原有模型.學生常常會不假思索地應用頭腦中已有的模型進行解題作答,因此也常常會陷入考查陷阱導致失誤.

【例10】已知曲線f(x)=2x3-3x,過點M(0,32)作曲線f(x)的切線,求切線方程.

【錯解】由導數的幾何意義知k=f′(0)=-3,所以曲線的切線方程為y=-3x+32.

【錯因】過某一點的切線,誤認為M(0,32)就是切點,忽視切點位置導致的錯誤.

解得x0=-2,所以切線方程為y=21x+32.

注意:導數的幾何意義是過曲線上該點的切線的斜率,應注意此點是否在曲線上.

【例11】函數f(x)=ax2+(a-3)x+1的減區間為[-1,+∞),則實數a=

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A.-3 B.(-∞,-3]

C.[-2,0] D.[-3,0]

【錯解】當a=0時,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上遞減,滿足條件.

解得-3≤a<0.綜上,a的取值范圍為[-3,0].答案D.

【錯因】對函數的單調區間和函數在某個區間單調這兩個知識點含混不清,誤把函數減區間等價于函數在某個區間遞減而導致解題錯誤.

【糾編策略】對于此類易錯題,學生要善于對模型進行識別,辨清應用模型的條件是否發生變化,教師在教學時要加強變式訓練,通過變式,實施對比,找出差異,讓學生體會“形似”并不一定“質同”,從而有效打破學生的思維定式,學會認真審題、注意識別知識的差異,辨清題目再進行解題,養成良好的思維習慣,有效糾正類似問題的解答錯誤.