基于“隱”圓背景下的一類平面向量模長問題

浙江

1.問題緣起

平面向量模長取值范圍問題是平面向量知識的一個重要考查方向.筆者發現這類問題常常會讓所求向量的終點落在一個定圓上,但問題表述的過程較為委婉,不會直白地指出這個圓的存在,給我們分析問題解決問題增加了難度.下面筆者就自己的解題感受,來談談如何把背后的“隱”圓找出來,進而窺視一下命題者命題時的想法.

2.平面幾何刻畫下的四類“隱”圓

在平面幾何中刻畫圓有四種方法:第一是到定點的距離等于定長的點的軌跡；第二是定線段所對的角為直角,那么直角頂點的軌跡為圓；第三是定線段所對的角為定值,其頂點的軌跡為一個圓,即圓周角和弦長確定,可以確定一個圓；第四是一個凸四邊形對角互補,可以產生四點共圓,這個凸四邊形可以確定一個圓.平面向量問題中的“隱”圓基本就是四種形式的向量表示,下面分別舉例加以說明.

2.1向量模長為定值下的“隱”圓

例題1:(2017年浙江省數學競賽)已知平面向量a,b,c，滿足|a|=1,|b|=2,|c|=3,0<λ<1,若b·c=0,則|a-λb-(1-λ)c|所有取不到的值的集合為________.

2.2向量垂直下的“隱”圓

例題2:(2018年4月杭州市高三二模第9題)記M的最大值和最小值分別為Mmax和Mmin,若平面向量a,b,c滿足|a|=|b|=a·b=c·(a+2b-2c)=2.則

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圖1

圖2

通過條件的代數變化,得到向量垂直的代數結構,確定C點的軌跡為圓,這個圓本質上就是一個直徑確定的圓.而我們需要做的是把問題中隱含的幾何關系解讀出來,那么結果就可以看出來了,下面我們再看一例.

例題3:(2019年1月紹興上虞高三期末考試填空壓軸題)向量a,b,c滿足|a|=|b|=|a-b|=c·(2a+b-c)=1,求|c-a|的取值范圍為________.

命題者的思維過程無非就是把這個幾何結構用向量的代數關系式進行表示,并進行了一定的偽裝.

當然我們也可用運算的方式來刻畫阿波羅尼斯圓,由條件得|b|2=|2b-3e|2,化簡得b2-4b·e+3e2=0,所以(b-e)·(b-3e)=0.

事實上和阿波羅尼斯圓相關的向量代數結構,都可以轉化成這樣的形式.如果把這個問題中的b2-4b·e+3e2=0寫成b2-4b·e+3=0后,就變成了浙江省2018年高考的第9題:

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由例題4分析我們知答案為A.

2.3定弦對定角下的“隱”圓

回歸到初中的幾何知識同弧(弦)所對的圓周角相等.

2.4四點共圓下的“隱”圓

例題6:(浙江省2019學年第一學期五校聯考16題)已知向量a,b,c,其中|a-b|=2,|a-c|=1,b,c的夾角為60°,(a-b)(a-c)=-1,則|a|的最大值為________.

利用四點共圓,結合三角形正(余)弦定理,讓我們可以通過簡單的計算便可以獲得最終的結果,真所謂數形結合百般好.

3.寫在最后

事實上“隱”圓是命題者構造問題的幾何背景,命題的過程是將這個圓的幾何特征用代數的語言來進行描述.對于解題者來說,根據向量的代數關系通過建系用解析法來處理固然可以,但此時重在向量的計算能力的考查.

但如果解題過程中強調數學幾何結構背景分析,可以發現以上四類問題共同的“源”是“隱”圓,無非是借助了圓本身蘊含的幾種不同的幾何性質.解題教學的過程中要借助直覺思維和邏輯推理達成解題者對數學的整體理解,進而實現對數學本質的認識,追求結構體系的至精至簡.