連乘積函數求導法則的探究及應用

陜西

對于兩個以上函數的連乘積導數問題,通常都是轉化為兩個函數之積的形式按照積的導數法則求導,或者展開化為多項式函數再求導,這兩種思路學生很容易想到,但有時計算量較大,且容易出錯.由此引發我們進一步思考:是否有更具操作性的解決連乘積函數求導的法則？于是,筆者在學習了復合函數求導法則后,又引導學生對兩個函數之積的求導法則進行了再探究,試圖探尋得到兩個以上連乘積函數的求導法則,并結合實例進行了應用體驗,取得較好效果.

1.兩個函數積的求導法則再探究

普通高中課程標準實驗教科書《數學(選修2-2)》(以下簡稱教材)通過特殊探路、合情推理得到了兩個函數積的求導法則.

法則1:若兩個函數f(x)和g(x)的導數分別是f′(x)和g′(x),則有

[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).

由于知識所限和教材編排等原因，教材中并沒有相應的證明,而是讓學生思考能否用導數定義證明法則1.學習了復合函數求導法則后,筆者及時組織學生對兩個函數積的求導法則進行了再探究,小組代表向全班交流了思考研討結果,引起了大家的強烈共鳴.

證明1:設y=f(x)g(x),則由導數定義可得,

=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).

在學生思考分享中,能看出配湊導數定義的變形恰當絕妙,但是還有個別學生對某些細節及求極限的法則不是很理解,為此,我們引導學生走出導數定義的束縛,嘗試用教材現有知識加以論證.

所以由復合函數求導法則可得

證明3:不妨設f(x)>0,g(x)>0,則對y=f(x)g(x)取自然對數得lny=lnf(x)+lng(x),

由復合函數求導法則可得

兩邊同乘f(x)g(x)得[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).

評析:證法1依賴于導數定義,證法2、證法3完全依賴于復合函數求導法則.教材雖然是按照先導數的四則運算法則后復合函數求導法則編排,但是借助復合函數求導法則對兩個函數積的求導法則的再探究,對加強學生對導數定義、復合函數求導法則的理解和應用大有裨益.

2.兩個函數積的求導法則再聯想

聯想1:觀察兩個函數積的求導法則結構特點,能否猜測出三個函數積的求導法則？大部分學生認同如下結果.

法則2:若三個函數f(x),g(x)和h(x)的導數分別是f′(x)、g′(x)和h′(x),

則有[f(x)g(x)h(x)]′=f′(x)g(x)h(x)+f(x)g′(x)·h(x)+f(x)g(x)h′(x).

證明1:因為f(x)g(x)h(x)=f(x)[g(x)h(x)],

所以由法則1可得,

[f(x)g(x)h(x)]′={f(x)[g(x)h(x)]}′

=f′(x)[g(x)h(x)]+f(x)[g′(x)h(x)+g(x)h′(x)]

=f′(x)g(x)h(x)+f(x)g′(x)h(x)+f(x)g(x)h′(x).

證明2:不妨設f(x)>0,g(x)>0,h(x)>0,則對y=f(x)g(x)h(x)取自然對數得,

lny=lnf(x)+lng(x)+lnh(x),

由復合函數求導法則可得,

兩邊同乘f(x)g(x)h(x)得,

[f(x)g(x)h(x)]′=f′(x)g(x)h(x)+f(x)g′(x)h(x)+f(x)g(x)h′(x).

評析:由兩個函數積的求導法則引導學生再聯想,感悟其中的合情推理、化歸轉化等思想方法,深刻認識了三個函數積的求導法則.

聯想2:能否將法則2推廣到更一般的情形呢？我們引導學生大膽猜想得到如下推論.

證明:(1)當n=2時,結論成立；

所以當n=k+1時結論也成立.

由(1)(2)可知,對任意的n∈N*結論都成立.

評析:在三個函數積求導法則探究的基礎上,引導學生產生更深入的聯想,感悟其中的合情推理、數學歸納等思想方法,讓學生深刻認識多個函數積的求導法則,拓寬了學生的視野,有利于提高學生的數學素養.

3.多個函數積的求導法則例析

有了對多個函數積的求導法則的探究,我們及時引導學生在一題多解的練習中進行算法對比,從算法化的高度認識多個函數積的求導法則,減少以往將多個函數積的問題按條件合理組合,轉化為兩個函數積的求導問題而導致的煩瑣和失誤.

例1.求下列函數的導數.

對教材的這三個問題進行不同的處理,(1)引導學生利用轉化法和直接法進行如下對比:

(2)(3)引導學生利用直接法求導,進一步體會其優越性.

在分組交流環節中,有同學提出(2)也可以先化簡再求導,這樣運算更簡單.

評析:通過分組練習,學生基本熟悉了多個函數積的求導方法,經過討論也認識到求導之前的化簡十分必要.第(3)題留作學生課后練習.

解析1:由法則3可得fn′(-i)=(-i+1)(-i+2)·(-i+3)…[-i+(i-1)][-i+(i+1)]…(-i+n),

從而f100′(-2)=-1×1×2×3×…×98,

又f100(0)=100!,

解析2:令gn(x)=(x+1)(x+3)…(x+n),則f100(x)=(x+2)gn(x),從而有

f100′(x)=gn(x)+(x+2)gn′(x),

所以f100′(-2)=g(-2)=-1×1×2×3×…×98,

又f100(0)=100!,

評析:此題屬一次因式連乘積函數,可直接用法則3求導再求值,也可根據一次因式的數據特征轉化為兩個函數積的形式求導,從而引導學生理解法則3的本質.

之后,我們用變式練習對學生掌握情況進行了限時檢測,正確率達98%以上,解答中方法多樣,直接使用連乘積函數求導法則的較多,還有根據問題特點設置輔助函數轉化為兩個函數積的形式,達到了簡化運算的目的,顯現出了對連乘積函數求導問題的靈活處理.

變式:(1)已知函數f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),求f′(0).

(2)設f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),求f′(0).

解析:(1)f′(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]′,所以f′(0)=-120.

(2)令g(x)=(x+1)(x+2)…(x+n),則f(x)=xg(x),f′(x)=g(x)+xg′(x),所以f′(0)=g(0)=n!.

例3.已知f(x)=(x2-3x+2)(x2+ax+b),若y=f(x+3)是偶函數,且函數y=f(x)+m有4個零點,試求m的取值范圍.

解析1:由題意可知,x=1,x=2是f(x)的兩個零點,且f(x)圖象關于x=3對稱,所以x=5,x=4也是f(x)的兩個零點,從而有

f(x)=(x-1)(x-5)(x-2)(x-4)

=[(x-3)2-4][(x-3)2-1]

=(x-3)4-5(x-3)2+4,

f′(x)=4(x-3)3-10(x-3)=2(x-3)[2(x-3)2-5],

解析2:由題意可知,x=1,x=2是f(x)的兩個零點,且f(x)的圖象關于x=3對稱,所以x=5,x=4也是f(x)的兩個零點,從而有f(x)=(x-1)(x-2)(x-4)(x-5),由法則3可得,

f′(x)=(x-2)(x-4)(x-5)+(x-1)(x-4)(x-5)+(x-1)(x-2)(x-5)+(x-1)(x-2)(x-4)

=(2x-6)(x-1)(x-5)+(2x-6)(x-2)(x-4)

=2(x-3)[2(x-3)2-5].

解析3:由題意可知,x=1,x=2是f(x)的兩個零點,且f(x)的圖象關于x=3對稱,所以x=5,x=4也是f(x)的兩個零點,從而有

f(x)=(x-1)(x-5)(x-2)(x-4)=[(x-3)2-4]·[(x-3)2-1]=(x-3)4-5(x-3)2+4,

令(x-3)2=t(t≥0),則由題意可知t2-5t+4+m=0有兩個正實根,

評析:要求得m的范圍,就要搞清楚f(x)的變化趁勢和極(最)值,然后考慮以形助數解決問題.其中的關鍵是一次因式連乘積函數求導,可直接用法則3求導,這是基于算法化理念的認知規律的應用.當然,也可根據一次因式的數據特征轉化為兩個函數積的形式f(x)=[(x-1)(x-5)]·[(x-2)(x-4)],再根據兩個函數積的求導法則求導,這是基于教材知識靈活應用的通法.比較而言,解析2明顯好于解析1,而解析3通過換元將問題直接轉化為一元二次方程區間根問題,其充要條件也易于求得,避免了連乘積的高次函數求導之憂.可見,多角度審視數學問題,引導學生深刻領悟本題所蘊涵的函數與方程、數形結合、化歸與轉化等思想方法,不僅有利于提升學生核心素養,而且有利于發揮數學問題的教育價值.

事實上,從算法化理念看,連乘積函數求導問題可轉化為兩個函數積的求導問題,然后多次使用兩個函數積的求導法則不難使問題獲解,這種算法基于教材,學生易于接受,體現了化歸與轉化的思想方法.同一問題可能會有不同的算法設計,自然會有優劣之分和繁簡之別,因此,探尋多個函數連乘積的求導法則,是基于讓算法思想統領數學學習全程的自然需求,也是算法優化的具體步驟.