圓錐曲線綜合題的解答思路與方法分類例說

山東

圓錐曲線的綜合問題主要包括:圓錐曲線中的定點、定值、最值、參數問題和探索性問題,它是解析法的應用,數形結合思想方法的良好體現.圓錐曲線與圓錐曲線的位置關系、圓錐曲線知識的縱向聯系、圓錐曲線與三角、函數與方程、不等式、數列、平面向量等知識的橫向聯系也是圓錐曲線的綜合問題的重點內容.解決此類問題的分析思想與方法是可循的,重要的是要善于掌握圓錐曲線知識間的橫向與縱向聯系,解答這部分試題,需要較強的代數運算能力和圖形認識能力,要能準確地進行數與形的語言轉換和運算、推理轉換,并在運算過程中注意思維的嚴密性,以保證結果的完整.解決圓錐曲線綜合題,關鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質,注意挖掘知識的內在聯系與規律.

題型一、圓錐曲線中的定點問題

圓錐曲線中的定點問題往往與圓錐曲線中的“常數”有關,如橢圓的長、短軸,雙曲線的虛、實軸,拋物線的焦參數等.解答這類題要大膽設參,推理運算,到最后參數必清.

(1)求E的方程；

(2)證明:直線CD過定點.

解:(1)依據題意作出如下圖象:

總結提升:

圓錐曲線中定點問題的兩種解法:

1.引進參數法:引進動點的坐標或系數為參數,用參數表示變化量,再研究變化量與參數何時沒有關系,找到定點.

2.特殊到一般法:根據動點或動線的特殊情況探索出定點,再證明該定點與變量無關.

題型二、圓錐曲線中的定值問題

圓錐曲線中的定值問題往往與圓錐曲線中的“常數”有關.定值問題的求解與證明類似,在求定值之前,已經知道定值的結果(題中未告知,可用特殊值探路求之),解答這類題要大膽設參,運算推理,到最后參數必清,定值顯現.

(1)求C的方程:

(2)點M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點Q,使得|DQ|為定值.

分析:(1)由題意得到關于a,b,c的方程組,求解方程組即可確定橢圓方程.

(2)設出點M,N的坐標,在直線斜率存在時設方程為y=kx+m,聯立直線方程與橢圓方程,根據已知條件,得到m,k的關系,進而得直線MN恒過定點,在直線斜率不存在時要單獨驗證,然后結合直角三角形的性質即可確定滿足題意的點Q的位置.

(2)設點M(x1,y1),N(x2,y2).

當直線MN的斜率存在時,設方程為y=kx+m,如圖.

將直線MN的方程代入橢圓方程消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0,

將y1=kx1+m,y2=kx2+m代入①整理可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.

整理化簡得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0,

因為A(2,1)不在直線MN上,所以2k+m-1≠0,

所以2k+3m+1=0,k≠1,

當直線MN的斜率不存在時,可得N(x1,-y1),如圖.

總結提升:

1.圓錐曲線中定值問題的常見類型及解題策略:

(1)代數式為定值:依題意設條件,得出與代數式參數有關的等式,代入代數式,化簡即可得出定值;

(2)點到直線的距離為定值:利用點到直線的距離公式得出距離的關系式,再利用題設條件化簡、變形求得;

(3)求得某線段長度為定值:利用長度公式求得關系式,再依據條件對關系式進行化簡、變形即可求得.

2.兩種解題思路

(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關；

(2)引進變量法:其解題流程為:

題型三、圓錐曲線中的最值與范圍問題

(2)若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點,求p的最大值.

分析:(1)將p代入方程求得拋物線方程即可得到焦點坐標；

(2)設點A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),l:x=λy+m,

所以y1+y0=2pλ,

所以x1+x0=λy1+m+λy0+m=2pλ2+2m,

總結提升:

1.處理圓錐曲線最值問題的求解方法

圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法:一是利用幾何法,即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是利用代數法,即把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個(些)參數的函數(解析式),然后利用函數方法、不等式方法等進行求解.

2.解決圓錐曲線中的取值范圍問題應考慮的五個方面:

(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系,從而確定參數的取值范圍;

(2)利用已知參數的范圍,求新參數的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系;

(3)利用隱含的不等關系建立不等式,從而求出參數的取值范圍;

(4)利用已知的不等關系構造不等式,從而求出參數的取值范圍;

(5)利用求函數值域的方法將待求量表示為其他變量的函數,求其值域,從而確定參數的取值范圍.

題型四、圓錐曲線中的探索性問題

【例4】(2019·全國卷Ⅰ文·21)已知點A,B關于坐標原點O對稱,│AB│=4,⊙M過點A,B且與直線x+2=0相切.

(1)若A在直線x+y=0上,求⊙M的半徑;

(2)是否存在定點P,使得當A運動時,│MA│-│MP│為定值?并說明理由.

解:(1)因為A在直線x+y=0上所以設A(t,-t),則B(-t,t)，

因為⊙M過點A,B，所以圓心M必在直線y=x上，

設M(a,a),圓的半徑為r，

因為⊙M與x+2=0相切，所以r=|a+2|；

當a=0時,r=2；當a=4時,r=6，

所以⊙M的半徑為2或6.

(2)存在定點P(1,0),使得|MA|-|MP|=1,說明如下:

因為A,B關于原點對稱且|AB|=4，

所以直線AB為必過原點O的直線,且|OA|=2；

①當直線AB斜率存在時,設AB的方程為y=kx，

設M(-km,m),⊙M的半徑為r，

因為⊙M與x+2=0相切，所以r=|-km+2|；

整理可得m2=-4km，

即M點軌跡方程為y2=4x,準線方程為x=-1,焦點F(1,0).

因為|MA|=r,即拋物線上點到x=-2的距離，所以|MA|=|MF|+1，

所以|MA|-|MF|=1，

所以當P與F重合,即P點坐標為(1,0)時,|MA|-|MP|=1；

②當直線AB斜率不存在時,則直線AB方程為x=0，

所以M在x軸上,設M(n,0)，

若P(1,0),則|MA|-|MP|=2-1=1;

綜上所述,存在定點P(1,0),使得|MA|-|MP|為定值.

總結提升:

解析幾何中存在性問題的求解方法:

1.通常采用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化,其步驟為:假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數)存在,用待定系數法設出,列出關于特定參數的方程組,若方程組有實數解,則元素(點、直線、曲線或參數)存在,否則(點、直線、曲線或參數)不存在;

2.反證法與驗證法也是求解存在性問題的常用方法.

題型五、直線、圓及圓錐曲線的交匯問題

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)求點E的坐標.

分析:(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；

(2)解法一:由題意首先確定直線AF1的方程,聯立直線與圓的方程,確定點B的坐標,聯立直線BF2與橢圓的方程即可確定點E的坐標；

解法二:由題意利用幾何關系確定點E的縱坐標,然后代入橢圓方程可得點E的坐標.

解:(1)設橢圓C的焦距為2c.

因為F1(-1,0),F2(1,0),所以|F1F2|=2,c=1.

因此2a=|DF1|+|DF2|=4,從而a=2.

因為AF2⊥x軸,所以點A的橫坐標為1.

將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16,

解得y=±4.

因為點A在x軸上方,所以A(1,4).

又F1(-1,0),所以直線AF1:y=2x+2.

又因為E是線段BF2與橢圓的交點,所以x=-1.

如圖,連結EF1.

因為|BF2|=2a,|EF1|+|EF2|=2a,所以|EF1|=|EB|,從而∠BF1E=∠B.

因為|F2A|=|F2B|,所以∠A=∠B,

所以∠A=∠BF1E,從而EF1∥F2A.

因為AF2⊥x軸,所以EF1⊥x軸.

總結提升:直線、圓及圓錐曲線的交匯問題,要認真審題,學會將問題拆分成基本問題,然后綜合利用數形結合思想、化歸與轉化思想等思想來解決問題,這樣可以漸漸增強解決綜合問題的能力.

題型六、軌跡問題

(1)求點P的軌跡方程；

又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.

又過點P存在唯一直線垂直于OQ,

所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.

總結提升:

求軌跡方程的常用方法:

(1)直接法:直接利用條件建立x,y之間的關系F(x,y)=0;

(2)待定系數法:已知所求曲線的類型,求曲線方程;

(3)定義法:先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線,再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程;

(4)代入(相關點)法:動點P(x,y)依賴于另一動點Q(x0,y0)的變化而運動,常利用代入法求動點P(x,y)的軌跡方程.