培養(yǎng)深度思維 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)
——談思維教學(xué)案的設(shè)計和使用

山東

當前教育界廣泛關(guān)注深度學(xué)習(xí),與此相呼應(yīng)的是學(xué)生高階思維的培養(yǎng),教師的教學(xué)應(yīng)立足于深度思維的發(fā)生.“思維教學(xué)案”是指能夠激發(fā)學(xué)生深度思考,進行深度思維訓(xùn)練,促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的教學(xué)案.深度思維是什么樣子的？一是要有較長的邏輯鏈.越長的邏輯鏈就能體現(xiàn)出越是深刻的邏輯思維,推理和論證越是嚴謹；二是系統(tǒng)性思維.把自己置身于問題情景當中,與系統(tǒng)共生,找到問題之間的關(guān)聯(lián),不斷地發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律；三是發(fā)散性思維.能夠快速地進行頭腦風(fēng)暴,以獨特的視角看待問題,打破常規(guī),尋求問題解決的新思路.具有深度思維的學(xué)生在知識信息加工、概念的理解與運用等方面有著更深刻的見解,能夠主動建構(gòu)個人的知識體系,并且把所擁有的知識遷移到真實的情境中.

思維教學(xué)案的教學(xué)過程有兩條線,明線是必備知識線和關(guān)鍵能力線,暗線是思維線、情境線和素養(yǎng)線.明線是展示在教學(xué)案上的,教師和學(xué)生都能看到的真實的例題和習(xí)題.暗線則是需要教師對題目進行合理的組織和安排,激發(fā)和調(diào)動學(xué)生思考,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.深度思維的問題串設(shè)計

問題串即一串問題,或者說一系列的問題,這一系列的問題的導(dǎo)向是促進和提升學(xué)生對問題的理解和解決的能力.問題串設(shè)置合理,問題由難變易,知識形成的脈絡(luò)清晰,下面以均值定理的問題串教學(xué)為例進行說明.

案例1均值不等式新授課教學(xué).

這三個小題體現(xiàn)均值定理的“一正”,非常適合初學(xué)的同學(xué),快速地去思考和理解如果項是負的怎么辦.第(3)小題體現(xiàn)高階思維,將第(1)題和第(2)題融合,題目雖然簡單,但是滲透分類討論的思想,提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

(4)如果x>0,y>0,xy=1,求x+y的最小值；

(5)如果x>0,y>0,x+y=1,求xy的最大值；

(6)如果x+y=1,求xy的最值.

這三個小題能夠解決“和有最值,積為定值”和“積有定值,和為最值”的問題,即通常說的“二定”.第(6)小題x和y的取值范圍不加以限制,如何處理呢？體現(xiàn)出能力提升的高階思維,用到換元法,變量代換的思想,提升邏輯推理核心素養(yǎng).

新授課的教學(xué)問題串的設(shè)置到此結(jié)束即可,后續(xù)就是應(yīng)用,但是萬變不離其宗,即“一正、二定、三相等”,思維訓(xùn)練的重點在哪里呢？模型化的方法、配湊的技巧、換元的方法、整體的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等,這些都是問題串教學(xué)需要達到的思維訓(xùn)練水平.

設(shè)置問題串的目的是將原先的習(xí)題教學(xué)變得生動,可操作性增強,知識的歸納和梳理水平增強,使得學(xué)生透過現(xiàn)象看到問題的本質(zhì),教學(xué)案題目的訓(xùn)練過程就是循序漸進的知識積累的過程,題目不求多,但求務(wù)實,輔助適當?shù)姆答伨毩?xí)和課堂檢測,落實課堂教學(xué)的“四基”,突破課堂教學(xué)的重點和難點.

2.深度思維的習(xí)題變式

所謂“變式”,就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉(zhuǎn)化，即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征,變換問題中的條件或結(jié)論,轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式,配置實際應(yīng)用的各種環(huán)境,但應(yīng)保留好對象的本質(zhì)因素,從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性.

一道習(xí)題未必能使學(xué)生理解所學(xué)的知識,但是進行變式訓(xùn)練強化之后的知識會變得更加扎實.下面舉例說明如何從提升數(shù)學(xué)思維的角度進行變式.

角度1:相對概念

【例1】(1)如果函數(shù)y=loga(x2+ax+2)的定義域為R,求a的取值范圍.

(2)如果函數(shù)y=loga(x2+ax+2)的值域為R,求a的取值范圍.

解:(1)要使函數(shù)y=loga(x2+ax+2)的定義域為R,需要x2+ax+2>0恒成立.

(2)要使函數(shù)y=loga(x2+ax+2)的值域為R,

定義域和值域?qū)儆谙鄬Φ膬蓚€概念,處理問題的方法方式不同,當然它們相互制約.此題屬于典型的易錯題,加深學(xué)生對對數(shù)函數(shù)相關(guān)概念的理解,特別是對“為什么此函數(shù)的值域為R”的認識,同時增強分析問題和解決問題的能力.

角度2:平行概念

解:(1)方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0等價于x2-2x+m=0或x2-2x+n=0,

因為x2-2x+m=0與x2-2x+n=0的兩根之和均為2,

不妨設(shè)x2-2x+m=0的根為a1,a4,x2-2x+n=0的根為a2,a3,

(2)方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0等價于x2-mx+2=0或x2-nx+2=0,

因為x2-mx+2=0與x2-nx+2=0的兩根乘積均為2,

不妨設(shè)x2-mx+2=0的根為a1,a4,x2-nx+2=0的根為a2,a3,

所以a4=4,a2=1,a3=2,

可以把等差數(shù)列和等比數(shù)列的邏輯關(guān)系看成兩個平行概念,基于平行概念的變式能夠體現(xiàn)出概念之間的差異,同時可以比較出問題解決辦法的差異性,牢固地建立它們之間的聯(lián)系.

角度3:主元變換

【例3】(1)已知x∈[-1,1],不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,求a的取值范圍.

(2)已知a∈[-1,1],不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,則x的取值范圍.

解:(1)法1:討論對稱軸相對于區(qū)間的位置

分三種情況討論:

綜上所述,a<1.

法2:利用分離參數(shù)法

因為x2+(a-4)x+4-2a=a(x-2)+x2-4x+4>0恒成立,

而x-2∈[-3,-1],

所以a<1.

(2)記f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4)

則f(a)>0對于任意的a∈[-1,1]恒成立,

此時f(a)的圖象為直線,

解得x<1或x>3.

主元變換以函數(shù)類題目居多,如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的問題等.主元變換更加強調(diào)對變量和參數(shù)的認識,特別是由與主元變換引起的問題解決辦法的差異,甚至從審題的角度(看不清主元)都應(yīng)該引起學(xué)生的重視.

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)特別主張變式教學(xué),筆者認為變式教學(xué)包括“習(xí)題變式”和“方法變式”,前面我們提到的3個例題是對習(xí)題進行變式,對方法進行變式即一題多解,采用不同的方法解決同一道題目,甚至是不同章節(jié)的知識交匯解決問題.學(xué)生在教師的指導(dǎo)下養(yǎng)成“變式”的習(xí)慣之后,就會主動提出一些新的問題,或者形成獨特的問題解決思路,拓寬數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的視野.

3.深度思維的知識拓展

在教學(xué)案的最后,建議設(shè)置知識拓展欄目,豐富課堂教學(xué)的思維含量,增加知識的探究性和趣味性.一般來講,知識拓展是新知識的高階運用,并不是說僅僅把題目的難度增加就行了,而是讓知識的內(nèi)涵更加豐富,理解數(shù)學(xué),會用新知識解決新問題,變換視角來觀察和研究問題.

案例2高中數(shù)學(xué)我們研究了數(shù)量和向量,這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了實數(shù)形式的基本不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R),那么有沒有向量形式的基本不等式a2+b2≥2a·b？請同學(xué)們自主證明,并利用此結(jié)論嘗試解答下面的問題.

【例4】若平面向量a,b滿足:|2a-b|≤3,則a·b的最小值是________.

(1)結(jié)論的證明

證明:因為(a-b)2=|a-b|2≥0,所以a2+b2-2a·b≥0,所以a2+b2≥2a·b.

當且僅當a=b時等號成立.

相關(guān)變式:

①2(a2+b2)≥(a+b)2；

②a2+b2≥-2a·b；

③(a+b)2≥4a·b；

④(a-b)2≥-4a·b.

(2)結(jié)論的應(yīng)用

解:因為|2a-b|≤3,所以|2a-b|2≤9,因為|2a-b|2=(2a-b)2≥-8a·b,

平面到空間是一個拓展,數(shù)量到向量也是一個拓展,實數(shù)到復(fù)數(shù)還是一個拓展,我們把這些可拓展的知識體系建立起聯(lián)系,梳理它們的一致性和差異性,高階思維自然呈現(xiàn),數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到提升.

4.與新高考模式融合

2020是山東新高考元年,數(shù)學(xué)試卷最大的變化是出現(xiàn)多選題、“開放性”的解答題.其目的在于考查學(xué)生縝密的思維,嚴格的推理的能力,體現(xiàn)出較強的選拔功能,基于對學(xué)生的“素養(yǎng)”、“創(chuàng)新”等的考查.另外從全國各省市的高考試題看,邏輯題、信息題(新定義題)、“雙空”的填空題、數(shù)學(xué)文化題、數(shù)據(jù)分析題、舉例題等都應(yīng)該成為我們思維教學(xué)案的命題和選題類型.

類型1:數(shù)學(xué)文化題

(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·4)日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點A處的緯度為北緯40°,則晷針與點A處的水平面所成角為

()

A.20° B.40°

C.50° D.90°

答案：B.

(2020·全國卷Ⅰ理·3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個正四棱錐,以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為

()

答案:C.

(2020·全國卷Ⅱ理·4)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層,上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊,下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊,已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)

()

A.3 699塊 B.3 474塊

C.3 402塊 D.3 339塊

答案:C.

類型2:信息題(新定義題)

()

A.若n=1,則H(X)=0

B.若n=2,則H(X)隨著p1的增大而增大

D.若n=2m,隨機變量Y所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),則H(X)≤H(Y)

答案:AC.

()

A.11010… B.11011…

C.10001… D.11001…

答案:C.

類型3:多選題

(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·9)已知曲線C:mx2+ny2=1.

()

A.若m>n>0,則C是橢圓,其焦點在y軸上

D.若m=0,n>0,則C是兩條直線

答案:ACD.

類型4:“雙空”填空題

類型5:數(shù)據(jù)分析題

給出下列四個結(jié)論:

①在[t1,t2]這段時間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；

②在t2時刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；

③在t3時刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；

④甲企業(yè)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時間中,在[0,t1]的污水治理能力最強.

其中所有正確結(jié)論的序號是________.

答案:①②③.

類型6:開放性題目

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

在進行思維教學(xué)案設(shè)計時,我們要盡可能多的設(shè)置創(chuàng)新題型,強化日常教學(xué)與新高考之間的關(guān)聯(lián),多做題而不是重復(fù)訓(xùn)練,通過題目強化基礎(chǔ)知識的同時要注重提升數(shù)學(xué)能力,以提升學(xué)生的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為教學(xué)案編寫的立足點,以激發(fā)思考和調(diào)動思維為教學(xué)案編寫的基本原則.特別是要關(guān)注《中國高考評價體系》中“一核四層四翼”,“一核”是高考的核心功能,即“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”；“四層”是指核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵問題、必備知識；“四翼”是指基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用型、創(chuàng)新性.