改進的分數階微分算法在圖像增強中的應用

林雪華，陳雁冰

(1.福州職業技術學院阿里巴巴大數據學院,福建福州 350108， 2.福建技術師范學院電子與信息工程學院，福建福清 350300)

0 引言

圖像處理領域中，圖像增強是經常用到的一種處理，其目的是針對實際應用中的特定需求，對某些部位、特征進行突出顯示，或是提升整體的清晰度、改善圖像質量.常見的增強算法對同一幅圖像整體使用統一的濾波模板，并未充分考慮圖像中局部場景的差異化，因此容易造成處理后的圖像存在局部失真[1].而在有些應用場景中，圖像并非整體都需要被增強[2]，而只需要對某些區域細節或者特征要素進行選擇性的局部增強.

分數階微積分是近幾年的研究熱點，國內外學者投入大量精力進行研究并取得一定成果.康凱[3]為了去除椒鹽噪聲，引入分數階微積分，利用圖像的局部特征，對圖像的噪聲點、紋理和邊界等區域進行分割，并針對不同的像素點，計算信息熵和梯度函數，使得去噪的同時能較好的保持圖像邊界和紋理信息.DaliaYousri[4]等人引入分數階微積分算法來優化花粉傳粉算法FPA的局部搜索能力，并應用于圖像分割中.張涌，蒲亦非[5]等人，構造8個方向的分數階圖像增強模板，并證明分數階微分圖像增強方法比傳統方法具有更好的增強效果.

結合當前熱點算法以及圖像增強中存在的問題，對圖像中需要增強和不需要增強的區域可以引入圖像的局部標準差和粗糙度來界定，對需要增強的區域可單獨用對應的分數階微分算子來處理，而微分階次可根據圖像的局部梯度模值來構造，從而實現圖像增強在分數階微分不同階次的自適應.

1 改進的分數階微分的定義

大多數場景中，區域圖像的局部梯度模值越小，則說明該區域平滑的概率越大，需要增強的幅度就越小，對應增強的分數階微分階次也就應越小；相對的，若局部梯度模值越大，則表明該區域屬于邊緣紋理的概率越大，需要增強的幅度就越大，對應增強所用到的分數階微分階次也應越大[6].然而，除了處理中所關心的圖像邊緣外，噪聲點較多的區域也擁有較大的梯度模值，因此，需構建一種方法將噪聲和邊緣區分開來.大多數圖像中，圖像邊緣是光滑連續的，而噪聲點是隨機分布的，因此可以根據此規律，構建邊緣和噪聲判別函數，即公式(1).

(1)

其中，Iij表示中心像素點，neighbour(Iij)表示八鄰域像素，若該中心像素為噪聲，則兩者的梯度絕對值只差大于閾值T；當兩者的梯度絕對值小于或者等于閾值T時，則表示該中心像素點為圖像的邊緣.

圖像的像素點灰度值相對偏移度量用圖像粗糙度C表示；在紋理較豐富區域的C較大，在平滑區域的C較小[7]，如公式(2)所示，其中，σ為圖像局部方差.

(2)

圖像的分數階微分階次由局部梯度模值I、粗糙度f(C)以及熵H的變化，自適應地按一定的規律變化.根據局部梯度模值、粗糙度和熵三者的重要程度，設置加權系數k1、k2、k3，計算三者的加權求和，如公式(3).

f(|I|,C,H)=k1|I|+k2C+k3H
k1+k2+k3=1

(3)

綜上所述，基于分數階微分的改進函數具有指數函數的性質，在實數域內，當自變量增大時，函數的增強幅度也會隨之增大，即公式(4).

v=(-1)p(eαf|I|,C,H-β)

(4)

2 濾波器的構造

二維圖像信號f(x,y)在一定的條件下對于任一方向的分數階微分都是可分離的，分別對8個方向上的數字圖像進行分數階微分算子的濾波處理，將信號f(x,y)的持續期[a,t]按單位間隔h=1等分，如公式(5)所示.

(5)

根據G-L定義，在x軸方向和y軸方向的自適應分數階微分圖像增強算子的表達式，如公式(6)、公式(7)所示.

(6)

(7)

R為分數階微分值計算余項，即公式(8).

(8)

根據公式(7)和公式(8)寫出該增強算子W中的濾波系數為公式(9).

(9)

自適應分數階微分增強掩模算子W，如圖1所示.

圖1 改進的分數階微分圖像增強掩膜算子Fig.1 The Mask operator of image enhancement of improved fractional order differential

3 實驗結果及分析

3.1 實驗方法

選取大小為256×256的Camer圖像作為原始輸入圖像.實驗中，采用了直方圖均衡、Butterworth低通濾波，Laplace算子、Prewitt算子、3*3中值濾波、傳統的分數階微分和本文的自適應分數階微分對Camer圖像進行增強處理，圖像增強步驟如圖2所示.

圖2 改進的分數階微分圖像增強步驟Fig2 Image enhancement process of improved fractional order differential

各算法處理結果如圖3所示；其中，Butterworth低通濾波截止頻率為50 Hz，階數為1，傳統分數階微分算法為5×5模板，0.5階分數階微分算子處理的增強圖像.

圖3 不同算法的增強結果Fig.3 Enhancement results of different algorithms

3.2 圖像評價方法

圖像的增強可以通過直觀對比原始圖像和增強后圖像的直觀視覺效果來判斷增強后圖像的好壞，也可以通過圖像的殘差圖來判斷增強圖像的好壞.殘差圖是將增強后的圖像的像素灰度值與原始圖像的對應像素灰度值作差，可以更直觀的觀察算法對原始圖像的哪些位置進行增強，殘差圖如圖4所示.結合圖3和圖4 可以看出，直方圖均衡化擴展了像素取值的動態范圍，對整幅圖像都進行了增強，但是圖像背景較原圖失真較大.Butterworth低通濾波過濾了大于50Hz的高頻信息，使圖像的邊緣得到增強，但是出現明顯的振鈴效應.Laplace算子、Prewitt算子和3×3模板的中值濾波對圖像的邊緣信息增強幅度較大，但圖像細節出現模糊現象.傳統的分數階微分算法雖然能夠突出圖像的邊緣，對紋理信息保留也比較好，但對于人物的衣服邊緣、相機架等信息增強過大，亮度的分布很不均勻.改進的分數階微分圖像保留了圖像的低頻部分紋理信息，同時還較好的增強了圖像邊緣信息，圖像背景亮度得到較均勻提升.可以看出改進分數階微分算子對整幅圖像都有增強，并且不同的區域，增強強度不同.

圖4 不同算法的圖像增強殘差圖對比Fig.4 Comparison of image enhancement residual graph for different algorithms

除了對圖像直觀效果的評價，可以通過圖像熵H進行分析.圖像平滑區域的圖像熵H較小，而紋理豐富區域的圖像熵H較大.紋理較豐富區域的像素值相較于平滑區域的像素值變化較大,熵H的表達式如公式(10)所示.

(10)

其中，pij為圖像像素Iij出現的概率；n∈2k，k∈Z+.

在圖像增強過程中，若局部圖像的圖像熵H較大，則表示該區域邊緣或者紋理信息較豐富，該圖像具有較大的增強幅度；反之，熵H較小，則表示該區域包含的邊緣或者紋理信息較少，該圖像增強幅度較小.表1為增強圖像的熵值對比，可以看出后五種增強算法處理后的圖像熵值較原始圖像均有不同程度的提高，其中，傳統分數階微算子和本文改進算法熵值提升程度更大，邊緣和紋理信息更豐富.

表1 不同算法的對比Tab.1 Comparison of different algorithms

4 結論

本文針對傳統分數階微分算法在圖像增強中采用統一模板進行整幅圖像進行增強的特點，對分數階微分進行改進，引入圖像的區域特征局部標準差和粗糙度，進行自適應計算，得出不同區域的增強算子，從而實現圖像的自適應增強.該算法增強邊緣和紋理的同時，能夠更好的保留圖像的細節信息.通過與若干算法的增強效果對比，證明該算法具有優良的特性.