函數極限求解方法研究

譚暢

（吉林水利電力職業學院，吉林長春 130117）

極限是《高等數學》中的重要概念之一。極限思想是近代數學的重要思想，是《高等數學》的靈魂，貫徹《高等數學》始終。很多概念都是由極限來定義的，比如導數，定積分，反常積分等等。因此，理解極限思想和掌握求極限的方法是學習這門課程的基本要求。但函數極限問題類型比較多，求解方法也靈活多變，學生往往對極限這一問題感到束手無策。另外，我國現在開設《高等數學》課程的高校使用的教材普遍理論性比較強，并不適合學生自學，像極限這樣靈活多變的問題也沒有系統的歸納總結過，若教師上課是照本宣科式的教學模式，那學生對極限這樣的問題更是一頭霧水，當然思路混亂了。因此，鑒于這種現狀，筆者結合多年的教學經驗和實踐總結了求函數極限問題的一般思路，并且對函數極限問題進行了分類，給出了不同類型函數極限的求解方法。

對于一元函數求極限的題目，我們可以按照以下思路進行：

（1）先化簡（主要指利用無窮小等價代換）；

（2）利用極限四則運算法則，將自變量趨向的數值代入函數表達式計算，若能直接計算出數值，則該數值即為此函數的極限值；

（3）在過程2 中，若不能直接計算出結果，則一定會出現幾種特殊情況，判斷類型，找對應的求解方法。

1 化簡計算

如果題目可以找到合適的方法進行適當化簡，那將會起到事半功倍的效果，可以大大縮短做題時間，減輕計算量，這里主要指的是無窮小等價代換。在基本的無窮小等價代換公式的基礎上，我們更應該熟記這樣一類無窮小等價代換：

□→0 時：

□里面可以是單變量，也可以是一個表達式，只要□內的整體趨向于0，就可以進行無窮小等價代換。值得注意的是，無窮小等價代換只能用于乘法或者除法中，不能用于加法和減法中。

2 利用函數極限四則運算法則帶值計算

函數極限四則運算法則：

3 判斷類型，找對應方法

在上一步中，若利用函數四則運算法則不能直接得出結果，則一定會出現以下7 種特殊類型，我們稱之為“未定式”。在以下過程中，若在乘法或者除法中出現極限不為0 的因子，我們要先計算出來。

（3）“I”型

方法：①“湊e”（湊重要公式的推廣形式：

②“取e”（借助指數函數的性質：e=□）

（4）“0”型

（5）“∞”型

（6）“0·∞”型

（7）“∞-∞”型

方法：①通分化簡； ②倒代換。

在前面我們介紹過只有有限項和或者差并且每一項的極限都存在時才能使用極限的四則運算法則。若將有限項推廣到無限多項和或差的極限問題時，又產生兩種常見解題思路。

4 夾逼準則

如果函數f(x)，g(x)及h(x)滿足下列條件：

在采用夾逼準則求無窮項和的極限問題時要采取合適的方法，對原式進行適當的放縮，使原式恰好夾在極限值相等的兩個函數之間。尋找合適的放縮方法需要一定的經驗和技巧。若每項的分子或分母都相同時，通常可以尋找兩邊的最大值和最小值來建立不等式；若每項的分子和分母都呈一定規律變化時，也可以固定分子和分母之中的其中一個，通過放縮另外一項來建立不等式。總之，放縮無定法，還需在實踐中不斷探索和總結，才能找到便捷之路。

5 定積分思想

《高等數學》課程中關于極限的類型和求解方法有很多種，本文只對高等院校教學中常見的一些類型及其求解方法進行歸納總結，其他方法不再贅述。希望能帶給廣大師生一點思考和探索。當然，數學的學習是需要不斷思考和總結的，在不斷的思考和總結中探索出新的方法和技巧，體會數學的美與樂趣。