一種半球諧振陀螺振幅控制方法

李建朋，武志忠，劉吉利，付明睿，李 愷

（1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190）

半球諧振陀螺儀是一種具有高精度、長(zhǎng)壽命、高可靠性、天然抗輻射的新型固態(tài)振動(dòng)陀螺。迄今為止，半球諧振陀螺已參與小行星登陸、土星環(huán)繞、水星探測(cè)和深度撞擊等宇航空間探測(cè)項(xiàng)目，并表現(xiàn)出優(yōu)異的性能[1,2]。在美國(guó)，Northrop Grumman 公司的半球諧振陀螺儀已在超過(guò)200 顆航天器上成功應(yīng)用，在軌運(yùn)行時(shí)間超過(guò)5000 萬(wàn)小時(shí)，任務(wù)成功率100%。在歐洲，Safran 公司新研制的半球諧振陀螺(HRG CrystalTM)已向市場(chǎng)提供超過(guò)15000軸，應(yīng)用覆蓋陸海空天領(lǐng)域[3]，在空間應(yīng)用方面，也有超過(guò)100 軸的成功在軌應(yīng)用[4-6]。

半球諧振陀螺是一種通過(guò)哥氏效應(yīng)來(lái)獲取檢測(cè)對(duì)象旋轉(zhuǎn)角度或角速度信息的振動(dòng)陀螺[7]。在該類(lèi)陀螺中，敏感結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幅度控制是陀螺工作的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，也直接影響陀螺的性能指標(biāo)。針對(duì)半球諧振陀螺的振幅控制環(huán)節(jié)，文獻(xiàn)[8]建立了力平衡模式半球諧振陀螺儀振幅控制穩(wěn)態(tài)模型；文獻(xiàn)[9]提出了一種力平衡模式半球諧振陀螺儀振幅控制優(yōu)化方法。然而，上述文獻(xiàn)均未研究振幅控制環(huán)節(jié)中被控對(duì)象模型以及振幅控制啟動(dòng)等內(nèi)容。

本文針對(duì)半球諧振陀螺振幅控制回路設(shè)計(jì)問(wèn)題開(kāi)展研究。首先建立振幅控制回路設(shè)計(jì)中驅(qū)動(dòng)力與陀螺振動(dòng)幅度的傳遞函數(shù)，提出被控對(duì)象模型；其次針對(duì)陀螺如何起振的問(wèn)題，提出一種半球諧振陀螺的起振方法；然后基于上述的研究基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)一種半球諧振陀螺振幅控制回路方案，并對(duì)振幅控制閉環(huán)回路的傳遞函數(shù)模型進(jìn)行推導(dǎo)；最后采用數(shù)字器件對(duì)振幅控制回路進(jìn)行物理實(shí)現(xiàn)，并對(duì)實(shí)現(xiàn)效果進(jìn)行評(píng)估。

1 振幅控制理論分析

1.1 工作特性

半球諧振陀螺正常工作時(shí)，作為敏感結(jié)構(gòu)的諧振子處于四波幅振動(dòng)狀態(tài)，諧振子上的振型可以沿相距45 °的兩個(gè)電極軸（X 軸、Y 軸）進(jìn)行正交分解和合成。根據(jù)文獻(xiàn)[10]可知，半球諧振陀螺的數(shù)學(xué)模型可用式(1)表示：

假設(shè)激勵(lì)電極放置在X 軸上，X 軸為振幅控制軸（驅(qū)動(dòng)軸），分析X 軸的振動(dòng)特性。在忽略非理想因素的條件下不影響振動(dòng)特性，將式(1)中的X 軸動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)化表示為：

其中，Q為品質(zhì)因數(shù)，該參數(shù)一般大于107，ω為諧振頻率，該參數(shù)一般為5 kHz 左右。

分析式(3)的頻域特性（如圖1所示）可知，半球諧振陀螺正常工作時(shí)，陀螺是在諧振頻率點(diǎn)工作，而不是一個(gè)頻率范圍內(nèi)工作，如圖1 中工作點(diǎn)，該工作點(diǎn)的相位滯后90 °。基于半球諧振陀螺的“點(diǎn)”工作特性，陀螺要正常工作需要一種啟動(dòng)方法讓陀螺從靜止?fàn)顟B(tài)過(guò)渡到正常工作的諧振點(diǎn)上；本文第1.3 節(jié)將針對(duì)這個(gè)問(wèn)題提出一種半球諧振陀螺的啟動(dòng)方法。

此外，根據(jù)圖1 還可知，半球諧振陀螺驅(qū)動(dòng)軸的幅頻特性與帶通濾波器的特性一致，因此可將半球諧振陀螺驅(qū)動(dòng)軸頻域特性理解為選頻網(wǎng)絡(luò)，在振幅控制回路設(shè)計(jì)中可以利用該特性。

圖1 半球諧振陀螺驅(qū)動(dòng)軸幅頻特性示意圖Fig.1 Amplitude-frequency characteristic of driving axis for Hemispherical Resonator Gyro

在力平衡工作模式下，半球諧振陀螺振幅控制回路的作用是將X 軸（驅(qū)動(dòng)軸）維持在恒定幅值振動(dòng)。

假設(shè)X 軸的振動(dòng)方程為：

在力平衡工作模式下，0y=，同時(shí)忽略振型頻率差、離心力等因素，根據(jù)式(1)，可知陀螺輸出為：

陀螺的標(biāo)度因數(shù)為：

由式(6)可知，在力平衡工作模式下，驅(qū)動(dòng)軸的振動(dòng)幅度與陀螺標(biāo)度因數(shù)成正比關(guān)系，振動(dòng)幅度控制的穩(wěn)定性直接決定陀螺標(biāo)度因數(shù)的穩(wěn)定性，因此陀螺振幅控制的穩(wěn)定性是評(píng)價(jià)振幅控制回路設(shè)計(jì)優(yōu)劣的核心指標(biāo)。

1.2 控制對(duì)象模型

根據(jù)上節(jié)可知，半球諧振陀螺正常工作時(shí)，陀螺工作在諧振頻率點(diǎn)而非一個(gè)范圍，本節(jié)將推導(dǎo)驅(qū)動(dòng)力到陀螺振動(dòng)幅度的傳遞函數(shù)模型，為振幅控制回路的設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。

在不影響推導(dǎo)結(jié)果的前提下，暫不考慮頻差和阻尼不均勻性等非理想因素，假定驅(qū)動(dòng)力為：

其中，F(xiàn)為驅(qū)動(dòng)力幅度，為驅(qū)動(dòng)力頻率。

將式(7)代入式(3)，可得

求解微分方程(8)可得:

半球諧振陀螺正常工作時(shí)，頻率跟蹤回路將陀螺驅(qū)動(dòng)工作在諧振頻率點(diǎn)，振幅控制中信號(hào)處理采用“解調(diào)”模式，利用頻率跟蹤回路提供的參考信號(hào)對(duì)公式(9)進(jìn)行幅值解調(diào)，可得：

其中，

根據(jù)公式(7)假設(shè)條件和公式(10)可知，驅(qū)動(dòng)力與陀螺振動(dòng)幅度的幅頻和相頻特性為：

根據(jù)幅頻特性和相頻特性與系統(tǒng)模型的關(guān)聯(lián)性，可知驅(qū)動(dòng)力與陀螺振動(dòng)幅度的傳遞函數(shù)為：

1.3 掃頻起振方法

通常，振動(dòng)陀螺的起振方法有自激振蕩法、鎖相環(huán)法等方法[11]。本文針對(duì)半球諧振陀螺高品質(zhì)因數(shù)（Q值）的特性，提出一種基于高品質(zhì)因數(shù)值特性的掃頻起振方法。

半球諧振陀螺的敏感結(jié)構(gòu)諧振子采用高品質(zhì)因數(shù)的熔融石英材料加工而成，同時(shí)諧振子被密封在高真空度的密封腔體內(nèi)，因此諧振子的品質(zhì)因數(shù)極高，一般可達(dá)107。

根據(jù)式(12)可知，

半球諧振陀螺的振動(dòng)幅度A0自然衰減到A0/2.718的時(shí)間為：

半球諧振陀螺極低的能量衰減率和超長(zhǎng)的衰減時(shí)間是本文掃頻起振方法的基礎(chǔ)之一。

從1.1節(jié)的半球諧振陀螺驅(qū)動(dòng)軸的幅頻特性可知，半球諧振陀螺具有很好的選頻特性，該特性是本文掃頻起振方法的基礎(chǔ)之二。

本文提出的半球諧振陀螺起振方法類(lèi)似于敲擊“酒杯”（諧振子）的方式，本質(zhì)是利用共振原理。根據(jù)式(3)，假定驅(qū)動(dòng)力為：

可知式(3)的穩(wěn)態(tài)解為：

本文提出的掃頻起振方法的流程圖如圖2所示，在起振控制流程中，以一定的步進(jìn)頻率步長(zhǎng)（fΔ ）激勵(lì)陀螺，當(dāng)激勵(lì)信號(hào)頻率完成一次掃頻范圍后，進(jìn)行陀螺起振狀態(tài)檢測(cè)，如果此時(shí)陀螺已經(jīng)起振，則進(jìn)入振幅閉環(huán)控制；如果沒(méi)有起振，則循環(huán)上述過(guò)程，直到陀螺啟動(dòng)。

陀螺起振檢測(cè)方法，采用幅度和頻率雙元檢測(cè)方法。只有當(dāng)幅度和頻率均滿(mǎn)足以下條件時(shí)，才判定陀螺已起振。

圖2 陀螺起振流程圖Fig.2 Flow chart of starting vibration for gyroscope

2 振幅控制方案及設(shè)計(jì)

根據(jù)上節(jié)的分析與推導(dǎo)，本文針對(duì)半球諧振陀螺的振幅控制，設(shè)計(jì)一種陀螺的振幅控制回路方案，如圖3所示。

圖3 半球諧振陀螺幅度控制方案框圖Fig.3 Block diagram of amplitude control for hemispherical resonator gyro

本文設(shè)計(jì)的半球諧振陀螺振幅控制方案由兩部分構(gòu)成，一是陀螺起振控制部分，另一是陀螺振動(dòng)幅度穩(wěn)定控制回路。陀螺起振控制部分采用本文1.3 節(jié)提出的方法實(shí)現(xiàn)；陀螺幅度穩(wěn)定控制回路以式(12)作為被控對(duì)象，控制回路包括信號(hào)預(yù)處理、信號(hào)解調(diào)和PI控制等部分。

半球諧振陀螺振動(dòng)檢測(cè)采用電容檢測(cè)方式，檢測(cè)電容可近似用平板電容表示，該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：

振動(dòng)敏感信號(hào)處理采用“解調(diào)”模式，半球諧振陀螺振動(dòng)檢測(cè)信號(hào)解調(diào)增益為：

半球諧振陀螺驅(qū)動(dòng)激勵(lì)采用靜電電容方式，該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)可表示為：

根據(jù)圖3 和幅度控制回路中各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型建立幅度控制回路傳遞函數(shù)方框圖，如圖4所示，控制器采用PI 控制。

圖4 幅度控制回路傳遞函數(shù)方框圖Fig.4 Block diagram of amplitude control loop transfer function

綜上可得，振動(dòng)幅度控制回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

3 振幅控制實(shí)現(xiàn)與驗(yàn)證

根據(jù)第2 節(jié)振動(dòng)幅度控制回路的設(shè)計(jì)方案，采用基于A(yíng)D、DA、FPGA 等數(shù)字電子器件的全數(shù)字控制方式實(shí)現(xiàn)控制回路，控制回路的實(shí)現(xiàn)框圖和電路如圖5所示。

振動(dòng)幅度控制回路首先從0 °電極檢測(cè)振動(dòng)信號(hào)，經(jīng)檢測(cè)信號(hào)處理電路對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波和放大處理，再用ADC 進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換送入FPGA。在FPGA 中對(duì)采集的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行數(shù)字相敏解調(diào)，解算出采集信號(hào)的幅值信息，并與幅值設(shè)定值求誤差，然后誤差值經(jīng)PID控制器調(diào)節(jié)后，將調(diào)節(jié)量進(jìn)行DAC 數(shù)模轉(zhuǎn)換，經(jīng)信號(hào)放大電路處理后反饋至180 °電極完成閉環(huán)控制。

圖5 幅度控制回路實(shí)現(xiàn)框圖及電路實(shí)物圖Fig.5 Principle block diagram and circuit diagram of amplitude control loop

以力平衡工作模式為例，進(jìn)行振幅控制回路性能評(píng)估。在力平衡工作模式下，振動(dòng)幅度控制回路控制陀螺進(jìn)行恒定幅值振動(dòng)，設(shè)定振幅控制回路的帶寬大于10 Hz，采集幅度控制遙測(cè)數(shù)據(jù)如圖6所示（約1 h數(shù)據(jù)）。統(tǒng)計(jì)計(jì)算幅度控制穩(wěn)定性?xún)?yōu)于0.5 ppm，完全滿(mǎn)足陀螺性能指標(biāo)對(duì)振幅控制穩(wěn)定度的要求。

圖6 幅度控制值實(shí)測(cè)曲線(xiàn)Fig.6 Measured Curve of amplitude control value

4 結(jié)論

本文針對(duì)半球諧振陀螺振動(dòng)幅度控制問(wèn)題開(kāi)展研究，建立了振幅控制回路設(shè)計(jì)中驅(qū)動(dòng)力與陀螺振動(dòng)幅度的傳遞函數(shù)，提出了被控對(duì)象模型；提出了一種半球諧振陀螺的掃頻起振方法；設(shè)計(jì)了一種半球諧振陀螺振幅控制回路方案，并對(duì)振幅控制回路進(jìn)行數(shù)學(xué)建模推導(dǎo)，最后采用全數(shù)字控制方式實(shí)現(xiàn)了振幅控制硬件電路。通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果表明本文研究的振幅控制回路的幅值控制穩(wěn)定性?xún)?yōu)于0.5 ppm，完全滿(mǎn)足陀螺性能指標(biāo)對(duì)振幅控制穩(wěn)定度的要求。