一類半線性退化拋物方程在邊界控制函數(shù)作用下的近似能控性

解春雷, 杜潤梅

(長春工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 長春 130012)

1 引言與主要結(jié)果

退化拋物方程的控制問題在物理學(xué)、 生物學(xué)和工程實(shí)踐等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 目前, 關(guān)于退化拋物方程控制問題的研究已取得很多成果[1-10]. 例如: 文獻(xiàn)[1-3]研究了非線性退化拋物方程分布式控制問題的能控性; 文獻(xiàn)[4]研究了線性退化拋物方程邊界控制問題在第一類邊界條件下的能控性; 文獻(xiàn)[5-6]研究了非線性退化拋物方程邊界控制問題在第一類邊界條件下的能控性; 文獻(xiàn)[7-8]研究了線性退化拋物方程邊界控制問題在退化點(diǎn)處為第二類邊界條件, 非退化點(diǎn)處為第一類邊界條件下的能控性. 本文采用文獻(xiàn)[6]的方法, 利用Kakutani不動點(diǎn)定理證明一類一維半線性退化拋物方程在邊界控制函數(shù)作用下的近似能控性.

考慮如下系統(tǒng):

其中QT=Ω×(0,T), 0<α<1,h∈L2(0,T)是控制函數(shù),χ是[T1,T2](0

(i)g(·,·,0)∈L2(QT);

(ii)g(x,t,u)在u=0處可微;

(iii) 對任意(x,t)∈QT,u,v∈, 存在與x,t,u,v無關(guān)的正數(shù)M, 使得

|g(x,t,u)-g(x,t,v)|≤M|u-v|.

本文證明系統(tǒng)(1)-(3)的近似能控性.

定理1對任意ε>0,ud∈L2(0,1), 存在控制函數(shù)h, 使得問題(1)-(3)的解u在時刻T處可近似達(dá)到ud, 即

‖u(x,T)-ud(x)‖L2(0,1)≤ε.

(4)

2 線性問題解的估計

考慮線性方程

ut-(xαux)x+c(x,t)u=f(x,t), (x,t)∈QT

(5)

在初邊值條件(2),(3)下解的估計, 其中c∈L∞(QT),f∈L2(QT). 定義空間

其范數(shù)分別為

通過對方程(5)做能量估計, 可得如下定理.

1) 存在與α,T,‖c‖L∞(QT)相關(guān)的C1>0, 使得

3) 如果h=0,u0∈L2(0,1), 則對任意0<σ0, 使得

(8)

3 線性問題解的收斂性

類似文獻(xiàn)[2]中推論2.1、 推論2.2和推論2.4, 可得如下引理.

令k→∞, 可得結(jié)論.

證畢.

從實(shí)際角度來看，教育部門為提高國民的綜合語言素質(zhì)，將語文納入教育體系中。閱讀一直是老師的教學(xué)工作的重心，也是考試中需要攻克的難關(guān)。今年高中語文新課標(biāo)的調(diào)整內(nèi)容中，強(qiáng)化了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和革命傳統(tǒng)教育的比重，語文古詩文背誦推薦篇目從過去的14篇擴(kuò)增至72篇。這就需要老師緊緊把握時代的脈搏，在對學(xué)生閱讀能力培養(yǎng)的同時還要向古詩文方向側(cè)重。

(9)

令vk是問題

(10)

在初邊值條件(2),(3)當(dāng)h=hk-h*,u0(x)=0時的解. 在方程(10)的兩邊乘以vk, 并在QT上積分可得

(11)

其中C與k無關(guān). 由假設(shè)條件可知uk在L2(QT)中強(qiáng)收斂到u. 證畢.

考慮共軛問題

由推論2和文獻(xiàn)[8]中定理2的唯一延拓性, 類似文獻(xiàn)[1]中命題3.1可證泛函

(15)

定理3設(shè)u0(x)=0, 則問題(5)-(2)-(3)在控制函數(shù)為式(15)時滿足式(4).

命題1假設(shè)K?L2(0,1)是預(yù)緊的,B?L∞(QT)是有界的, 則 M(K×B)?L2(0,1)是有界的.

類似文獻(xiàn)[6]中命題5.3的證明, 由推論1和命題1可得:

4 半線性問題的近似可控性

類似文獻(xiàn)[6]中定理4.1的證明, 由Schauder不動點(diǎn)定理、 推論3、 推論4和定理2可得如下半線性問題的適定性.

則σ∈L∞(QT×).

定義集值映射Λ如下:

顯然, 對每個w∈L1(QT),Λ(w)是一個非空凸集. 類似文獻(xiàn)[6]中命題6.1的證明, 由引理1中2)、 命題1、 定理2中3)和推論3可得：

命題3存在一個預(yù)緊集X?L1(QT), 使得Λ(w)?X,w∈L1(QT).

類似文獻(xiàn)[6]中命題6.2的證明, 由引理1中3)、 命題2、 推論1和推論3可得：

命題4{(w,u)|w∈S,u∈Λ(w)}是L1(QT)×L1(QT)中的閉子集, 其中S是X的凸閉包.

由命題3和命題4,Λ滿足Kakutani不動點(diǎn)定理的條件. 因此定理1得證.