基于對數型滑模面分數階Rucklidge系統的自適應滑模同步

范賀花, 周永衛, 雷騰飛, 毛北行

(1. 鄭州航空工業管理學院 數學學院, 鄭州 450015； 2. 齊魯理工學院 機電工程學院, 濟南 250200)

混沌系統及其同步已引起人們廣泛關注, 滑模方法對未知系統及不確定參數具有極強的魯棒性. 目前， 針對非線性系統的滑模同步已取得較多的研究成果[1-19]： 文獻[11]研究了Newton-Leipnik不確定分數階混沌系統滑模同步的兩個設計方案, 給出了滑模和積分滑模兩種滑模控制技巧； 文獻[12]研究了不確定分數階混沌系統的終端滑模同步； 文獻[13]研究了不確定Sprott混沌系統的自適應滑模同步, 設計了控制律和適應規則； 文獻[14]研究了一類時滯不確定分數階金融混沌系統的滑模同步, 給出了滑模函數的構造； 文獻[15]構造了一類糾纏混沌系統并研究了比例積分滑模同步問題； 文獻[16]研究了Rucklidge混沌現象的演示器設計； 文獻[17]研究了分數階Rucklidge混沌系統的同步控制； 文獻[18]研究了Rucklidge系統的同步及其在保密通信中的應用； 文獻[19]研究了Rucklidge混沌系統的分岔與電路實現. 由于引入分數階微積分, 因此使分數階系統建模時更符合工程實際要求, 應用滑模方法可使系統具有良好的魯棒性能, 由于實際系統均需考慮模型的不確定及外部擾動的影響, 且針對分數階不確定Rucklidge混沌系統設計滑模控制的研究較少, 因此本文通過設計對數型滑模面研究不確定分數階Rucklidge混沌系統的自適應滑模同步, 得到了不確定分數階和整數階Rucklidge系統滑模同步的兩個充分條件.

1 主要結果

定義1[19]分數階α階導數Caputo定義為

分數階不確定Rucklidge系統[17]可描述為

(1)

當a=-2,b=6.7,q=0.978時, 系統(1)的吸引子如圖1所示.

圖1 系統(1)的混沌吸引子

以系統(1)為主系統, 設計從系統為

(2)

(3)

假設1設不確定項Δfi(y)和外部擾動di(t)有界, 即存在未知參數ki>0, 使得

|Δfi(y)+di(t)|

引理1[20]若x(t)為連續可微函數, 則對?t≥t0, 有

定理1在假設1條件下, 設計滑模面si(t)=ln|1+ei(t)|, 控制律為

(4)

自適應律為

(5)

不在滑模面上時, 設計

(6)

其中|1+ei(t)|=(1+ei(t))sgn(1+ei(t))=esi(t), e為無理數.

考慮整數階不確定Rucklidge系統

(7)

以系統(7)為主系統, 設計從系統為

(8)

其中Δfi(y)為系統的不確定項,di(t)為有界的外部擾動,ui為控制律, 定義ei(t)=yi(t)-xi(t), 從而

(9)

定理2在假設1條件下, 設計滑模面si(t)=ln|1+ei(t)|, 控制律為

(10)

自適應律為

(11)

對式(12)兩邊積分可得

利用引理3可得si(t)→0, 從而ei(t)→0.

2 數值仿真

用MATLAB進行數值仿真. 參數為a=-2,b=6.7,q=0.978, 初始值設為(x1(0),x2(0),x3(0))=(0.5,0.2,0.8), (y1(0),y2(0),y3(0))=(0.4,0.6,0.2), Δf1(y)=0.5cos(2πy1), Δf2(y)=0.6cos(2πy2), Δf3(y)=0.5cos(2πy3). 有界外部擾動d1(t)=0.5cos(t),d2(t)=0.4sin(t),d3(t)=0.5cos(2t). 定理1和定理2中系統參數分別為

在假設1條件下, 設計滑模面si(t)=ln|1+ei(t)|, 控制律為式(4), 自適應律為式(5). 在假設1條件下, 設計滑模面si(t)=ln|1+ei(t)|, 控制律為式(10), 自適應律為式(11).

圖2 定理1中的系統誤差曲線

定理1和定理2中的系統誤差曲線分別如圖2和圖3所示. 由圖2和圖3可見, 系統誤差在初始時相差較大, 且距原點較遠, 一段時間后逐漸趨近于坐標原點. 定理1和定理2中滑模函數的變化曲線分別如圖4和圖5所示. 由圖4和圖5可見, 對數型滑模面比其他滑模面趨近原點的速率更快, 系統可在更短時間內趨于坐標原點, 與傳統的自適應滑模方法相比, 本文采用的滑模函數及控制器對整數階系統均適用, 且形式簡便易于操作.

圖3 定理2中的系統誤差曲線

圖4 定理1中滑模函數的變化曲線

圖5 定理2中滑模函數的變化曲線

綜上, 本文研究了不確定分數階Rucklidge混沌系統適應滑模同步, 通過設計對數型滑模面和控制律與適應控制律得到了不確定分數階和整數階Rucklidge混沌系統自適應滑模同步的充分條件.