Minkowski空間一維給定平均曲率型方程Robin問題正解的存在性和多解性

苗亮英, 何志乾

(1. 青海民族大學 數學與統計學院, 西寧 810007; 2. 青海大學 基礎課教學研究部, 西寧 810016)

正解的存在性和多解性, 得到了非線性項f的零點個數與該Robin問題正解個數的關系. 其中: λ是正參數; a∈C[0,1]; f∈C([0,∞),[0,∞))滿足存在兩個正的點列ai,bi(i=1,2,…,n), ai0, s∈(ai,bi).

0 引 言

Minkowski空間中給定平均曲率方程在微分幾何和廣義相對論中有重要應用, 例如: 相對論狀態下的質點運動狀態研究[1]及非線性電動力學理論中的Born-Infeld模型[2-3]等. 目前, 關于其正解的存在性和多解性研究已取得了許多結果[4-10]. Coelho等[4]研究了一維Minkowski空間給定平均曲率型方程Dirichlet問題

(1)

正解的存在性和多解性, 其中f是一個Lp-Carathéodory函數, 用變分法和拓撲度方法得到了問題(1)至少存在1個、 2個、 3個正解; Zhang等[5]用時間映像分析法證明了一維給定平均曲率型方程Robin問題

(2)

正解的精確個數, 其中λ是正參數,f(s)=sp, 0

(3)

正解的存在性與多解性, 其中λ是正參數,a∈C[0,1],f∈C([0,∞),[0,∞)). 由于問題(3)是非自治問題, 因此文獻[5-7]的方法并不能處理問題(3). 本文基于不動點指數理論, 考慮當f有多個零點時, 問題(3)正解的多解性, 并給出解的個數與非線性項f零點個數之間的關系.

本文總假設:

(H1)a∈C[0,1]滿足0

(H2) 存在兩個正的點列ai,bi,ai0,s∈(ai,bi),i=1,2,…,n(n∈N={1,2,…}).

1 預備知識

1) 若 ‖Tx‖≥‖x‖,x∈?Kr, 則i(T,Kr,K)=0;

2) 若‖Tx‖≤‖x‖,x∈?Kr, 則i(T,Kr,K)=1.

引理2假設v∈X使得v(t)≥0,t∈[0,1]. 若v′(t)在[0,1]上非增, 則

v(t)≥min{t,1-t}‖v‖,t∈[0,1].

特別地, 若v(0)=‖v‖, 則有

v(t)≥‖v‖(1-t),t∈[0,1].

(4)

證明: 因為v是下凸的, 所以結論顯然成立. 證畢.

對任意的t∈[0,1],i=1,2,…,n, 定義fi(t,u)如下:

(5)

證明: 注意到v滿足

引理4假設條件(H1),(H2)成立. 對任意的i∈{1,2,…,n}, 存在ri, 使得[ζri,ri]?(ai,bi). 此外, 對任意的v∈?Ori, 有

證明: 基于ζ的選擇, 顯然存在ri, 使得[ζri,ri]?(ai,bi). 注意到對任意的v∈P, 有v(t)≥v(0)(1-t),t∈[0,1]. 特別地, 由引理1有ζv(0)≤v(t)≤v(0),t∈[0,1-ζ]. 令v∈?Ori, 則fi(t,v(t))≥ωri,t∈[0,1-ζ]. 又由s1∈(0,1],s2∈[0,∞), φ-1(s1s2)≥s1φ-1(s2)可知,

證畢.

2 主要結果

定理1假設條件(H1),(H2)成立, 則存在λ0, 使得對任意的λ≥λ0, 問題(3)存在n個正解u1,u2,…,un, 滿足ai<‖ui‖≤bi,i=1,2,…,n.

證明: 定義

注1若存在an>an-1>…>a1>a0>0, 使得f(ai)=0(i=1,2,…,n), 且f(s)>0,ai-1

例1考慮如下邊值問題:

(6)