分數階非線性迭代方程的周期解

李翠英, 吳 睿, 程 毅

(1. 渤海大學 數學科學學院, 遼寧 錦州 121013； 2. 長春財經學院 數學教研部, 長春 130122)

0 引 言

目前, 關于迭代微分方程的邊值、 周期問題研究已得到廣泛關注. Petukhov[1]研究了如下二階迭代微分方程周期邊值問題：

得到了參數λ,α在不同范圍內方程解的存在唯一性; Kaufmann[2]考慮一類二階迭代微分方程的邊值問題, 用Schauder不動點定理證明了該問題解的存在性; 文獻[3-6]用不同的不動點理論(Krasnoselskii不動點定理、 Schauder不動點定理等)證明了若干類迭代微分方程周期解或擬周期解的存在唯一性. 分數階微分方程在數學、 化學、 物理和工程等許多領域應用廣泛, 但關于分數階迭代微分方程邊值、 周期問題的研究成果目前報道較少. 當非線性函數滿足Lipschitz條件時, Ibrahim等[7]將整數階的一些結果推廣到分數階迭代微分方程中. 但目前已有結果均為處理一維的迭代微分系統, 對于向量迭代方程的研究尚未見文獻報道. 本文在非線性函數滿足單邊Lipschitz條件時, 證明一類非線性Caputo型分數階迭代向量微分系統周期解的存在唯一性.

本文令T∶=[0,b],n為n維Euclid空間, 〈·,·〉表示n中的內積, ‖·‖表示n空間的范數. 設C(T,n)表示從T到n全體連續函數組成的空間, 其范數定義為關于分數階微積分的基礎知識可參見文獻[8-9].

1 主要結果

考慮如下分數階迭代向量微分方程：

(1)

其中:

A:n→n是一個線性算子;f:T×n×n→n是一個連續函數.

下面給出假設條件：

(H1) 設A:n→n是一個有界、 線性的正定算子, 即對任意的z∈n, 存在常數c∈+, 使得〈Az,z〉≥c‖z‖2;

(H2) 設f:T×n×n→n是一個連續函數, 且：

(i) 對任意的u,v∈n, 存在一個非負函數使得?t∈[0,b], ‖f(t,u,v)‖≤λ(t)；

(ii) 對任意的t∈[0,b],u1,u2,v1,v2∈n存在函數使得

〈f(t,u1,v1)-f(t,u2,v2),u1-u2〉≤μ(t)‖u1-u2‖2,

其中‖μ‖∞

定理1假設條件(H1),(H2)成立, 且b大于某常數M1/(1-α), 則分數階迭代微分系統(1)存在唯一解.

證明： 由文獻[10]中推論7.1知, 問題(1)等價于如下積分迭代方程：

(2)

定義算子T1:C(T,n)→C(T,n), 且

首先， 證明解的先驗有界性.

根據算子T1的定義和假設條件(H2)中(i), 可推出

其中

下面估計初值‖x(0)‖. 在式(2)中令t=b, 可得

由x(0)=x(b)和假設條件(H1)易知, 行列式|E-Eα(Abα)|≠0, 其中E表示單位矩陣. 故

根據假設條件(H2)中(i), 類似式(3), 可得

(4)

其中

ME=‖(E-Eα(Abα))-1‖.

將式(4)代入式(3), 可得

‖T1(x(t))‖≤Mbα

其次, 證明非線性算子T1是全連續算子, 從而得到解的存在性.

先證明?x∈C(T,n),T1(x(t))∈C(T,n). 對任意的t,t+δ∈[0,b], 且δ>0, 滿足

當δ→0時, 有

|T1(x(t+δ))-T1(x(t))|→0,

故T1(x(t))∈C(T,n). 取xn→x∈C(T,n), 則易推出|T1(xn)-T1(x)|→0, 從而T1:C(T,n)→C(T,n)是連續的. 根據1)中先驗估計, 應用Arzela-Ascoli定理易知, 算子T1:Ω→Ω是全連續的, 其中

Ω∶={u∈C(T,n): ‖u‖C≤b+1}.

從而可將微分迭代系統(1)解的存在性轉化為T1的不動點問題. 定義映射hε(x)=x-εT1(x), 其中ε∈[0,1]. 取p?h(?Ω), 則對任意的ε∈[0,1], 可得

其中I是恒等映射. 因此T1在Ω上存在不動點, 即x=T1(x). 從而微分迭代系統(1)至少存在一個解.

最后， 證明微分迭代系統(1)解的唯一性.

假設x1,x2∈C(T,n)是問題(1)的兩個解, 對這兩個解做差再與x1-x2做內積, 可得

根據假設條件(H1)和(H2)中(ii), 利用分數階微分不等式[10], 可推出

為方便, 令S(t)=‖x1(t)-x2(t)‖2, 式(5)可簡化為

DαS(t)≤2(μ(t)-c)S(t),

從而

S(t)≤S(0)Eα(2(‖μ‖∞-c)tα), ?t∈T.

再令t=b, 得

S(b)≤S(0)Eα(2(‖μ‖∞-c)bα).

(6)

由S(t)=‖x1-x2‖2及邊界條件x(b)=x(0)可知,S(b)=S(0), 整理可得

S(0){1-Eα[2(‖μ‖∞-c)bα]}≤0.

由Mittag-Leffler函數Eα(t)(t≥0)的單調性和‖μ‖∞

Eα[2(‖μ‖∞-c)bα]<1.

又由

S(0)=‖x1(0)-x2(0)‖2≥0,

可推出S(0)=0. 由式(6)知,S(t)≤0, 從而S(t)恒為0, 即x1=x2, 故迭代微分方程(1)有唯一解.