一類具有超線性源項四階雙曲方程解的存在性及爆破時間估計

廖祥永, 高艷超

(長春理工大學 理學院, 長春 130022)

考慮如下非線性四階雙曲方程的初邊值問題:

(1)

其中Ω?N(N≥2)為邊界光滑的有界區域,QT=Ω×(0,T),k1,k2,k3,a,b>0為常數. 這類波方程是一般拋物型方程的擴展, 在數學物理等實際問題中應用廣泛[1-2], 目前關于其解的存在性和解的爆破等研究已取得了許多成果[3-10]. 文獻[3]證明了當m>α≥2時, 其解是全局的； 當α>m≥2時, 其解在有限的時間內爆破. 文獻[4]改進了文獻[3]的結果, 證明了在m和α無依賴關系的情況下, 其解是全局的; 當α>m和能量初值為非負數時, 其解會爆破. 文獻[5]對特殊的源項證明了其解的全局存在性, 建立了均勻衰減率, 并導出了弱阻尼項的條件, 得到了其解的爆破和壽命估計.

本文涉及的空間均為標準的Sobolev空間, 其范數定義可參見文獻[11]. 定義:

(2)

定義1若函數u(x,t)滿足下列條件時：

有下列等式成立：

則稱函數u(x,t)是問題(1)的解.

引理1假設k1,k2,k3,a,b>0,m,p>2,α>p>m, 若u(x,t)是初邊值問題(1)的一個弱解, 則E(t)是一個非增函數, 且有E′(t)≤0.

引理2假設

max{m,α}≤2N/(N-2),N≥2,α>p>2,

(4)

對于(u0,u1)∈S×L2(Ω)滿足

(5)

(6)

引理1和引理2的證明與文獻[8]中引理2.2的證明類似. 引理3的證明與文獻[7]中引理6.1的證明類似.

胎兒窘迫為產婦分娩過程中常見的一種并發癥,通常是由于子宮內胎兒缺氧所致,會對母嬰的生命安全造成極大的危害。臨床上可用來處理此種情況的術式較多,但其均有不同的適應性及有效性,故本次研究旨在對剖宮產術與陰道助產術在足月妊娠臨產胎兒窘迫中的應用效果作探討,現將所獲各項臨床數據作下述報道。

(7)

(8)

2) 一致性先驗估計. 根據引理2和文獻[8]定理3.1可知, 對?t≥0, 有

(9)

由Sobolev嵌入定理知, 對于?t≥0, 有

(10)

3) 收斂性與解的存在性. 由上述一致估計可得

(11)

(12)

由式(11)～(13)可知,u為問題(1)的一個全局解. 證畢.

下面在初始能量為負的條件下, 證明問題(1)的解會在有限時間內發生爆破.

定理2假設k1,k2,k3,a,b>0,m,p>2,α>p>m, 且式(4)成立, 若能量初值滿足

(14)

則問題(1)的解在有限時間內發生爆破.

(15)

取ξ和μ是與時間有關的正數, 滿足μ-m/(m-1)=N1H-σ(t),ξ=N2H-σ(t), 可得

根據Sobolev嵌入定理和式(15), 可得估計：

(18)

(19)

進一步, 可得

(22)

(23)

根據不等式(23), 可推出

(24)

再由式(22),(24), 則有

Φ′(t)≥λΦ1/(1-σ)(t), ?t≥0,

(25)