基于常循環碼構造的兩類糾纏輔助量子MDS碼

王偉偉, 李建濤

(遼寧大學 數學院, 沈陽 110036)

隨著量子信息與量子計算技術的快速發展, 關于量子糾錯碼的研究得到廣泛關注[1-3]. 令q是素數方冪, 記[[n,k,d;c]]是一個q元糾纏輔助量子糾錯碼, 其中n是碼長,k是維數,d是最小距離,c是糾纏比特數. 文獻[4-6]采用常循環碼和負循環碼構造了一些具有優良參數的糾纏輔助量子碼; 文獻[7]通過循環碼構造了長度為n=q2+1的糾纏輔助量子極大距離可分(maximum-distance-separable, MDS)碼; 文獻[8]利用常循環碼構造了參數較靈活的糾纏輔助量子糾錯碼, 當最小距離d≤(n+2)/2時, 構造的所有糾纏輔助量子糾錯碼是糾纏輔助量子MDS碼; 文獻[9-11]利用廣義RS(Reed-Solomon)碼構造了具有靈活參數c的新的糾纏輔助量子MDS碼; 文獻[12]利用廣義RS碼構造了參數為[[n,n-2k+c,k+1;c]]q的碼和參數為[[n,c,n-k+1;n-2k+c]]q的糾纏輔助量子糾錯碼; 文獻[13-16]用廣義RS碼和擴展的廣義RS碼構造了一些新的具有優良參數的糾纏輔助量子MDS碼. 本文利用常循環碼構造兩類糾纏輔助量子MDS碼, 推廣了文獻[17]的如下結果： 令q是一個奇素數冪, 且q=20m+3(20m+7), 其中m是一個正整數. 本文假設q是一個奇素數冪, 且q≡±3(mod 10). 本文結果擴展了糾纏輔助量子糾錯碼的碼類, 并推廣了已有文獻中q的取值范圍.

1 預備知識

類似地,C的Hermite對偶碼記為

如果C滿足C?C⊥E(或C?C⊥H), 則稱C為Euclid(或Hermite)自正交碼. 如果C=C⊥H, 則稱C為Hermite自對偶碼.

(c0,c1,c2,…,cn-1)→(ηcn-1,c0,c1,…,cn-2).

通常一個碼字c=(c0,c1,c2,…,cn-1)也可用一個多項式表示:

c(x)=c0+c1x+c2x2+…+cn-1xn-1.

令Ω={1+ir|0≤j≤n-1}. 設C是η-常循環碼, 且C=〈g(x)〉, 則稱Z={?i∈Ω|g(δi)=0}為碼C的定義集. 設Ci={i,iq2,iq4,…,iq2(mi-1)}是i模rn的q2-分圓陪集, 其中mi是使得iq2mi≡i(modrn)的最小正整數.

引理1[17]若C是Fq2上長度為n的η-常循環碼, 定義集為Z, 則C⊥H?C當且僅當Z∩(-qZ)=?, 其中-qZ={-qz(modrn)|z∈Z}.

利用引理1可判斷一個η-常循環碼C是否包含C⊥H.

類似于循環碼, 常循環碼也存在BCH(Bose-Chaudhuri-Hocquenghen)界.

引理2[18-19]設(n,q)=1,C是Fq2上長度為n的η-常循環碼, 其中η是一個r次本原根. 令δ是 Fq2的某些擴域上的rn次本原根. 假設C的生成多項式g(x)的根為{δ1+jr|0≤j≤d-2}, 則C的最小距離至少為d.

設H是Fq2上碼C的(n-k)×n階校驗矩陣, 則C⊥H存在一個n×(n-k)階的生成矩陣H?, 其中H?是Fq2上H的共軛轉置矩陣.

引理3(Singleton界)[20]如果Fq上一個參數為[n,k,d]的線性碼C存在, 則滿足k≤n-d+1. 如果等號成立, 則稱C為MDS碼.

定理1(糾纏輔助量子Singleton界)[21]假設C是Fq上參數為[[n,k,d;c]]q的糾纏輔助量子糾錯碼, 如果d≤(n+2)/2, 則碼C滿足糾纏輔助量子Singleton界：n+c-k≥2(d-1), 其中0≤c≤n-1. 若n+c-k=2(d-1), 則稱碼C為糾纏輔助量子MDS碼. 特別地, 如果c=0, 則n-k=2(d-1), 于是稱碼C為量子MDS碼.

定理2[22]設C是Fq2上的經典碼,H是C的校驗矩陣, 則存在一個糾纏輔助量子糾錯碼, 其參數為[[n,k,d;c]]q, 其中c=rank(HH?).

設C是Fq2上長度為n的η-常循環碼, 其定義集為Z. 假設Z1=Z∩(-qZ)且Z2=Z1, 其中-qZ={n-qx|x∈Z}, 則Z=Z1∪Z2稱為碼C定義集的一個分解.

引理4[5]設C是Fq2上長度為n的η-常循環碼, 其中gcd(n,q)=1. 假設Z是常循環碼C的定義集, 且Z=Z1∪Z2是Z的一個分解, 則相應的糾纏輔助量子糾錯碼中參數c=|Z1|.

2 主要結果

下面構造新的糾纏輔助量子MDS碼.

根據引理6可知

為得到式(1), 必須證明下列3個等式成立：

首先證明

-qCs-(3q-1)r/10=Cs-(q+3)r/10.

(5)

其次, 分別證明式(2)～(4)成立.

1) 證明式(3)成立. 根據引理5和式(5), 計算可得

假設

如果

(6)

因此式(6)不成立.

(7)

2) 證明式(2)成立. 由于

因此式(2)成立.

(8)

(9)

當q≡3(mod 10)時, 可構造如下糾纏輔助量子MDS碼, 其證明過程與定理3類似, 故略.