次線性期望空間下END列加權和的幾乎處處收斂性

胡 蓉, 吳群英

(桂林理工大學 理學院, 廣西 桂林 541004)

1 引言與預備知識

由于經典極限理論成立要求確定性模型的條件較苛刻, 尤其在金融統計、 金融風險計量等領域, 諸多不確定性使其局限性逐漸突顯. 因此, Peng[1]提出了可將不確定性概率和分布進行建模的次線性期望空間, 并給出了相應的理論體系. 目前, 極限理論在次線性期望下的研究已取得了許多成果, 如: Peng[2]將傳統概率空間的中心極限理論擴展到了次線性期望空間； Zhang[3-5]得到了次線性期望下的Kolmogorov型強大數定律(SLLN)及一系列不等式； Wu等[6]在次線性期望下將Chover’s型重對數律在概率空間的基礎上進行了推廣和加強.

在概率空間幾乎處處收斂性的研究中, 文獻[7-10]分別給出了ND(negatively dependent)列、 獨立同分布列及NA(negatively asscociated)列隨機變量加權和的性質. 由于次線性期望和容度不具有線性性, 所以一些適用于傳統概率的理論與方法已不再適用次線性空間. 在次線性期望空間中研究隨機變量序列完全收斂性和完全矩收斂性的成果目前已有很多, 如文獻[11-14]在不同條件下推廣了概率空間的相關結論. 但對幾乎處處收斂進行推廣的相關成果目前報道較少, 本文基于現有次線性期望的研究理論, 將文獻[15]中的結論從概率空間廣義負相依(extended negatively dependent, END)列加權和的幾乎處處收斂性擴展到次線性期望空間中, 并給出與其類似的結論.

本文用Peng[1-2]構建的次線性期望空間給出的定義, 若(Ω,F )是給定的可測空間, H是定義在(Ω,F )上由實函數構成的線性空間, 使得如果X1,X2,…,Xn∈H, 則對任意的X1,X2,…,Xn,φ∈Cl,Lip(n), 都有φ(X1,X2,…,Xn)∈H, 其中φ∈Cl,Lip(n)表示在線性空間的局部Lipschitz函數, 即對?φ∈Cl,Lip(n), 均存在常數c>0及取決于φ的m∈, 滿足

H是由隨機變量構成的空間, 并記為X∈H.

由定義1可知, 對所有的X,Y∈H, 有

定義2[4]令G?F, 對于函數V: G→[0,1], 如果其滿足下列條件：

1)V(φ)=0,V(Ω)=1；

2) 對任意A?B,A,B∈G, 則有V(A)≤V(B).

其中Ac為A的補集. 由V的定義知, 其具有次可加性, 且對任意f≤I(A)≤g,f,g∈H, 有

(1)

定義3[4]定義Choquet積分為

其中對于下容度V也有類似的積分定義.

其中非負函數φi∈Cl,Lip()(i=1,2,…)是非降(或非增)的, 則{Xn,n≥1}稱為END隨機變量序列.

顯然, 由END隨機變量序列的定義知, 如果{Xn,n≥1}是END隨機變量序列, 且f1(x),f2(x),…∈Cl,Lip()(i=1,2,…)是非降(或非增)的函數, 則{fn(Xn);n≥1}也是一個END隨機變量序列.

在本文證明過程中, 符號c表示一個任意正常數, 可根據需要取不同值；I(·)表示示性函數.

引理1(Markov不等式) ?X∈H, 有

證明： 對?x>0,p>0, 因為

2 主要結果

(2)

存在某個正常數c, 使得常數列{ank, 1≤k≤n,n≥1}滿足

|ank|≤cn-β.

(3)

如果存在一個常數α>0, 使得對所有n滿足

(4)

則

(5)

(6)

(7)

由式(6),(7)得

(8)

其中c1為正常數. ?ε>0及充分大的n, 有

εnαβ/2>lnn2.

(10)

由引理1及式(9),(10)得

由ε>0的任意性, 有

(11)

因為

所以

易證

(12)

假設偶函數g(x)∈Cl,Lip(), 取0<μ<1, 滿足?x∈都有0≤g(x)≤1, 且當|x|≤μ時,g(x)=1, 當|x|>1時,g(x)=0, 則

(13)

于是, 根據同分布序列及式(12),(13)得

根據引理2和 V的可數次可加性得

V(|Xk|>Bki.o.)=0,

又由于

(14)

所以

由Schwarz不等式和式(4)得

(16)

(17)

顯然, {-Xn,n≥1}也滿足定理1的條件, 則在式(15)中用{-Xn,n≥1}替代{Xn,n≥1}可得

(18)

結合式(17),(18)可知式(5)成立. 證畢.