3-李2-代數的形變

王春月, 張 爽, 張慶成

(1. 吉林工程技術師范學院 應用理學院, 長春 130052;2. 吉林建筑大學 基礎科學部, 長春 130118; 3. 東北師范大學 數學與統計學院, 長春 130024)

目前, 關于高階代數結構的研究已得到廣泛關注. 高階代數是將已有數學概念“范疇化”, 最簡單的一種高階結構是2-向量空間[1], 即范疇化的向量空間. 李2-代數[1-9]是研究較廣泛的一種高階代數, 被視為李代數的范疇化. 3-李2-代數是3-李代數的范疇化及李2-代數的一種推廣. 文獻[10]給出了3-李2-代數的基本概念和性質, 并證明了3-李2-代數與2-項3-Lie∞代數一一對應, 因此3-李2-代數可由2-項3-Lie∞代數給出; 文獻[11]利用3-Leibniz代數和Rota-Baxter 3-李代數構造了3-李2-代數. 本文主要討論3-李2-代數的形變問題.

1 預備知識

下面給出3-李2-代數表示及2-階閉鏈的定義.

對任意的x,y,xi∈L0(1≤i≤7),a,b,c∈L1, 下列等式成立:

dl3(x,y,a)=l3(x,y,da),

(1)

l3(a,b,c)=0,l3(a,b,x)=0,

(2)

l3(da,b,x)=l3(a,db,x),

(3)

若d=0(l5=0), 則稱3-李2-代數為簡單的(嚴格的).

F0°d=d′°F1,

(8)

(9)

(10)

則稱F=(F0,F1,F2):L→L′是3-李2-代數同態. 若F2=0, 則稱F是嚴格同態.

為δ(F)=dV°F+F°dV, 其中

End1(V)=End(V0,V1),

定義雙線性映射l2: ∧2End(V)→End(V)為

定理1[12](End(V),δ,l2)是嚴格李2-代數.

定義33-李2-代數L在2-向量空間V上的表示ρ=(ρ0,ρ1,ρ2)是從3-李2-代數L到嚴格李2-代數(End(V),δ,l2)的同態, 其中對?xi∈L0(1≤i≤6),a∈L1,

滿足下列等式:

δρ1(a,x)=ρ0(da,x),

(12)

ad0(x,y)(z+a)=l3(x,y,z)+l3(x,y,a),

ad1:L1∧L0→End1(L)為

ad1(a,x)(y)=l3(a,x,y),

ad2: ∧4L0→End1(L)為

ad2(x1,x2,x3,x4)(x5)=l5(x1,x2,x3,x4,x5),

則(ad0,ad1,ad2)是L的表示, 稱為伴隨表示.

(17)

(18)

2 主要結果

dλ(a)=da+λχ1(a),

證明: 任取x,xi∈L0(1≤i≤7),a,b∈L1. 定義1中式(1)成立的充分必要條件是

(23)

且

(24)

定義1中式(2)成立的充分必要條件是

(25)

且

(26)

定義1中式(3)成立的充分必要條件是

且

定義1中式(4)成立的充分必要條件是

且

定義1中式(5)成立的充分必要條件是

且

定義1中式(6)成立的充分必要條件是

且